☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌☉重慶市南開中學(xué) 黃億君

突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 著眼學(xué)生能力發(fā)展*
——2016年全國數(shù)學(xué)卷（Ⅱ）試題特點(diǎn)分析

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌
☉重慶市南開中學(xué) 黃億君

重慶市經(jīng)歷了12年的高考數(shù)學(xué)自主命題后，今年又開始使用全國卷（Ⅱ），不管是從老師的教學(xué)還是學(xué)生的應(yīng)試，都有一個(gè)改變和適應(yīng)的問題，所以我們是懷著一顆忐忑的心打開2016年全國高考數(shù)學(xué)試卷的，通做一遍之后，熟悉感和親切感油然而生，動(dòng)蕩的心才得以平靜.

之所以有這種感覺，得益于本套試卷的最大特點(diǎn)：穩(wěn)定.與往年全國卷比較，保持了極大的穩(wěn)定性，這表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；二是考查內(nèi)容穩(wěn)定，試卷仍然以高中數(shù)學(xué)常見板塊作為支撐，重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查，知識(shí)覆蓋面廣，既體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，又兼顧了綜合性；三是考查難度穩(wěn)定，試卷難易適度，難易題比例適當(dāng)，先易后難，適合學(xué)生的應(yīng)試心理.

整套試卷給我們最大的感受是穩(wěn)定而不平庸，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)皇ъ`活與創(chuàng)新，試卷以常見素材為載體，多角度、多層次地全面考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考查考生的各種數(shù)學(xué)能力，突出對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)與中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查，在難度適中的基礎(chǔ)上，又較好地保持了區(qū)分度，突出了試卷的選拔功能.總體來講，這是一套高質(zhì)量的高考數(shù)學(xué)試卷.

一、試題特點(diǎn)分析

1.注重基礎(chǔ)，平實(shí)近人

綜觀全卷基本題和基礎(chǔ)題構(gòu)成了全卷的主體，考生考后反應(yīng)平靜，沒有出現(xiàn)意外情況.如選擇題前9個(gè)、填空題前3個(gè)、解答題前3個(gè)和三選一的題都是由基本知識(shí)、基本方法和常見材料構(gòu)成的，這對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生來說，他們都會(huì)做到一個(gè)滿意的基本分，無形中會(huì)增添考生完成全卷的信心.

2.立德樹人，貼近實(shí)際

試卷關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問題，貼近考生實(shí)際，如理科第5題以同學(xué)到老年公寓參加志愿者活動(dòng)的公益事業(yè)為背景，并配以形象直觀的圖片，文科第8題以某人在某路口人行道處等待紅綠燈時(shí)間的交通規(guī)則為背景，都使考生有熟悉與親切的感覺，從中讓學(xué)生潛移默化地提高道德認(rèn)知和思想覺悟；又如文科第9題和理科第8題通過秦九韶算法，增強(qiáng)考生對(duì)我國古代數(shù)學(xué)輝煌成就的自豪感；再如文理科第18題的試題背景是保險(xiǎn)的購買與賠付，而且試題描繪的問題情景與目前市面上保險(xiǎn)公司流行條款吻合，大多數(shù)城市考生比較熟悉，不會(huì)花大量的精力用于題目情景的理解，有利于考生對(duì)問題的解答.同時(shí)要求考生熟悉當(dāng)今社會(huì)生活的熱點(diǎn)問題，提高人們對(duì)現(xiàn)實(shí)生存能力的認(rèn)識(shí).

3.體現(xiàn)差異，文理聯(lián)姻

雖從整體上看，文科試題難度要比理科試題略低一些，但是文科平均分仍比理科平均分低，這是文科學(xué)生本身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與水平要比理科學(xué)生差很多造成的.本次試題充分考慮了文理科學(xué)生的數(shù)學(xué)差異，相對(duì)簡(jiǎn)單的題目文理科相同的題較多，如文科第6題與理科第4題，文科第7題與理科第6題，文科第9題與理科第8題，文科第15題與理科第13題，文科第16題與理科第15題，三選一的第22～24題，全卷共計(jì)6道題相同；相對(duì)較難的題目往往命成姊妹題或“血緣題”，根基相同，大同小異，文科往往比理科簡(jiǎn)單些，如文理科第18、19題，文科壓軸題第21題與理科第20題等都是姊妹題，占3道題.這樣全卷不同的題目就有13道，它們也是文科題比理科題相對(duì)簡(jiǎn)單些.因此，文理兩套試卷體現(xiàn)了既聯(lián)姻又有顯著差異的特點(diǎn).

