□朱志明 鄭欲曉

合情推理的內(nèi)涵與教學(xué)策略

□朱志明 鄭欲曉

合情推理能力的培養(yǎng)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題，就目前而言，學(xué)生對(duì)于合情推理掌握得并不理想。針對(duì)合情推理的內(nèi)涵，闡述了挖掘合情推理的載體、搭建合情推理的橋梁、重視合情推理的過程和把握合情推理的內(nèi)涵等四條策略。以期促進(jìn)數(shù)學(xué)合情推理能力發(fā)展目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

合情推理 內(nèi)涵 策略

數(shù)學(xué)教育是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程在培養(yǎng)人的推理能力和創(chuàng)新意識(shí)方面具有獨(dú)特的功能。因此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)與生活中經(jīng)常使用的思維方式。”盡管推理能力在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如此重要，但教學(xué)效果并不理想，尤其是合情推理，不僅學(xué)生認(rèn)為“舉例驗(yàn)證對(duì)了，結(jié)論就是對(duì)的”，連教師也有不少模糊認(rèn)識(shí)。有研究表明，66.7%的教師認(rèn)為“歸納推理得出的結(jié)果一般是正確的”“更有甚者，22.2%的人認(rèn)為‘歸納推理得出的結(jié)果一定是正確的’。而持正確觀念‘歸納推理得出的結(jié)果不一定是正確的’卻僅有11.1%”。[1]如何改變這一局面呢？筆者認(rèn)為可以從理解內(nèi)涵、尋找策略著手。

一、合情推理目標(biāo)的內(nèi)涵解析

《課標(biāo)》指出：“合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”，并將數(shù)學(xué)推理課程目標(biāo)表述為“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰表達(dá)自己的想法”。其中小學(xué)階段的推理能力培養(yǎng)主要指合情推理，《課標(biāo)》對(duì)第一學(xué)段與第二學(xué)段的合情推理能力培養(yǎng)提出了相應(yīng)的具體要求（如右上表）。

（一）合情推理能力培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終

合情推理能力的培養(yǎng)與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分的教學(xué)內(nèi)容休戚相關(guān)。數(shù)的運(yùn)算法則、圖形與幾何公式、性質(zhì)等的推導(dǎo)過程大多包含合情推理。在教學(xué)過程中，教師需選取合適的教學(xué)材料，為學(xué)生提供探索交流的空間，組織、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程”。

“合情推理”課程目標(biāo)學(xué)段分布表

（二）合情推理能力培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程

小學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力的提升有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律，不是一蹴而就的，需要長期的、循序漸進(jìn)的教學(xué)實(shí)踐。因此，教師應(yīng)以學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平為前提，分層次、分階段提出不同水平的要求，從而提高學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)的實(shí)效性。

（三）合情推理能力培養(yǎng)需踐行嚴(yán)謹(jǐn)思考

不完全歸納推理和類比推理統(tǒng)稱“全情推理”，又叫作“或然推理”“似真推理”，顧名思義，它們常?？此坪锨橥评?，結(jié)論好像是、應(yīng)該是對(duì)的，可實(shí)際上卻可能是錯(cuò)的。[2]在小學(xué)階段，由于小學(xué)生年齡特征和知識(shí)擁有量的限制，小學(xué)數(shù)學(xué)教材里的數(shù)學(xué)知識(shí)未必是嚴(yán)密的，每一個(gè)結(jié)論不可能都用嚴(yán)格的邏輯證明來實(shí)現(xiàn)，往往通過合情推理得出，但只通過合情推理得出的結(jié)論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這就要求教師在教學(xué)實(shí)踐中讓學(xué)生確立“合情推理與證明”的意識(shí)。

二、合情推理的教學(xué)策略

真正有效地提高學(xué)生的合情推理能力，教師必須將數(shù)學(xué)推理目標(biāo)作為課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)，落實(shí)到日常教學(xué)之中。

（一）挖掘合情推理的載體，讓推理有經(jīng)歷

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)的公式、法則、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程不僅是數(shù)學(xué)家智慧的體現(xiàn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)合情推理的典范，為教師展示合情推理提供了取之不盡的素材。因此，教師要挖掘教材，選擇適宜的學(xué)習(xí)材料，認(rèn)真研究其思維結(jié)構(gòu)，尋找培養(yǎng)數(shù)學(xué)合情推理能力的生長點(diǎn)。

如北師大版五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)加減法”，教材根據(jù)折紙情境（見圖1），引出了三個(gè)問題串，第一個(gè)問題（圖2）與第二個(gè)問題（圖3）分別是用折一折、畫一畫來說明相加、相減的計(jì)算過程，第三個(gè)問題（圖4）是先讓學(xué)生根據(jù)上面所獲的經(jīng)驗(yàn)再分別算一算兩分?jǐn)?shù)的相加和相減，在此基礎(chǔ)上再歸納異分母分?jǐn)?shù)加減的法則。教學(xué)時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要讓學(xué)生用畫圖或折紙的方式說明異分母相加、相減的計(jì)算過程，把握了這一點(diǎn)，學(xué)生就經(jīng)歷了由形到數(shù)的推理過程；二是完成前兩個(gè)問題后不要急于歸納，待完成第三個(gè)問題，學(xué)生處于“心求通而未得，口欲言而未能”之時(shí)，再讓學(xué)生尋找四個(gè)算式計(jì)算過程中的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。完成了異同點(diǎn)的歸納，實(shí)際上是學(xué)生經(jīng)受了不完全歸納推理的洗禮。這是小學(xué)數(shù)學(xué)法則教學(xué)常用的方法，也可稱為“舉三歸一”。

