☉山西省永濟(jì)中學(xué) 王有強(qiáng)

人教A版選修2-1第一章常用邏輯用語(yǔ)的學(xué)習(xí)困惑

☉山西省永濟(jì)中學(xué) 王有強(qiáng)

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，表述數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，進(jìn)行推理論證，都要使用邏輯用語(yǔ)，學(xué)習(xí)一些常用的邏輯用語(yǔ)，可以使我們正確理解數(shù)學(xué)概念，合理論證數(shù)學(xué)結(jié)論，準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)內(nèi)容.現(xiàn)行的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)人教A版選修2-1（下簡(jiǎn)稱(chēng)為教材）的第一章設(shè)置了常用的邏輯用語(yǔ)的四節(jié)內(nèi)容，分別是：1.1命題及其關(guān)系，1.2充分條件與必要條件，1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞，1.4全稱(chēng)量詞與存在量詞.

由于數(shù)理邏輯既是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，也是邏輯學(xué)的一個(gè)分支，是用數(shù)學(xué)方法研究邏輯或形式邏輯的學(xué)科，其研究對(duì)象是對(duì)證明和計(jì)算這兩個(gè)直觀概念進(jìn)行符號(hào)化以后的形式系統(tǒng)，數(shù)理邏輯是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個(gè)不可缺少的組成部分，雖然名稱(chēng)中有邏輯兩字，但并不屬于單純的邏輯學(xué)范疇，很多老師在進(jìn)行本章教學(xué)及學(xué)生在本章學(xué)習(xí)時(shí)都感覺(jué)很苦惱，究其原因在于書(shū)本只給出一些定義，但在遇到一些問(wèn)題時(shí)很難解決，且很多學(xué)生的語(yǔ)言功底差，很難對(duì)一些命題表達(dá)的意思理解，所以在學(xué)習(xí)中就感到力不從心，筆者認(rèn)為既然是簡(jiǎn)易邏輯，就應(yīng)該突出簡(jiǎn)易二字，將課本中一些很難理解的問(wèn)題替換，這樣既減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，也可讓教師在教學(xué)中容易掌控，下文即對(duì)本章在學(xué)習(xí)中一些值得商榷的內(nèi)容提出一點(diǎn)個(gè)人淺見(jiàn).

一、教學(xué)中對(duì)命題主題思想很難理解到位

問(wèn)題1：（教材第6頁(yè)練習(xí)）寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假.第（2）題：“若一個(gè)三角形有兩個(gè)邊相等，則這個(gè)三角形有兩個(gè)角相等.”

筆者在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)該命題的否命題的回答出現(xiàn)了兩個(gè)版本：

版本一：若一個(gè)三角形中沒(méi)有兩條邊相等，則這個(gè)三角形沒(méi)有兩個(gè)角相等.

版本二：若一個(gè)三角形中有兩條邊不相等，則這個(gè)三角形有兩個(gè)角也不相等.

在人教社出版的配套教師教學(xué)用書(shū)中提供的答案是版本二，版本一的角度是原命題條件是一個(gè)三角形有兩條邊相等即此三角形為等腰三角形，對(duì)其否定的話，否定成三角形中沒(méi)有兩條邊相等，即三角形不是等腰三角形.而版本二對(duì)這個(gè)命題的理解是從其性質(zhì)入手，即等邊對(duì)等角，否定成邊不等對(duì)角也不等，筆者覺(jué)得版本一更能符合其所要表達(dá)的意思.

問(wèn)題2：（教材第6頁(yè)練習(xí)）寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假.第（3）題：“奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).”

對(duì)該命題的否命題的回答也出現(xiàn)了兩個(gè)版本：

版本一：不是奇函數(shù)的函數(shù)圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

版本二：若函數(shù)不是奇函數(shù)，則其圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

版本一是教師教學(xué)用書(shū)提供的答案，其重點(diǎn)在于理解此命題是研究函數(shù)的圖像，版本二則對(duì)命題的理解是研究奇函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，筆者覺(jué)得此時(shí)教師教學(xué)用書(shū)即版本一更為理想.

二、教材中例題、習(xí)題的選用值得商榷

問(wèn)題3：（教材第7頁(yè)例4）證明：“若x2+y2=0，則x=y=0.”

關(guān)于此題的選用筆者覺(jué)得不太合適，書(shū)本給出的解答是應(yīng)用逆否命題的真假來(lái)判斷原命題的真假，其逆否命題為“若x，y中至少有一個(gè)不為0，則x2+y2≠0”，首先此命題的逆否命題很多同學(xué)都寫(xiě)不出來(lái)，更無(wú)從談起證明，反觀本題如果直接證明，其實(shí)思路更自然，更流暢，我們說(shuō)數(shù)學(xué)是自然的，解題的思路更要自然，如果一定要用逆否命題的真假來(lái)證原命題的真假的話，對(duì)本題來(lái)說(shuō)就是“為賦新詞強(qiáng)說(shuō)愁”了.

問(wèn)題4：（教材第12頁(yè)練習(xí)1）下列形如“若p，則q”形式的命題是真命題嗎？它的逆命題是真命題嗎？p是q的什么條件？第（1）題：“若平面α外有一條直線a與平面α內(nèi)的一條直線平行，則直線a與平面α平行.”

