毛北行，王戰(zhàn)偉

鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系，河南鄭州 450015

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Received：2015-05-17；Accepted：2015-09-23

Foundation：National Natural Science Foundation of China(11404291); Key Scientific Research Project of Colleges and Universities of Henan Province(15B110011)

? Corresponding author：Associate professor Mao Beixing. E-mail: bxmao329@163.com

Citation：Mao Beixing, Wang Zhanwei. Finite-time synchronization control of a class of fractional-order complex network systems[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016, 33(1): 96-101.(in Chinese)

【應用數(shù)學 / Applied Mathematics】

一類分數(shù)階復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的有限時間同步控制

毛北行，王戰(zhàn)偉

鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系，河南鄭州 450015

摘要：研究一類分數(shù)階復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的有限時間混沌同步問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分數(shù)階微積分的相關理論，給出控制律的設計，得到了系統(tǒng)取得有限時間同步的充分條件，估算了系統(tǒng)取得同步所需的時間．研究結果表明，一定條件下分數(shù)階復雜網(wǎng)絡混沌系統(tǒng)是有限時間同步的，仿真結果驗證了方法的可行性.

關鍵詞：分數(shù)階系統(tǒng)；有限時間；混沌同步；復雜網(wǎng)絡；誤差系統(tǒng)；控制

自Pecora提出驅動—響應同步方法以來，混沌控制與混沌同步及其應用已逐漸成為研究熱點[1-5]．在實際應用中，有時希望同步過程在有限時間內完成，達到所謂“有限時間同步”[6-8]．采用不同的控制方法可達到混沌系統(tǒng)的有限時間同步．文獻[9]研究Lurie混沌系統(tǒng)的有限時間同步，給出系統(tǒng)實現(xiàn)快速同步的充分條件；文獻[10]研究一類分數(shù)階不確定系統(tǒng)的有限時間魯棒混沌同步，給出控制律的設計和實現(xiàn)快速同步的條件．本文研究一類分數(shù)階復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的有限時間混沌同步問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論及分數(shù)階微積分的相關理論，給出實現(xiàn)有限時間同步的充分條件，仿真結果驗證該方法是可行的．

1預備知識

定義1[11]Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為

n-1<α

考慮如下分數(shù)階復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)

(1)

其中， i表示系統(tǒng)節(jié)點， 1≤i≤N， N為網(wǎng)絡的節(jié)點連接個數(shù)； j表示系統(tǒng)連接節(jié)點； f(·)是連續(xù)可微的非線性函數(shù)； xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T∈Rn是節(jié)點i的狀態(tài)變量； xi1(t),xi2(t),…,xin(t)是狀態(tài)變量 xi(t)的各個分量， n為狀態(tài)變量的維數(shù)； C=(cij)N×N為N×N階的耦合配置矩陣， cij為耦合配置矩陣的耦合矩陣元素； A為內部耦合矩陣，反映了網(wǎng)絡的拓撲結構和節(jié)點的耦合強度．

以系統(tǒng)(1)作為驅動系統(tǒng)，設計響應系統(tǒng)為

Dαyi(t)=f(yi(t))+

(2)

其中， yi和yj為響應系統(tǒng)狀態(tài)變量；ui(t)為控制器．

定義系統(tǒng)誤差ei(t)=yi(t)-xi(t)， 上述兩式相減得誤差系統(tǒng)方程為

Dαei(t)=f(yi)-f(xi)+

(3)

2主要結果

根據(jù)引理1得

(4)

其中， ρ=min{ki(i=1,2,…,n)}, v=min{li(i=1,2,…,n)}．

根據(jù)不等式(4)得

因此

(5)

對式(5)兩邊從0到T積分， e(T)=0, T=max{ti(i=1,2,…,n)}, 得

考慮如下分數(shù)階不確定復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)

Dαxi(t)=f(xi(t))+Δf(xi(t))+

(6)

其中，Δf(xi(t))表示來自驅動系統(tǒng)的不確定項.

以系統(tǒng)(5)作為驅動系統(tǒng)，設計響應系統(tǒng)

Dαyi(t)=f(yi(t))+Δf(yi(t))+

(7)

其中，Δf(yi(t))表示來自響應系統(tǒng)的不確定項.

