□孫佳威 付春紅

探尋學生“思考路徑”背后的思考

□孫佳威 付春紅

在實際教學中，教師經常會遭遇“理想與現(xiàn)實”的尷尬窘況：學生在學習一個新的知識后，往往學起來感覺很容易，但真正在解決問題時又顯得很困難，形成了極大的效果反差。因此，教師在教學中要真正順應學生的思維，關注學生的學習路徑。通過以學生用“平均數(shù)”解決問題的路徑為研究點，充分展示學生的思考路徑，以此為“磚”，引發(fā)思考，提出課堂教學要關注學生思考問題的方式和路徑，發(fā)出了“順應學生思維”架構課堂的聲音。

平均數(shù) 解決問題 思考路徑

“平均數(shù)”是人教版小學數(shù)學四年級的教學內容，是統(tǒng)計與概率領域中的一個重要的概念。在實際教學中我們發(fā)現(xiàn)，學生在理解“平均數(shù)”的概念、計算平均數(shù)時總是能夠做到輕而易舉、百發(fā)百中，可是在應用這個概念解決問題時卻又不盡如人意。盡管我們?yōu)閷W生提供了、講解了、鞏固了一個又一個的優(yōu)質方法，可一部分學生在面對實際問題時依然不知所措，離我們的理想相去甚遠。這么大的效果反差，引起了我們的思考：是教學方法出了問題？是我們不了解學生？是我們的方法不夠優(yōu)質？……學生在解決與這個概念相關的問題時思考的路徑是怎樣的呢？帶著這些問題，我們利用一道題目對學生的學習路徑進行了深度的探尋。

測試題目：

此題的設計沒有評價學生是否會計算平均數(shù)，而是把評價的目標放在了對平均數(shù)意義的理解上，通過對平均數(shù)意義的理解來解決問題。此題正確率為75.09%。學生是怎樣思考的呢？為了更好地展示“冷靜”數(shù)據(jù)背后的“火熱”，我們對120名學生進行了追蹤，現(xiàn)將學生的思考過程展示出來，并進行學生學習路徑分析。路徑一：假設法，確定平均數(shù)。

圖1

圖2

圖3

在參與調研的120名學生中，有10名學生采用了假設的方法來解決問題。

從圖上我們可以看出，面對這個問題時，學生的入手點,都是根據(jù)要求將小麗和小東設成符合條件（在11～29之間）的數(shù)，再求平均數(shù)。雖然學生在設數(shù)的過程中有所不同：有的學生設一個大數(shù)、一個小數(shù)；有的學生設成兩個比較大的數(shù)；有的學生則設的是兩個數(shù)之間的平均數(shù)，但是用的都是假設法，都是在通過對求平均數(shù)的方法的重現(xiàn)解決問題。那學生是怎么想到要用到假設法的呢？為了了解學生的真實想法，我們對其中的1名學生進行了調研。

師：你是怎么解答這道題目的？

生：我是先把每個數(shù)都寫出來，然后加起來，再除以幾個人的數(shù)就行了。

師：你是怎樣想到要這樣做的？

生：因為求平均數(shù)就是要先把這幾個人的數(shù)加起來，然后再除以這幾個人。

師：你對計算平均數(shù)方法很熟悉，可是我們題目中沒有把每個數(shù)都說出來，你怎么能算出平均數(shù)呢？

生：雖然沒給數(shù)，可是題目中說了“小麗和小東踢的個數(shù)比小華少，比小剛多”，所以我就按照要求先把小麗和小東的數(shù)都假設成一個數(shù)，這個數(shù)比29少比11多就行了，這樣就能列算式計算了。

通過對話可以看出，學生對計算平均數(shù)的方法的掌握還是很牢固的，他們試圖通過已知的計算方法找到解題思路。在這個學生的心目中，要計算平均數(shù)就要先有數(shù)據(jù)，題目中沒有直接給出數(shù)據(jù)，那么就要根據(jù)給出的信息找到一個符合條件的數(shù)據(jù)，通過計算出確切的數(shù)值進行選項的判斷。

路徑二：移多補少，確定平均數(shù)。

在被追蹤的120名學生中有30人采用了這個方法，比較典型的方法如下：

從圖上我們可以直觀地感受到學生在嘗試運用“移多補少”的方法解決問題，他們是怎樣想到的呢？帶著這個疑問我們對圖4這個學生進行了追蹤訪談。

師：讓你找到他們的平均數(shù)，你這是干嘛呢？（手指里面的加法和減法算式）

生：我想把多的給少的，這樣就能找到平均數(shù)。

師：你是怎樣想到要這樣做的呢？

圖4

圖5

生：在上課時，老師給我們講平均數(shù)時就是這樣找的。

師：怎樣找的？

生：就是移多補少找的，那時候是說水深的事情，把高處的土移到低處去，然后河的底下就平了，老師告訴我們這個平的河底的水深就是平均數(shù)。

師：看來移多補少在你心中留下了深刻印象，可是這道題中小麗和小東的條形都是空的，你怎么還能夠通過移多補少找到他們平均數(shù)的范圍呢？

生：這里38是最大的，所以肯定得給最少的小剛補上，給他9個，就是29個了，而小剛得到后才18個，小麗和小東在29和11之間，再怎么移多補少，他們幾個人的平均數(shù)也是比29少，比11多，所以能夠確定他們的平均數(shù)在11～29之間。

