☉河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 趙繼勇

學(xué)生解題能力的培養(yǎng)
——“思路尋找”

☉河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 趙繼勇

教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一種情況：講解完一道題目后，學(xué)生都能理解，也清楚應(yīng)該這樣求解.但再遇到一道新問(wèn)題時(shí)，仍然感覺(jué)無(wú)從下手.究其原因是學(xué)生并不清楚解題思路的根源，不知道如何去尋找解題思路.下面舉例說(shuō)明，以期對(duì)同學(xué)們解題思路的尋找能有所幫助.

例題已知函數(shù)fn（x）=（n∈N*），關(guān)于此函數(shù)的說(shuō)法正確的序號(hào)是______.

①fn（x）（n∈N*）為周期函數(shù)；

②fn（x）（n∈N*）有對(duì)稱軸；

④|fn（x）|≤n（n∈N*）.

本題是以函數(shù)為背景的綜合問(wèn)題，集中考查了函數(shù)的性質(zhì).下面通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析、引導(dǎo)，幫助同學(xué)們尋找解題思路.

一、明確考查視角，思路自然生成

師：本題以函數(shù)為背景，那么高考對(duì)函數(shù)的考查視角是什么？

生：函數(shù)的性質(zhì)、圖像.

師：函數(shù)具有哪些性質(zhì)？

生：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值等.

師：函數(shù)式中含有sinx，我們知道sinx是周期函數(shù)，2π是其最小正周期，那么2π是不是函數(shù)fn（x）的周期呢？試一試！

生：fn（x+2π）=

師：不經(jīng)意間得到了我們想要的結(jié)果.再來(lái)看看奇偶性.

師：偶函數(shù)關(guān)于什么對(duì)稱？

生：關(guān)于y軸對(duì)稱.

師：命題②不攻自破.

評(píng)析：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容，高考中函數(shù)的命題視角主要體現(xiàn)在對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查.熟練掌握這些性質(zhì)的定義、判定方法及常見(jiàn)的變形是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

變式1已知函數(shù)f（x）=tanx-sinx，那么下列命題正確的是_______.

①f（x）的周期為π；②f（x）的圖像關(guān)于（π，0）對(duì)稱；

解析：對(duì)于①，f（x+π）=tan（x+π）-sin（x+π）=tanx+ sinx，故錯(cuò)誤.

對(duì)于②，f（π+x）+f（π-x）=tan（π+x）-sin（π+x）+ tan（π-x）+sin（π-x）=tanx+sinx-tanx-sinx=0.故函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于（π，0）對(duì)稱.正確.

對(duì)于④，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=tanx與y=sinx在上單調(diào)遞增，y=sinx在上單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）在）上的圖像，由圖像可知兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn).

故正確答案為②③.

二、清楚處理策略，思路水到渠成

師：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果讓我們求其對(duì)稱中心，確實(shí)不易入手，但如果讓你判斷某點(diǎn)是否為其對(duì)稱中心呢？

生：若點(diǎn)（a，b）為函數(shù)（fx）的對(duì)稱中心，則滿足關(guān)系2b-y=（f2a-x）.對(duì)于③，若的對(duì)稱中心，則有即y=-

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)不是函數(shù)fn（x）（n∈N*）的對(duì)稱中心.

師：除了對(duì)稱中心，如果讓我們判斷一條直線x=a是否為函數(shù)的對(duì)稱軸，如何判斷？

生：若x=a是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，則滿足f（2a-x）= f（x）.

評(píng)析：間接判斷是解答客觀題的常用思路，題目所給的函數(shù)并非為我們熟悉的常見(jiàn)類型，即f（x）=Asin（ωx+ φ）型，因此若直接求解，較為煩瑣.根據(jù)題型特征，利用小題小做的原則，間接判斷相關(guān)命題是否正確.

變式2已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中正確的是__________.

①（fx）的圖像關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱；

③（fx）為非奇非偶函數(shù).

解析：對(duì)于①，若y=f（x）的圖像關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱，則有（f2π-x）=（fx），（f2π-x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）= -cosxsin2x=-（fx），故①正確.

對(duì)于③，因?yàn)閏osx為偶函數(shù)，sin2x為奇函數(shù)，所以（fx）為奇函數(shù)，故③錯(cuò)誤.

正確答案為①②.

三、善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化，思路得到升華

師：當(dāng)我們遇到一個(gè)陌生的問(wèn)題時(shí)，所謂的陌生只是表面現(xiàn)象，陌生的背后往往是我們熟悉的問(wèn)題背景，因此，解題中要善于將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，這里的轉(zhuǎn)化不僅包括化生為熟，還包括化繁為簡(jiǎn)、化抽象為直觀、化數(shù)為形等.

對(duì)于例題的命題④，|fn（x）|≤n（n∈N*），我們?nèi)绾蝸?lái)轉(zhuǎn)化？

生：|fn（x）|≤n（n∈N*），即，則下列說(shuō)法中正確的是（）.

A.若a≤0，則f（x）≤1恒成立

B.若f（x）≥1恒成立，則a≥0

C.若a＜0，則關(guān)于x的方程f（x）=a有解

D.若關(guān)于x的方程f（x）=a有解，則0＜a≤1

解析：對(duì)于A，若a≤0，則f（x）≤1恒成立；當(dāng)a=-1時(shí)，≤n，亦即|sinnx|≤ |nsinx|，而此式顯然成立.

師：式|sinnx|≤|nsinx|（n∈N*）是我們前面學(xué)習(xí)中證明過(guò)的一個(gè)不等式，此時(shí)可直接利用此結(jié)論，如果是解答題要嚴(yán)格證明.同學(xué)們于來(lái)回憶一下證明過(guò)程.

生：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即|sinkx|≤|ksinx|.

當(dāng)n=k+1時(shí)，|sin［（k+1）x］|=|sinkx·cosx+coskx·sinx|≤|sinkx·cosx|+|coskx·sinx|=|sinkx|·|cosx|+|coskx|·|sinx|≤k|sinx|+|sinx|=（k+1）|sinx|.

故當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，結(jié)論均成立.

評(píng)析：?jiǎn)栴}求解過(guò)程中要關(guān)于尋找條件與結(jié)論之間的關(guān)系，找到二者轉(zhuǎn)化的途徑，即可順利解題.

對(duì)于B，若f（x）≥1恒成立，即a有解，顯然不等式不成立，所以C不正確.

對(duì)于D，若關(guān)于x的方程f（x）=a有解，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）＞0，不等式不成立；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）≤1，不等式不成立；當(dāng)0＜a≤1，f（x）∈（0，1），所以D正確.

綜上，解題教學(xué)中教師要關(guān)于引導(dǎo)學(xué)生從解題思路的尋找上多下功夫，不僅要讓學(xué)生明白應(yīng)該這樣解，還要讓他們清楚為什么這樣解，這種解法是如何想到的.只有這樣學(xué)生再遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)才知如何入手，解題能力才能得到本質(zhì)上的提升.F