在解答此題時(shí)，多數(shù)同學(xué)認(rèn)為其逆命題是假的，究其原因是認(rèn)為a∥α不能得到a與α內(nèi)的一條直線平行，其錯(cuò)因是因?yàn)闆](méi)有搞清楚這其實(shí)是一個(gè)特稱(chēng)命題，命題的原意即為“若平面α內(nèi)存在一條直線與平面α外的一條直線a平行，則直線a與平面α平行”，如果把存在量詞補(bǔ)充完整就好理解了，即p是q的充要條件，筆者覺(jué)得這部分的內(nèi)容還沒(méi)講到全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題，本題放在這個(gè)位置給學(xué)生的理解造成一定的困難，建議后置.

三、命題中的大前提該何時(shí)提煉

問(wèn)題5：（教材第8頁(yè)習(xí)題1.1A組第2題）寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.第（1）題：“若a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù).”

在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生給出的答案都是以逆命題為例：“若a+b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)”，而教師教學(xué)用書(shū)中提供的答案是：“若兩個(gè)整數(shù)a與b的和a+b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)”，這里我們揣摩命題的原意應(yīng)該是教師教學(xué)用書(shū)提供的答案更為理想，也就是原命題中提出a，b是偶數(shù)，得出a+b是偶數(shù)，其原意就是針對(duì)a，b的奇偶進(jìn)行研究的，也就是有a，b都是整數(shù)的一個(gè)大前提需要提煉出來(lái)，但是我們?cè)诮鉀Q一些參數(shù)范圍問(wèn)題時(shí)，卻不需要考慮這個(gè)前提，例如，命題p：函數(shù)是R上的減函數(shù)，若命題p為真，我們易得解得若命題p為假呢？我們要不要考慮有意義呢？答案是否定的，對(duì)命題p的全盤(pán)否定，即解出命題p為真時(shí)a的范圍的補(bǔ)集即為命題p為假時(shí)a的范圍，得或所以針對(duì)以上兩題的情況，筆者覺(jué)得要“因題制宜”揣摩出題的意圖，看是否需要提煉出大前提才行.

四、教材中定義該如何判斷

問(wèn)題6：（教材第10頁(yè)練習(xí)第2題）下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？第（1）題：“若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行.”

在教師教學(xué)用書(shū)中給出的答案是p?q，究其原因是在人教A版必修2第86頁(yè)最下方中給出的注釋?zhuān)喝魶](méi)有特別說(shuō)明，說(shuō)“兩條直線l1和l2”時(shí)，一般是指兩條不重合的直線，筆者覺(jué)得這條注釋顯得有些多余，因?yàn)楹芏鄷r(shí)候我們解題時(shí)，不僅要考慮斜率，還要考慮截距，也就是要考慮重合的情況，所以筆者個(gè)人認(rèn)為此處應(yīng)是不滿(mǎn)足充分性更符合我們平時(shí)解題的嚴(yán)謹(jǐn)性.

五.邏輯聯(lián)結(jié)詞該如何認(rèn)定

問(wèn)題7：將下列命題用“或”聯(lián)結(jié)成新命題，并判斷真假.

（1）p：方程x2-3x+2=0的根是x=1，q：方程x2-3x+2=0的根是x=2；

（2）p：梯形有一組對(duì)邊平行，q：梯形有一組對(duì)邊相等.

不少同學(xué)在解答（1）時(shí)，將命題改寫(xiě)成了“方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2”，改寫(xiě)成p∨q的形式后發(fā)現(xiàn)p∨q為真，而命題p與命題q其實(shí)都是假命題，前后矛盾，究其原因就是“方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2”中的“或”不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，此命題也不是p∨q形式的命題，正確的寫(xiě)法是：“方程x2-3x+2=0的根是x=1或方程x2-3x+2=0的根是x=2”為假命題.

六、逆否命題該如何改寫(xiě)

問(wèn)題8：（筆者在教學(xué)過(guò)程中講到四種命題的時(shí)候，突然想到這樣的一個(gè)問(wèn)題）“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若x≥0，則x2≥0”的逆否命題該怎么寫(xiě)？

這個(gè)命題首先判斷出是個(gè)真命題，若其逆否命題寫(xiě)成“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若x2＜0，則x＜0”明顯是假命題，這與原命題的真假性就相反了，筆者想了很久，是否可以通過(guò)集合的角度給予解釋呢？比如：命題中的條件x2＜0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就等價(jià)于x∈?，由于??（-∞，0），從而x∈??x＜0，不知是否合適，或是有其他的解釋方法，還請(qǐng)讀者指正.

七、結(jié)束語(yǔ)

詞語(yǔ)被稱(chēng)為語(yǔ)言的基石，而邏輯的基礎(chǔ)是命題，因?yàn)橹挥性诿}的層面上才涉及真假問(wèn)題，而邏輯本身就是發(fā)現(xiàn)真相并將其從謬誤中分離出來(lái)的學(xué)問(wèn)，在命題異于理解的時(shí)候，我們可以輕易地分辨出真假，但是，如果命題本身表達(dá)得含混晦澀我們就會(huì)面臨雙重問(wèn)題，因?yàn)槲覀儽仨毾日页雒}本身的含義，然后才能做出判斷，由此可知，清晰有效的表達(dá)非常重要，所以建議編者在編訂此處的教材時(shí)，盡量能照顧到學(xué)生的認(rèn)知能力，將所給的問(wèn)題換成易于理解的形式，消除歧義，方能讓學(xué)生學(xué)起來(lái)不會(huì)一頭霧水，從而能更好地理解最基礎(chǔ)的簡(jiǎn)易邏輯.