☉浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 倪樹平

關(guān)注概念的生成生長(zhǎng)讓概念教學(xué)更自然
——以“平面向量的坐標(biāo)表示”概念教學(xué)為例

☉浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 倪樹平

一、問題提出

數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性及其特征在人們思想中的反映，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象的特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)常常需要自己的觀察、感知、體驗(yàn)、抽象和概括的過程.而現(xiàn)實(shí)中有的教師借口教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重，在教學(xué)中常常略去概念的生成過程和生長(zhǎng)發(fā)展過程、必要的問題探究過程，缺少概念本質(zhì)內(nèi)涵的揭示，取而代之的是搞“一個(gè)定義三項(xiàng)注意”的概念教學(xué)模式，從而弱化了學(xué)生對(duì)概念形成過程及其本質(zhì)的理解，影響了學(xué)生對(duì)概念的建構(gòu)，學(xué)生普遍感到概念難學(xué)、難懂，不會(huì)用.那么，如何讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念，形成自身結(jié)構(gòu)完整的概念體系呢？筆者認(rèn)為，我們要做的是：關(guān)注概念的生成生長(zhǎng)，在學(xué)生已有概念的基礎(chǔ)上讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念的自然生成和生長(zhǎng)發(fā)展過程，理解概念之間的必然聯(lián)系及其本質(zhì)內(nèi)涵，感悟概念的應(yīng)用價(jià)值，這樣，才能讓概念教學(xué)更自然、更貼近學(xué)生，有利于學(xué)生合理有序建構(gòu)概念，形成較為完整的概念體系，從而減少對(duì)概念理解和應(yīng)用的各種思維障礙.下面以“平面向量的坐標(biāo)表示”概念教學(xué)為例談幾點(diǎn)教學(xué)思考，以拋磚引玉.

二、案例回放

《平面向量的坐標(biāo)表示》概念教學(xué)案例

1.類比引入，生成概念

教師：我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)即它的坐標(biāo)來表示，對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任一個(gè)向量，如何表示呢？能否也可以用坐標(biāo)來表示？今天我們來研究這個(gè)問題.由平面向量基本定理可知平面內(nèi)任一向量都可以用一組基底來表示，如何選取基底會(huì)給我們研究帶來方便？

學(xué)生1：選取兩個(gè)互相垂直的單位向量作為基底比較合適.

教師：你是怎么考慮的，跟大家說說！

學(xué)生1：?jiǎn)挝幌蛄磕Ｊ?，體現(xiàn)簡(jiǎn)約，互相垂直又是向量位置關(guān)系中最常見的一種，這也類似于選取兩條互相垂直的坐標(biāo)軸一樣，因此，選取互相垂直的單位向量作為基底會(huì)給我們研究問題帶來方便.

教師：很好！選取兩個(gè)互相垂直的單位向量作為基底與我們以前確定點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)選取兩條互相垂直的坐標(biāo)軸并確定坐標(biāo)軸上單位長(zhǎng)度是類似的.那么，我們按上述思路確定怎樣的一組基底比較合適呢？

學(xué)生2：分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底最好.

教師：好的！這樣基底的互相垂直與兩坐標(biāo)軸互相垂直吻合了.那么對(duì)于平面內(nèi)任一向量a該如何用i，j來表示呢？

學(xué)生3：由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a=xi+yj.

教師：不錯(cuò)！這樣a是由x，y唯一確定，能否將a的表示可以再簡(jiǎn)化一些？

學(xué)生4：我想類比點(diǎn)的坐標(biāo)形式直接把a(bǔ)用（x，y）來表示最簡(jiǎn)單了.

教師：非常好！體現(xiàn)簡(jiǎn)約的思想！我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，這個(gè)式子叫做向量a的坐標(biāo)表示.由此，我們看到向量的坐標(biāo)表示與點(diǎn)的坐標(biāo)表示形式是一樣的.

2.體會(huì)合理性，生長(zhǎng)概念

教師：接下來我們思考如此定義平面向量的坐標(biāo)表示是否合理？你能給出i，j，0的坐標(biāo)嗎？

學(xué)生5：i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）.

教師：我們可以看到上述三個(gè)向量的坐標(biāo)與平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)成一一對(duì)應(yīng).如果把i，j，0的起點(diǎn)放在原點(diǎn)，其終點(diǎn)坐標(biāo)與其坐標(biāo)有什么關(guān)系？

學(xué)生6：其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo).

教師：這是巧合嗎？我們把問題一般化來研究，在直角坐標(biāo)平面中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)與A點(diǎn)的坐標(biāo)分別是什么？它們之間有何關(guān)系？

教師：很好！因此，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示，這樣平面向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)即它的坐標(biāo)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以這樣定義平面向量的坐標(biāo)與定義點(diǎn)的坐標(biāo)是類似的，體現(xiàn)了其合理性.