4.依據(jù)課標(biāo)，重視教材

本套試卷所有題目?jī)?nèi)容均嚴(yán)格按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的內(nèi)容與要求來命題，同時(shí)注重教材有關(guān)內(nèi)容的拓展，依標(biāo)靠本，引導(dǎo)廣大師生重視課標(biāo)和教材的學(xué)習(xí)，而不是考什么才學(xué)什么，而是學(xué)了什么才有可能考什么，學(xué)了不一定考，不學(xué)也有可能考，考的一定是學(xué)過的，不考的也可能是要求學(xué)的，總之，讓學(xué)生多一些知識(shí)的積累，多一些視野，多一些思考，多一些智慧和力量，這是學(xué)生今后終身發(fā)展的需要.如課標(biāo)中要求“通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)”，［1］不少課標(biāo)教材中算法案例這節(jié)都列舉了“秦九韶算法”，［2］［3］［4］這次文理科試卷中都有同一道體現(xiàn)中國古代計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法的程序框圖題；又如課標(biāo)中要求“了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義（參見例3）.”［1］同時(shí)課標(biāo)中還用例3通過計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，估計(jì)圓周率的值.［1］同樣所有課標(biāo)教材中都有這種估計(jì)圓周率的值的例子.［2］［3］［4］這次理科第10題就是這些隨機(jī)模擬例子的拓展改編，其意圖非常明顯，通過考試命題進(jìn)一步促使廣大師生的教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，落實(shí)課標(biāo)要求，回歸教材內(nèi)容，規(guī)避教輔資料.

5.回避套路，強(qiáng)調(diào)能力

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維的重要途徑，通過對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們希望學(xué)生提高邏輯推理能力，以及分析問題和解決問題的能力.但是現(xiàn)實(shí)中，學(xué)生為了應(yīng)對(duì)高考，卻陷入了題海，不停的刷題，重復(fù)、模仿，最終形成了一系列“成功”的應(yīng)試套路.為了改變這一局面，這套試題作了一些有益的嘗試，如文科第16題和理科第15題，沒有公式、沒有原理，沒有運(yùn)算，沒有成熟的解題套路，需要的只是學(xué)生的邏輯推理能力，這種通過所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，獲得解決問題的方法并能用之解決生活實(shí)際中遇到的問題，正是我們希望學(xué)生所具有的能力之一.

6.易題求新，難題重質(zhì)

試卷對(duì)題目難易的處理上也是獨(dú)具匠心的.對(duì)于容易題，在降低難度的同時(shí)，不忘求新求變，比如文理科第17題，這是第一個(gè)解答題，在設(shè)計(jì)上這是一個(gè)難度較小的解答題，但是命題者在學(xué)生所熟知的數(shù)列中巧妙地引入了高斯函數(shù)，使這個(gè)題目瞬間擺脫了平庸.高斯函數(shù)學(xué)生并不是特別熟悉，需要學(xué)生有一個(gè)對(duì)新信息新定義的分析處理過程，并還要與數(shù)列知識(shí)進(jìn)行整合，這樣在考查學(xué)生基礎(chǔ)的同時(shí)還不知不覺地考查了學(xué)生閱讀理解和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.而對(duì)于較難題，命題者則更加全面地賦予它多項(xiàng)功能與職責(zé)，比如理科壓軸題第21題，這是一個(gè)關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的題目，選材合理，這個(gè)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的重中之重，也是高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)銜接內(nèi)容，對(duì)它的考查還可以看出學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)能力.然而，對(duì)這個(gè)題目的解決要求學(xué)生不僅要有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還要有深厚的數(shù)學(xué)功底，若想得滿分，則學(xué)生數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的思維推理必不可少.命題者對(duì)這個(gè)題肯定抱有很大期望，全卷的區(qū)分度、選拔功能全靠它了，可謂命題者煞費(fèi)苦心.

7.史海掘金，推陳出新

試卷中文科第9題和理科第8題以秦九韶算法為命題素材，秦九韶是我國古代數(shù)學(xué)家的杰出代表之一，他在《數(shù)書九章》中概括了宋元時(shí)期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就，尤其是系統(tǒng)總結(jié)和發(fā)展了高次方程的數(shù)值解法與一次同余問題的解法，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開方術(shù)”和“大衍求一術(shù)”，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響.［5］秦九韶算法是一種將一元n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個(gè)一次式的算法.其大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，即使在今天，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問題時(shí)，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法，在中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有十分重要的地位，本題以此為素材確有弘揚(yáng)中國優(yōu)秀文化的意義.另外理科第10題考查了利用概率求π的近似值，它在數(shù)學(xué)史中能找到原型，這就是著名的“蒙特卡羅方法”，也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法.使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法，其基本思想是當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解；1777年，法國數(shù)學(xué)家布豐提出用投針實(shí)驗(yàn)的方法求圓周率π，這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的起源.［6］試卷以此為原型挖掘出題點(diǎn)，不僅可增強(qiáng)本套試卷的文化底蘊(yùn)，還可以起到弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的作用.