圖1

圖2

圖3

圖4

（二）搭建合情推理的橋梁，讓推理有依據(jù)

學(xué)生展開合情推理學(xué)習(xí)的前提是其原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備了同化新知的已有經(jīng)驗(yàn)，這種經(jīng)驗(yàn)可以是知識(shí)，如上位概念或相似概念，也可以是生活經(jīng)驗(yàn)，如原型激活。[3]由此不難想到搭建合情推理的橋梁可以是復(fù)習(xí)引領(lǐng)，也可以是原型啟發(fā)。

1.復(fù)習(xí)舊知，搭建橋梁。

當(dāng)學(xué)生面對(duì)新問題時(shí)，如果與之相關(guān)的上位概念或相似概念較少，不夠清晰，那么相關(guān)的合情推理活動(dòng)就難以順利展開。要使所教知識(shí)讓學(xué)生深刻理解并能融入原有知識(shí)形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就必須重新組織教材，精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在學(xué)生“已經(jīng)知道的”與“需要知道的”知識(shí)之間架設(shè)起橋梁，為學(xué)生合情推理打好基礎(chǔ)。

例如，上面提到的“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)，教師可設(shè)計(jì)一組整數(shù)、小數(shù)和同分母分?jǐn)?shù)加減法，練習(xí)后引導(dǎo)學(xué)生歸納這些計(jì)算過程背后隱含的共同核心要點(diǎn)“相同的計(jì)數(shù)單位才能直接相加減”。學(xué)生有了這一基礎(chǔ)，就不難開展相應(yīng)的合情推理活動(dòng)，主動(dòng)猜測并嘗試異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算：先通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，再計(jì)算。

2.激活原型，搭建橋梁。

生活的原型往往會(huì)啟發(fā)學(xué)生展開類比、聯(lián)想，獲得靈感。其原因是，小學(xué)生以直觀思維為主，這就決定了他們認(rèn)識(shí)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，往往會(huì)比較依賴于日常生活中常見的實(shí)物原型，進(jìn)行類比推理。

例如，北師大版五年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)底和高”，教材安排了“限高”的情境（見圖5），教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生想一想、說一說、畫一畫“限高”的含義，進(jìn)而類推出梯形的高是上底的任一點(diǎn)到下底的垂直線段。

圖5

（三）重視合情推理的過程，讓推理有路徑

推理能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動(dòng)過程，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要構(gòu)建合情推理的課堂教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷與完成相應(yīng)的數(shù)學(xué)推理活動(dòng)過程，[4]使學(xué)生的推理有路徑。

下面以北師大版六年級(jí)下冊(cè)“圓柱的體積”教學(xué)為例，說明第二學(xué)段類比推理教學(xué)模式的組成。

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，激活先前經(jīng)驗(yàn)。

師：誰來說一說長方體的體積是怎樣計(jì)算的？

生：底面積乘高。

2.開展觀察，類比猜想。

師：根據(jù)長方體體積的公式，請(qǐng)猜想圓柱的體積公式。

生：圓柱的體積公式也是底面積乘高。

板書：

3.推理論證，檢驗(yàn)猜想。

師：請(qǐng)嘗試驗(yàn)證你的猜想，并在小組中交流。

學(xué)生在交流中，說明了圓柱與所變成的長方體體積相等，底面積、高也分別相等，由于長方體的體積是底面積乘高，所以圓柱的體積也是底面積乘高。

課堂小結(jié)時(shí)，還應(yīng)讓學(xué)生回顧類比推理學(xué)習(xí)的主要步驟：創(chuàng)設(shè)情境—類比猜想—推理論證。

值得注意的是，不完全歸納推理與類比推理的模式有所不同，其模式一般是：創(chuàng)設(shè)情境，嘗試解答—再舉例模仿解答—?dú)w納結(jié)論。

第一學(xué)段的類比推理模式主要指：創(chuàng)設(shè)情境—類比—猜想。

這樣的模式經(jīng)歷多了，學(xué)生遇到類似的問題情境時(shí)，就會(huì)輕車熟路地進(jìn)行合情推理。

（四）把握合情推理的內(nèi)涵，讓推理有“經(jīng)驗(yàn)”

前文說到合情推理具有或然性，它們常常看似合情推理，結(jié)論好像是、應(yīng)該是對(duì)的，可實(shí)際上卻可能是錯(cuò)的。怎樣讓學(xué)生感悟合情推理這一局限性呢？唯有讓學(xué)生積累“經(jīng)驗(yàn)”。這里說的經(jīng)驗(yàn)既指通過合情推理得到的“真”經(jīng)驗(yàn)，更指通過合情推理可能出現(xiàn)的“偽”經(jīng)驗(yàn)。只有這樣，才能讓學(xué)生確立“合情推理與證明”的意識(shí)。