3.理解本質(zhì)，建構(gòu)概念

教師：同學(xué)們?nèi)绾卫斫馄矫嫦蛄康淖鴺?biāo)表示的本質(zhì)內(nèi)涵呢？

問題1：已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a，b的坐標(biāo)所表達(dá)的本質(zhì)內(nèi)涵是什么？

學(xué)生8：a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j.

教師：不錯(cuò)！“平面向量的坐標(biāo)表示”的本質(zhì)就是用平面內(nèi)的一組與x軸，y軸方向相同且互相垂直的單位向量i，j作為基底來表示平面內(nèi)任一向量，只是簡(jiǎn)化了表示形式而已.

教師點(diǎn)明平面向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生充分理解概念的本質(zhì).

教師：那么如此定義平面向量的坐標(biāo)表示給向量的運(yùn)算帶來哪些方便呢？

問題2：能否運(yùn)用平面向量的線性運(yùn)算求出a+b，ab，λa的坐標(biāo)呢？

學(xué)生9：a+b=x1i+y1j+x2i+y2j=（x1+x2）i+（y1+y2）j=（x1+ x2，y1+y2），同理，a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）.

教師：很好！這樣，我們看到前面學(xué)過的向量加減法和數(shù)乘運(yùn)算都轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單清晰的代數(shù)運(yùn)算，這也體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)表示的合理性和優(yōu)越性，這就是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

問題3：如圖1，已知A（x1， y1），B（x2，y2），求的坐標(biāo).

教師：很好！由此，我們看到一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).同學(xué)們能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為（x2-x1，y2-y）1的點(diǎn)P嗎？

4.解決問題，應(yīng)用概念

教師：請(qǐng)同學(xué)們談?wù)剢栴}的解決思路！

學(xué)生10：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得，代入計(jì)算求出m的值.教師：請(qǐng)同學(xué)們按該同學(xué)的思路做做看！數(shù)分鐘后讓學(xué)生10共享其解答過程.

學(xué)生10：∵A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得，所以2i+3j-（i+j）= λ［（m+1）i+（m-2）j-（i+j）］，

教師：今天我們學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，同學(xué)們對(duì)學(xué)生10的做法有什么反思嗎？

學(xué)生11：可以運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來做！建立平面直角坐標(biāo)系，使i、j與x軸，y軸同向，這樣，所以（1，2）=λ（m，m-3），求出m=-3.

教師：很好！這樣做大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)表示的優(yōu)越性，說明同學(xué)們已經(jīng)理解了平面向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)涵義.等我們以后學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積時(shí)將更加突顯出其優(yōu)越性.

三、概念教學(xué)思考

1.放緩概念的引入過程，讓概念自然生成

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象的特點(diǎn).每一個(gè)數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中都占有一定的地位，與其他概念之間存在著必然的聯(lián)系，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的獲得往往是通過自己的觀察、感知、體驗(yàn)、抽象和概括等過程，將新的概念與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立聯(lián)系，并將新的概念建構(gòu)到自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中.因此，在概念教學(xué)中要放緩概念的引入過程，揭示新概念與已有概念之間的聯(lián)系，給學(xué)生以充分的時(shí)間去感知、體驗(yàn)和探究概念的生成過程，同時(shí)，概念的引入過程也是讓學(xué)生自己抽象、概括新概念的過程，這樣，使學(xué)生感受到新概念的生成是一個(gè)自然流暢而又水到渠成的過程.

案例中通過類比“平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)表示”的方法引出“平面向量的坐標(biāo)表示”，在表示平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)必須先選取兩條有公共原點(diǎn)且互相垂直的坐標(biāo)軸x軸，y軸并確定坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，再確定點(diǎn)的坐標(biāo)，類比到表示平面向量的坐標(biāo)時(shí)必須先選取一組互相垂直且與x軸，y軸方向相同的單位向量i，j作為基底，由平面向量基本定理將平面內(nèi)任一向量用i，j的唯一線性組合表示，再將表示形式簡(jiǎn)化，這樣自然生成了平面向量的坐標(biāo)表示.整個(gè)過程是學(xué)生通過類比的方

法，充分感知、探究概念的生成過程，同時(shí)，為下一步探究點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)之間的聯(lián)系奠定了良好的認(rèn)知基礎(chǔ).

2.展現(xiàn)概念的發(fā)展過程，讓概念自然生長(zhǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出：“概念教學(xué)要返璞歸真，努力揭示概念的形成過程、發(fā)展過程及其本質(zhì).”每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有其一定的背景，概念的引入都有其合理性，因此，在概念教學(xué)過程中，要揭示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，展現(xiàn)概念的發(fā)展過程，讓學(xué)生在已有概念的基礎(chǔ)上親身經(jīng)歷概念的生成過程和發(fā)展過程，這樣，學(xué)生對(duì)概念的生成過程和發(fā)展過程做到清晰明了，也能更好地體會(huì)概念的合理性，有利于概念在學(xué)生的頭腦中自然地生長(zhǎng).

