□郜舒竹

“變教為學(xué)”需要“好奇”的問(wèn)題

□郜舒竹

編者按

在現(xiàn)行的國(guó)家課程中安排有“綜合實(shí)踐活動(dòng)”課程，數(shù)學(xué)課程中也有“綜合與實(shí)踐”板塊。此外，近幾年來(lái)，部分地區(qū)還安排了“學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)課程”。其目的都是為了實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容的“實(shí)踐性”和“綜合性”，彰顯學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的“活動(dòng)性”。以期讓學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容與自然和社會(huì)建立聯(lián)系，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與人類的實(shí)踐活動(dòng)建立聯(lián)系，改變“講解與示范”單一的教法以及“傾聽(tīng)與模仿”單一的學(xué)法，真正做到“變教為學(xué)”。實(shí)現(xiàn)這種改變的一個(gè)基礎(chǔ)性工作就是開(kāi)發(fā)出能夠體現(xiàn)實(shí)踐性、綜合性與活動(dòng)性的課程內(nèi)容。

“變教為學(xué)”作為課堂教學(xué)改革，期望將“傳授”式的教，改變?yōu)椤耙l(fā)”式的教?！耙l(fā)”的一個(gè)重要方面是喚起學(xué)生的好奇心，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。充分利用具有“娛樂(lè)”特征的問(wèn)題，是實(shí)現(xiàn)這一目的的有效方法。

變教為學(xué) 好奇 娛樂(lè)

“變教為學(xué)”并不是把“教”變?yōu)椤皩W(xué)”的意思，更不是否定教師“教（Teaching）”的意義及其價(jià)值，而是期望將“傳授”式的教，改變?yōu)椤耙l(fā)”學(xué)生學(xué)習(xí)的教。這樣的教不是簡(jiǎn)單地將書(shū)本上的內(nèi)容“告知”給學(xué)生，而是采用靈活多樣的方式“引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)、引發(fā)學(xué)生主動(dòng)地思考”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生“自由、自主、自信”地學(xué)習(xí)。

引發(fā)式的教學(xué)首要的問(wèn)題是如何讓學(xué)生愿意學(xué)習(xí)，也就是首先需要引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。一個(gè)有效的方法是展示“知識(shí)的魅力”，這樣的魅力可以源于“真實(shí)的問(wèn)題”，讓需求成為學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的誘因；[1]也可以源于自然的問(wèn)題，讓知識(shí)間的聯(lián)系引導(dǎo)學(xué)生自然而然地思考。[2]除此之外，還可以利用具有“娛樂(lè)（Recreation）”特征的問(wèn)題，喚起學(xué)生的好奇心，進(jìn)而引起學(xué)生思考的興趣。

在西方國(guó)家的數(shù)學(xué)學(xué)科分類中，有一個(gè)專門的領(lǐng)域叫作“娛樂(lè)數(shù)學(xué)（Recreational Mathematics）”，這一領(lǐng)域中的內(nèi)容，不強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，也不強(qiáng)調(diào)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用性。只注重其與人的情感和思維的聯(lián)系，其目的是引起人的好奇或者疑惑，激發(fā)人思考的愿望。在這一領(lǐng)域的研究中，最著名的人物當(dāng)數(shù)美國(guó)的馬丁·加德納（Martin Gardner，1914年10月21日—2010年5月22日）。1957年，加德納在《科學(xué)美國(guó)人》（Scientific American）期刊上開(kāi)設(shè)了一個(gè)名為“數(shù)學(xué)游戲（Mathematical Games）”的專欄，這個(gè)專欄一直延續(xù)了20余年。通?？磥?lái)，數(shù)學(xué)具有抽象、枯燥的特征，而加德納的本領(lǐng)在于將數(shù)學(xué)問(wèn)題用符合人們好奇心的形式展示出來(lái)，使之具有了娛樂(lè)的特征。