定義系統(tǒng)誤差ei=yi-xi， 則得到誤差系統(tǒng)為

Dαei(t)=f(yi)-f(xi)+Δf(yi)-Δf(xi)+

(8)

定理2選取系統(tǒng)的控制器為

Dα-1[kiei(t)+(γ+

Δf(yi(t))-Δf(xi(t))+

根據(jù)引理1得

以下證明同定理1，在此從略．

3數(shù)值仿真

為方便，取含3個節(jié)點的網(wǎng)絡進行仿真.

選取分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)為例，驅動系統(tǒng)描述為

響應系統(tǒng)設計為

誤差系統(tǒng)為

其中， a、b和c為系統(tǒng)參數(shù)．當α=0.93, a=10, b=28, c=8/3時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)． 為了方便，取含3個節(jié)點的網(wǎng)絡進行仿真．

定理1中選取控制器

其中， A=I3； li=1； ki=1； γ=0.5； μ=0.95． 系統(tǒng)初始值(x1(0), x2(0), x3(0))=(1,2,-1)， 選取步長為0.01 s，所得誤差曲線如圖1．可見，當T>0.043 s后，系統(tǒng)取得同步．

圖1　定理1的系統(tǒng)誤差曲線(N=3)Fig.1　The system error curves of theorem 1 (N=3)

定理2以下述系統(tǒng)為例：

其誤差系統(tǒng)為

Δf(x1)+u1(t)

Δf2(y2)-Δf2(x2)+u2(t)

Δf3(y3)-Δf3(x3)+u3(t)

其中，Δf1=-0.1sin(4t)x1;Δf2=0.1sin(3t)x2;

Δf3=0.15sin(t)x3;

A=I3; li=1; ki=1; γ=0.5; μ=0.95. 系統(tǒng)初始值(x1(0), x2(0), x3(0))=(1,1,-1)， 選取步長為0.01 s，誤差曲線如圖2．可見，當T>0.046 s后，系統(tǒng)取得同步．

圖2　定理2的系統(tǒng)誤差曲線(N=3)Fig.2　The system error curves of theorem 2 (N=3)

增加結點的數(shù)量，當N=6時，系統(tǒng)誤差曲線如圖3．可見，當T>0.056 s以后，系統(tǒng)取得同步，表明隨著結點的增加，要求系統(tǒng)取得同步所需時間更長．

以下考慮系統(tǒng)有不同結點情形，以N=3為例，單個結點為分數(shù)階Liu系統(tǒng)：

Dαy1=-y1-y22

Dαy2=2.5y2-4y1y3

Dαy3=-5y3+4y1y2

網(wǎng)絡節(jié)點為分數(shù)階Chen系統(tǒng)：

Dαx1=35(x2-x1)

Dαx2=-7x1-x1x2+28x2

Dαx3=-3x3+x1x2

圖3　N=6時的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3　The system error curves with N=6

圖4　不同結點系統(tǒng)的誤差曲線(N=3)Fig.4　The error curves of systems with different nodes (N=3)

圖5　選取不同Lyapunov函數(shù)時的誤差曲線Fig.5　The error curves for different Lyapunov functions

結語

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分數(shù)階微積分的相關理論，研究一類分數(shù)階復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的有限時間混沌同步問題，給出控制器的設計，并估計系統(tǒng)取得同步所需的時間，使系統(tǒng)能夠在有限時間內實現(xiàn)快速同步．

引文：毛北行，王戰(zhàn)偉. 一類分數(shù)階復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的有限時間同步控制[J]. 深圳大學學報理工版，2016，33(1)：96-101.

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【中文責編：方圓；英文責編：木南】

Finite-time synchronization control of a class of

fractional-order complex network systems

Mao Beixing?and Wang Zhanwei

Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management,

Zhengzhou 450015, Henan Province, P.R.China

Abstract：Based on the Lyapunov stability theory and fractional order system theory, we investigate the finite-time chaos synchronization problem of a class of fractional order complex network systems, propose a control law and the sufficient conditions for the synchronization of systems, and estimate the time for the synchronization of systems. It is shown that the fractional order complex network systems are finite-time synchronized under a certain condition. Numerical simulations are performed to verify the effectiveness of the proposed method.

Key words：fractional order systems; finite-time; chaos synchronization; complex network; error system; control

作者簡介：毛北行 (1976—)，男，鄭州航空工業(yè)管理學院副教授. 研究方向：復雜網(wǎng)絡與混沌同步. E-mail: bxmao329@163.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11404291)；河南省高等學校重點科研資助項目(15B110011)

中圖分類號：O 482.4

文獻標志碼：A

doi：10.3724/SP.J.1249.2016.01096