案例中“平面向量的坐標(biāo)表示”的概念的生成過程自然流暢，但如何讓概念自然生長(zhǎng)，使學(xué)生更好地體會(huì)概念的合理性，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的研究方法去探究點(diǎn)的坐標(biāo)與平面向量坐標(biāo)之間的聯(lián)系，整個(gè)探究過程展現(xiàn)了“平面向量的坐標(biāo)表示”的生長(zhǎng)發(fā)展過程，揭示了將向量的起點(diǎn)放在原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)之間的必然聯(lián)系.學(xué)生已經(jīng)清楚了平面內(nèi)的點(diǎn)與其坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此得到每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)即它的坐標(biāo)唯一表示，即建立起平面向量與其坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也就一自了然.

3.揭示概念的本質(zhì)內(nèi)涵，讓概念有序建構(gòu)

概念的本質(zhì)內(nèi)涵是指反映在概念中的對(duì)象的本質(zhì)屬性，學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)內(nèi)涵的把握也是一個(gè)緩慢有序的過程.建構(gòu)概念的關(guān)鍵是在經(jīng)歷概念的生成過程和發(fā)展過程的基礎(chǔ)上理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵，搞清楚概念之間的內(nèi)在聯(lián)系.因此，在概念教學(xué)過程中要揭示概念的本質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生清楚概念的來龍去脈，深刻理解概念的本質(zhì)涵義，促使學(xué)生將所學(xué)的概念融合到自己相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，與其他概念建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，并在概念體系中去建構(gòu)新概念，這樣，學(xué)生對(duì)概念的建構(gòu)是建立在已有概念基礎(chǔ)上的意義建構(gòu)，才是合理有序的建構(gòu)，建構(gòu)的概念在學(xué)生的頭腦中才能持久而深刻，學(xué)生才有可能運(yùn)用概念提出新問題、解決新問題.

案例中“平面向量的坐標(biāo)表示”的本質(zhì)就是用平面內(nèi)的一組與x軸，y軸方向相同且互相垂直的單位向量i，j作為基底來表示平面內(nèi)任一向量，再類比點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法將表示形式簡(jiǎn)化.對(duì)這一本質(zhì)的揭示回歸了概念的本源，學(xué)生在已有向量加減法和數(shù)乘運(yùn)算的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了它們的坐標(biāo)運(yùn)算，學(xué)生驚喜地看到平面向量這一幾何概念的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單清晰的代數(shù)運(yùn)算，使學(xué)生更加清楚地認(rèn)識(shí)到向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的必然聯(lián)系，也更讓學(xué)生體會(huì)到引入“平面向量的坐標(biāo)表示”的合理性和必要性以及它的優(yōu)越性，至此，在學(xué)生理解概念本質(zhì)內(nèi)涵，探索解決問題的過程中合理有序建構(gòu)了新概念.

4.強(qiáng)化概念的具體應(yīng)用，感悟概念的應(yīng)用價(jià)值

任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有其應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生不會(huì)應(yīng)用概念解決問題，說明對(duì)概念本質(zhì)的理解還停留在一知半解，相應(yīng)概念的知識(shí)體系還不完整，因此，在概念教學(xué)過程中要讓學(xué)生感悟概念的具體應(yīng)用，深刻體會(huì)概念的應(yīng)用價(jià)值之所在，同時(shí)，概念應(yīng)用也是促進(jìn)學(xué)生完整穩(wěn)固建構(gòu)概念，加深對(duì)概念本質(zhì)理解之必須.

案例中的問題4，學(xué)生10的解題思路是最為典型的代表，還是選擇直接利用平面向量的線性運(yùn)算求解，運(yùn)算過程相對(duì)復(fù)雜，這些學(xué)生對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示的理解還不夠深刻，通過對(duì)問題4的討論探究，學(xué)生對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示有了更深的認(rèn)識(shí)，也讓學(xué)生再次真切地體會(huì)到引入平面向量的坐標(biāo)表示的必要性和優(yōu)越性.在以后的學(xué)習(xí)中如學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積時(shí)將更加凸顯其坐標(biāo)表示的應(yīng)用價(jià)值.

四、結(jié)束語

人教A版教材主編曾寄語：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.”因此，概念教學(xué)應(yīng)該是自然的、水到渠成的.在概念教學(xué)中我們要放緩概念的引入過程，展現(xiàn)概念的發(fā)展過程，讓學(xué)生體會(huì)概念的自然生成生長(zhǎng)，揭示概念的本質(zhì)內(nèi)涵，強(qiáng)化概念的具體應(yīng)用，讓學(xué)生有序建構(gòu)概念，感悟概念的應(yīng)用價(jià)值，這樣才能使概念教學(xué)更自然、更貼近學(xué)生，讓概念在學(xué)生的頭腦中生長(zhǎng)生根.

1.人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修4［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）［M］.北京：人民教育版社，2003.

3.李鋒.自然的、水到渠成的概念教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（6）.

4.張愛平.基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的概念教學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐與思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（2）.

5.劉瓊.讓類比為概念課添彩——“直線的斜率”課堂實(shí)錄及反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.Z