一、朋友圈流傳的“賬單問(wèn)題”及其來(lái)源

在我國(guó)手機(jī)微信朋友圈中曾經(jīng)流行的一個(gè)“賬單問(wèn)題”（見(jiàn)圖1），使得許多人感到困惑不已。

圖1

這個(gè)問(wèn)題的大意是說(shuō)：如果我有50元錢，4次購(gòu)物每次花銷分別是20元、15元、9元、6元，正好將50元錢花完，因此每次購(gòu)物所花錢數(shù)總和恰好是50元。算式為：

20+15+9+6=50（元）

每次購(gòu)物后剩余錢數(shù)分別為30元、15元、6元、0元，那么這些剩余錢數(shù)總和為：

30+15+6+0=51（元）

令人疑惑的問(wèn)題是：為什么這些剩余錢數(shù)總和不等于50元，而是51元呢？

這一問(wèn)題的原型實(shí)際上來(lái)源于馬丁·加德納所設(shè)計(jì)的一個(gè)名為“Low Finance”的問(wèn)題[3]（見(jiàn)圖2）。

圖2 “Low Finance”問(wèn)題掃描圖

馬丁·加德納是用故事的形式講述這個(gè)問(wèn)題的：一位叫作格林（Green）的先生在銀行存款100元，分6次將100元取出，6次取款金額分別為50元、25元、10元、8元、5元、2元，因此每次在銀行中剩余錢數(shù)分別為50元、25元、15元、7元、2元、0元。取款金額總和為：

50+25+10+8+5+2=100（元）

而每次剩余錢數(shù)總和是：

50+25+15+7+2+0=99（元）

格林先生對(duì)此異常疑惑，為什么剩余錢數(shù)總和不是100元，而是99元呢？他認(rèn)為是自己欠了銀行1元錢。因此專程前往銀行咨詢。

二、問(wèn)題的解釋

格林先生來(lái)到銀行，向銀行負(fù)責(zé)人講明來(lái)意。銀行經(jīng)理面對(duì)圖2的數(shù)據(jù)，首先感謝格林先生的誠(chéng)實(shí)，而后通過(guò)舉例的方式為格林先生作出了解釋。如果分2次取出100元，第一次取出99元，第二次取出1元。那么剩余錢數(shù)分別是1元和0元（見(jiàn)圖3）。

這時(shí)剩余錢數(shù)總和只有1元：1+0=1（元）。

換一種情況看，如果分4次取出100元，前3次每次取出1元，第四次取出97元，那么每次剩余錢數(shù)分別為99元、98元、97元、0元（見(jiàn)圖4）。

這時(shí)剩余錢數(shù)總和為：99+98+97=294（元）。

這就說(shuō)明，無(wú)論分多少次怎樣取出100元，那么圖中左側(cè)取出錢數(shù)總和一定是100。但是右側(cè)每次剩余錢數(shù)之和并不一定等于100，可以很小，也可能較大。聽(tīng)了解釋，格林先生才恍然大悟。

這一故事未必是真實(shí)的，馬丁·加德納利用人們司空見(jiàn)慣“收、支應(yīng)當(dāng)相等”的觀念，潛意識(shí)中認(rèn)為“左、右兩列數(shù)據(jù)總和應(yīng)當(dāng)相等”，編制出這樣讓人產(chǎn)生“奇怪”感覺(jué)的問(wèn)題，誘發(fā)人們的好奇心。使得這個(gè)問(wèn)題具有了娛樂(lè)的特征。

圖3 “Low Finance”問(wèn)題解釋掃描圖

圖4 “Low Finance”問(wèn)題解釋掃描圖

三、進(jìn)一步的探討

前面的例子都顯示了取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和不相等的情況，還可以進(jìn)一步思考，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)相等的情況呢？

如果第一次取出1元，則剩余99元；第二次取出98元，剩余1元；第三次取出1元，100元全部取完，剩余0元。這一過(guò)程可以用表格的形式表示。

取出錢數(shù)（元） 剩余錢數(shù)（元）第一次 1 99第二次 98 1第三次 1 0總和 100 100

這時(shí)就出現(xiàn)了取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和都等于100元的情況。類似的，如果第一次取出2元，剩余錢數(shù)為98元；第二次取出96元，則剩余2元；第三次取出2元，剩余0元。