8.注重素養(yǎng)，考查思想

本套試卷注重對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，全卷除對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等六個(gè)核心素養(yǎng)的考查外，特別對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行了考查，如理科第12題，題目中給出了一個(gè)函數(shù)f（x）滿足f（-x）=2-f（x），實(shí)際上，學(xué)生可以馬上構(gòu)造一個(gè)滿足要求的特殊函數(shù)f（x）=x+1，問題就可以迎刃而解，這是典型的特殊與一般思想的應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合能力好的學(xué)生還會(huì)馬上看出函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于（0，1）對(duì)稱，從而可以秒殺此題.又如文科第21題和理科第20題的第（1）小題，利用數(shù)形結(jié)合很容易發(fā)現(xiàn)AM與AN的對(duì)稱性，從而使解題變得輕松自如.像這樣既考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，又考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟與運(yùn)用的試題不勝枚舉.

二、命題改進(jìn)建議

1.本次試卷的選擇題還需充分發(fā)揮其選擇的功能

多數(shù)選擇題都是定性定量的結(jié)果式的題目，四個(gè)選項(xiàng)的干擾性、迷惑性和篩選性不強(qiáng)；另外12個(gè)選擇題的梯度不夠明顯，特別是最后兩個(gè)選擇題難度不大，未能翹起來，今年選擇題考生的平均分也剛好說明了這點(diǎn)，這都有待命題者今后進(jìn)一步加以改進(jìn).

2.本次試卷的填空題結(jié)果不唯一，表達(dá)形式各異，給閱卷帶來麻煩

3.個(gè)別解答題題面敘述令人費(fèi)解，個(gè)別背景材料部分學(xué)生不熟悉，造成考生理解出現(xiàn)障礙

如理科第21題第二小題“當(dāng)a∈［0，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=有最小值.設(shè)g（x）的最小值為h（a），求函數(shù)h（a）的值域.”由于此題中間是用句號(hào)隔開的，因此部分學(xué)生認(rèn)為求函數(shù)h（a）的值域，不是在前提條件a∈［0，1）下來解決，使得這部分學(xué)生未拿到自己應(yīng)有的分?jǐn)?shù).又如文科第21題第（2）小題若改成“當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，存在常數(shù)k，使得k∈（，2）”就更好了.再如文理科解答題第18題題目中“某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)”，許多邊遠(yuǎn)山區(qū)和農(nóng)村中學(xué)的考生對(duì)“險(xiǎn)種”、“基本保費(fèi)”不熟悉不理解，造成失分甚至是零分，本題文理科包括零分人數(shù)的平均分分別是5.21、7.85，不包括零分人數(shù)的平均分分別是8.08、8.94，這也說明了本題考生失分或零分人數(shù)較多.考后訪談部分學(xué)生，也反映未能讀懂本題題意，致使不做或胡亂猜測(cè)估摸著做一點(diǎn).這需要命題者今后注意選擇背景材料的公平性和考生的熟悉程度.

4.部分解答題的運(yùn)算量偏大，個(gè)別運(yùn)算結(jié)果不太美觀，造成考生不信服或懷疑自己，浪費(fèi)不少寶貴的考試時(shí)間

真不知是有意還是無意，本套試卷考驗(yàn)了學(xué)生的應(yīng)試心理.考生在經(jīng)過前面題目的順風(fēng)順?biāo)?，忽然遇到了文理科立體幾何題和解析幾何題的大運(yùn)算，運(yùn)算能力不太好的同學(xué)當(dāng)時(shí)的焦躁與緊張是可以想象的.特別是理科第19題，最后得出的答案是，這么任性的答案你見過么？許多同學(xué)特別是優(yōu)生都認(rèn)為這個(gè)奇葩的答案肯定是不正確的，因此還要回過頭去再算一遍，甚至是兩遍的同學(xué)都大有人在.由于文理科解析幾何題突出地考查了用代數(shù)解決幾何問題的本質(zhì)思想，使得數(shù)式運(yùn)算量偏大，如若再增強(qiáng)對(duì)幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣就會(huì)減少運(yùn)算的繁難程度，使得解析幾何題既不失去它的本質(zhì)特征，又不會(huì)增加過多的繁難運(yùn)算.

文科最后一道壓軸題平均分分別為0.65，理科最后兩道壓軸題平均分分別為1.88、1.78，這說明難度太大，不做的考生更多，形同虛設(shè)，失去了它應(yīng)有的意義，建議適當(dāng)增加臺(tái)階（如設(shè)置三個(gè)小題），減緩過陡的坡度，讓考生思考自然流淌，把思維引向遠(yuǎn)方.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.張景中，黃楚芳.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)第五冊(cè)（必修）［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2015.

3.劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)3（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.嚴(yán)士健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)3（必修）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

5.徐品方.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明史［M］.北京：學(xué)苑出版社，1992.

6.尹斌庸.古今數(shù)學(xué)趣話［M］.成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，1985.

重慶市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點(diǎn)課題“高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中自主學(xué)習(xí)實(shí)施途徑與策略的研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2015－JC－009，課題負(fù)責(zé)人：魏云樓）的階段性研究成果.