1.新授課要注重滲透合情推理的或然性。

例如，2，5，3的倍數(shù)特征可以一概利用百數(shù)表讓學(xué)生探究。

由2的倍數(shù)特征類推5的倍數(shù)特征正確，2，5的倍數(shù)都分布在列上。由2，5的倍數(shù)特征分布在列上，類推3的倍數(shù)特征也分布列上，學(xué)生只需觀察所圈的百數(shù)表（見圖6）就不難發(fā)現(xiàn)無效的結(jié)論。學(xué)生繼續(xù)探索發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)排列成了“斜行”。他們觀察斜行，首先發(fā)現(xiàn)的規(guī)律往往是“十位數(shù)依次加1，個(gè)位數(shù)依次減1”。此時(shí)，教師只要追問“斜行的數(shù)什么不變”，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)十位數(shù)與個(gè)位數(shù)的和不變。就這樣，3的倍數(shù)特征呼之欲出了。

圖6

這樣的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷了多次猜想、驗(yàn)證的探究過程，積累了類比推理多次猜想的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即類比猜想→舉例推翻猜想→改變方法→再次猜想→驗(yàn)證猜想→……

又如，“加法交換律和乘法交換律”教學(xué)，可先通過幾組加法算式讓學(xué)生歸納出加法的交換律“兩數(shù)相加交換加數(shù)的位置和不變”（見圖6右板書），再讓學(xué)生根據(jù)加法的交換律類推兩數(shù)相減、相乘、相除的“交換律”，通過舉例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)乘法有效，減法與除法無效。

類似的教學(xué)材料見多了，學(xué)生就會(huì)自然而然地確立“合情推理與證明”的意識(shí)，這種意識(shí)對(duì)于學(xué)生來說是終身受益的。

2.作業(yè)題應(yīng)關(guān)注合情推理的或然性。

新授課要滲透合情推理的或然性，練習(xí)或試題也應(yīng)關(guān)注合情推理的或然性，只有這樣學(xué)生才能改變合情推理都是對(duì)的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，積累合情推理或然性的經(jīng)驗(yàn)。

例如，長方形周長與面積的關(guān)系。

三年級(jí)教學(xué)長方形面積之后，教材或配套的練習(xí)常常會(huì)安排讓學(xué)生探究長方形周長與面積關(guān)系的習(xí)題，通過練習(xí)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)周長與面積的變化規(guī)律：面積（周長）相等的長方形，長、寬越接近，面積越大；當(dāng)長、寬相等時(shí)（包括正方形），周長最短。

學(xué)生總認(rèn)為上述結(jié)論無論對(duì)什么情況都管用。要改變這一認(rèn)識(shí)可出下面類似的題目讓學(xué)生練習(xí)。

①用18米的籬笆圍成長方形菜地（見圖7），一面靠墻，長、寬取整數(shù)米，怎樣圍面積最大？請(qǐng)你利用表1進(jìn)行探究，找出最優(yōu)方案。

②用籬笆圍成一個(gè)面積為36平方米的長方形菜地（見圖7），一面靠墻，長、寬取整數(shù)米，怎樣圍籬笆最短？請(qǐng)你利用表1進(jìn)行探究，找出最優(yōu)方案。

表1

圖7

以第①題為例，比較典型的解答是以下三種：

一是不顧問題情境的變化，直接根據(jù)已知結(jié)論“面積相等的長方形，長、寬相等時(shí)周長最短”作出類推：18÷3=6，6×6=36（米2），答案是36平方米。

籬笆（米） 長（米） 寬（米） 面積（米2）18 16 1 1618 14 2 2818 6 6 36

二是利用表格，依次列舉三種情況，發(fā)現(xiàn)長、寬越接近時(shí)，面積最大，答案是36平方米。

籬笆（米） 長（米） 寬（米） 面積（米2）18 16 1 1618 14 2 2818 12 3 3618 10 4 4018 8 5 4018 6 6 3618 4 7 28

三是利用表格，一一枚舉，得到正確答案，即最優(yōu)方案為長和寬分別是10米、4米和8米、5米。

學(xué)生做題后，交流十分熱烈，有人興奮，有人懊惱。共同的感受是：結(jié)果出乎意料，看似合情合理的歸納、類推，沒想到會(huì)出錯(cuò)，由此留下深刻的記憶。

合情推理能力的培養(yǎng)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題，涉及數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面，需要教師在整個(gè)教學(xué)過程中堅(jiān)持不懈的努力，全方位、全角度地進(jìn)行思考、研究，以促進(jìn)數(shù)學(xué)合情推理能力發(fā)展目標(biāo)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。

[1]曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理的教學(xué)研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（7-8）.

[2]顧曉東.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的類比推理及教學(xué)策略[J].教學(xué)與管理：小學(xué)版（太原），2015（7）.

[3]殷嫻.小學(xué)階段數(shù)學(xué)推理目標(biāo)實(shí)施綜述[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（3）.

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