師：你說小紅給小剛9個，小剛才18個，為什么要加上一個‘才’字，你想說明什么？

生：就是給完了也是少，其他的再怎么勻乎勻乎還是在這個范圍內。

我們都清楚地知道，對于平均數(shù)可以簡單地理解為：平就是拉平，均就是相等。即幾個不相等的數(shù)在“和”不變的情況下，通過移多補少而變得相等，這個相等的數(shù)就是平均數(shù)。這樣一個抽象的問題，學生通過對課堂學習情景的再現(xiàn)，把移多補少的過程巧妙地遷移到了這道題中。正是對“學習過程”的生動再現(xiàn)與巧妙遷移，才使得他們在解決這樣一道看似“無法”的問題時多了一條路徑。

路徑三：意義加特點，確定平均數(shù)

平均數(shù)介于最大數(shù)和最小數(shù)之間，能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，是一個虛擬的數(shù)。依據(jù)平均數(shù)的這一意義、特點，學生能否尋找到解決問題的路徑呢？

通過追蹤我們發(fā)現(xiàn)，120名學生中有80人采用了這個方法，通過對比，我們找到了2個最具有代表性的學生的作品。

圖6

圖7

針對其中的2名學生我們進行了訪談。

訪談一：針對圖6學生的訪談。

師：題目讓你們找到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，你也沒有計算的過程，也沒有找全這組數(shù)據(jù)，怎么就準確地說出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是在11～29之間。

生：因為平均數(shù)就是一個平均情況，是這組數(shù)據(jù)的一個情況（學生對于整體情況這件事雖然不會準確描述，但是能夠感受到平均數(shù)的本質內涵）。從題中可以看出小麗和小東都在29以下，11以上，所以這組數(shù)據(jù)中雖然有1個人是38個比較大，但是其他4人都比38少很多，這樣一看，不用算也知道整體上不會超過29，也不會比11少，所以我認為應該選擇A。

由這個學生的回答，我們可以清楚地感受到“平均數(shù)反映的是這組數(shù)據(jù)的總體情況”這件事已經在他的心目中生根發(fā)芽，應用起來也是得心應手。

圖7學生解決問題的方式似乎和圖6學生相同，但是他的表達方式似乎更加抽象一些，他又是怎樣想的呢？下面是我們的訪談實錄。

訪談二：針對圖7學生的訪談。

師：這道題讓你找到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，你怎么就寫了一個大部分就知道了，這個大部分是什么意思？

生：因為平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的情況，是這些數(shù)據(jù)勻乎完了的數(shù)值，在這幾個人中，就一個38比較大，其他的數(shù)好幾個都是11～29之間的數(shù)，就是小紅一人多點，她一人給他們勻乎也勻不了多少，也不能改變什么。所以說，他們的總體情況還是不會變什么，得聽大多數(shù)的，所以選擇A。

師：你說的聽大多數(shù)的是不是就是你題中寫的——

生：大部分。

師：是永遠都聽大部分的嗎？這個少數(shù)人就不起任何作用嗎？

生：小紅雖然多，但是只是一點，對于這個整體不起太大作用，改變不了什么。

師：你覺得什么時候會改變點什么？

生：除非她特別多或者特別少，才能把那些“大部分”變大或者變小。

通過對圖6和圖7兩位同學的訪談我們可以看出，對于平均數(shù)的本質內涵：在最大數(shù)和最小數(shù)之間，較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，學生已經非常熟悉，并且能夠運用這個特性正確分析數(shù)據(jù)特點，靈活解決問題。

通過對上面這3種路徑的分析，我們發(fā)現(xiàn)學生在解決這個問題時，或是根據(jù)平均數(shù)的計算方法進行數(shù)據(jù)的假設，或是根據(jù)平均數(shù)得來的過程進行數(shù)據(jù)的“拼補”，或是根據(jù)對平均數(shù)意義的理解進行推測，不同特質的學生采用了不同的解決問題的路徑。但是這些方法沒有一個是教師手把手教的，而是學生在對基本概念理解的基礎上的一種“獨創(chuàng)”的“好”方法，學生的學習有自己的思維路徑。

回想我們的課堂教學，我們很少真正思考學生需要的是什么？他們自己有哪些更好的方法和策略？我們總想著塞給學生一個更好的策略或者思路，總想著幫助學生盡早地擇優(yōu)一下，總想著拽著學生跳過溝壑，少走彎路。費盡心機、嘔心瀝血后，一旦放手，學生仍然不能很好地解決問題，我們不由得仰天長嘆：怎么就教不會呢？其實是我們不會教。從今天的學生研究中我們看出，不同特質的學生自己會去尋找不同路徑，尋找一條適合自己的“出路”。而我們的手把手的背后，是對學生思維的禁錮。

有了這樣的學生研究，我們才真正讀懂了探求學生內心世界的重要?；貧w學生的內心世界，重構我們的課堂教學，我們發(fā)現(xiàn)：與其費盡心機讓學生理解我們的想法，不如順其自然和學生一起走在數(shù)學的路上，順應學生的思維，嘗試接納他們的想法，站在他們的角度巧妙引導，我們也許會收獲得更多。

（北京市朝陽區(qū)教育研究中心100020北京市朝陽區(qū)望京南湖東園小學100020）