同樣也使得取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和相等。進(jìn)一步的問(wèn)題是：使得3次取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和都等于100元的情況，有什么樣的規(guī)律？

取出錢數(shù)（元） 剩余錢數(shù)（元）第一次 2 98第二次 96 2第三次 2 0總和 100 100

不妨用字母a表示第一次取出錢數(shù)，那么第一次取出a元后剩余“100-a”元；第二次取出后應(yīng)當(dāng)使得剩余錢數(shù)為a元，因此第二次應(yīng)當(dāng)取出“100-2a”元；第三次取出最后的a元。

取出錢數(shù)（元） 剩余錢數(shù)（元）第一次 a 100-a第二次 100-2a a第三次 a 0總和 100 100

由于第二次取出“100-2a”元，如果要求每次取出錢數(shù)為整元數(shù)，那么“100-2a”就必須大于或等于1元，因此a最大只能是49元，也就是說(shuō)第一次取出錢數(shù)最小可能是1元，最大可能是49元。在這樣的條件下，才有可能使得3次取出錢數(shù)總和與剩余錢數(shù)總和都等于100元。

在這個(gè)基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步研究取錢次數(shù)為4次或更多的情況。馬丁·加德納在故事結(jié)束時(shí)，按照取出錢數(shù)總和是確定的100元，而剩余錢數(shù)總和未必等于100元的結(jié)論。提出了另外一個(gè)自然的問(wèn)題：如果每次取出錢數(shù)必須是整元數(shù)，這個(gè)剩余錢數(shù)之和最小與最大的可能分別是多少？

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，對(duì)于不能確定的數(shù)據(jù)，自然而然會(huì)尋找數(shù)據(jù)所在的范圍，而確定這個(gè)范圍的方法就是找到“界限”，這里所說(shuō)的“最大”和“最小”實(shí)際上就是剩余錢數(shù)之和所在范圍的界限。

根據(jù)圖3的啟發(fā)，將100元1次取出，那么剩余錢數(shù)就是0元，因此這個(gè)最小值自然就是0。同樣根據(jù)圖4的啟發(fā)，每次只取出1元，分100次取完，那么剩余錢數(shù)分別為：

99，98，97……2，1，0這些錢數(shù)總和為：

99+98+97+……+2+1+0=4950（元）

因此這個(gè)最大值就是4950元。

以上內(nèi)容可以用于諸如“綜合與實(shí)踐”或者“學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)課程”的教學(xué)，也可以用于中低年級(jí)的計(jì)算教學(xué)。這樣的課程與教學(xué)并不針對(duì)某個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，而是基于問(wèn)題以及對(duì)于問(wèn)題的好奇，運(yùn)用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)或方法，開(kāi)展對(duì)問(wèn)題的思考與解決。教學(xué)的基本流程應(yīng)當(dāng)包括如下的環(huán)節(jié)[4]：

問(wèn)題與動(dòng)機(jī)：觀察情境產(chǎn)生問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題產(chǎn)生動(dòng)機(jī)。

過(guò)程與方法：設(shè)計(jì)方案經(jīng)歷過(guò)程，反復(fù)嘗試發(fā)明方法。

多樣與錯(cuò)誤：結(jié)果多樣表達(dá)交流，比較反思修正錯(cuò)誤。

聯(lián)想與應(yīng)用：歸納類比思考關(guān)聯(lián)，通過(guò)應(yīng)用體會(huì)價(jià)值。

[1]郜舒竹.變教為學(xué)需要“誘人”的問(wèn)題[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（12）.

[2]郜舒竹.變教為學(xué)需要“自然”的問(wèn)題[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2016（1／2）.

[3]Martin Gardner.Entertaining Mathematical Puzzles.Dover Publications,Inc.p17.

[4]郜舒竹.“變教為學(xué)”需要螺旋上升的學(xué)習(xí)活動(dòng)[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（10）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）