筅江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)　張永杰

對(duì)“數(shù)學(xué)教學(xué)不要無(wú)原則地搞一題多解”的思考

筅江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)張永杰

去年，教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》副組長(zhǎng)、修訂組組長(zhǎng)、首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師王尚志教授在浙江嘉興數(shù)學(xué)學(xué)科課程綱要建設(shè)推進(jìn)研討會(huì)上作了“關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂”的專題報(bào)告.報(bào)告中王教授拋出了一個(gè)觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)教學(xué)不要無(wú)原則地搞一題多解.由于沒(méi)機(jī)會(huì)參加會(huì)議聆聽(tīng)王教授報(bào)告，所讀文本信息也只有觀點(diǎn)并無(wú)闡釋，所以無(wú)從獲取更多教誨，但該觀點(diǎn)確實(shí)觸動(dòng)了筆者，作為一線教師感同身受，也引發(fā)了筆者對(duì)“數(shù)學(xué)教學(xué)不要無(wú)原則地搞一題多解”的系列思考.

一、解讀“數(shù)學(xué)教學(xué)中不要無(wú)原則地搞一題多解”

1.背景分析

王尚志教授報(bào)告的重心是介紹這次課標(biāo)修訂的兩個(gè)重要突破：一是學(xué)生的“六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)有待提高；二是把評(píng)價(jià)、考試納入課程標(biāo)準(zhǔn)，形成學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，以后不設(shè)考綱，高考以課標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn).對(duì)第一個(gè)突破要清楚其發(fā)展軌跡，主要體現(xiàn)為：從1962年的大綱提出了運(yùn)算、空間想象、邏輯推理三大能力，到本世紀(jì)初的高中數(shù)學(xué)的課改大綱發(fā)展為抽象概括、邏輯推理、空間想象、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理五大能力，再到今天的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力、素養(yǎng)發(fā)展與提高是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)制定與修改的一貫基本思考.第二個(gè)突破，主要是要把教育理想、教育目標(biāo)落實(shí)到數(shù)學(xué)課程并與數(shù)學(xué)課程深度融合，落實(shí)在學(xué)生發(fā)展中，以適應(yīng)“科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，21世紀(jì)對(duì)人才基本能力的要求，教育的深入發(fā)展逐步建立法制化、制度化的標(biāo)志”這三大背景和國(guó)際趨勢(shì)，改變我國(guó)課標(biāo)、考綱各自為政，課標(biāo)執(zhí)行力遠(yuǎn)不如考綱、高考指揮教學(xué)現(xiàn)狀.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)，注重考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率等眼前利益，忽視理性精神、數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)、全面發(fā)展等長(zhǎng)期利益.教師的理念不與時(shí)俱進(jìn)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主旋律就是解題教學(xué)，而且其“異化”途徑往往是“數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題型教學(xué)=刺激-反應(yīng)訓(xùn)練”（章建躍老師語(yǔ)）.無(wú)原則的一題多解必然發(fā)生于其中.曾經(jīng)在一所省四星級(jí)高中聽(tīng)過(guò)一堂高三復(fù)習(xí)課，教師盡其所能，學(xué)生也積極配合，一道填空題講出了八種解法，課堂氣氛良好，課后向?qū)W生了解本題的收獲，有的已不能講出這些解法的要領(lǐng)和意義，只是感覺(jué)當(dāng)初聽(tīng)懂了，教師的解法多，五彩繽紛，這說(shuō)明能力不強(qiáng)的學(xué)生很多解法聽(tīng)過(guò)做過(guò)就忘了，消化不了，那樣的一題多解就沒(méi)有多大積極意義了.講授的一題多解要著眼于能力，不能變成無(wú)謂的解法堆積和發(fā)散.如果讓一題多解泛濫，那么一部分同學(xué)可能會(huì)不多解不罷休，深陷其中不能自拔；一部分越聽(tīng)越迷糊，題目拿到手不知從何下手.一題多解教學(xué)是必要的，但不應(yīng)該成為課堂教學(xué)的常態(tài).

高中課程改革的大背景下，學(xué)校的培養(yǎng)要著眼于學(xué)生的核心素養(yǎng)和能力的提高.無(wú)原則地搞一題多解是功利短視的做法，它違背了學(xué)生的發(fā)展需要，違背了課標(biāo)精神，最終也適應(yīng)不了新的高考要求和人才選拔制度.

2.論點(diǎn)域的確立

正如世上難有絕對(duì)的真理，命題成立有其前提條件.“一題多解”簡(jiǎn)單地說(shuō)就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道習(xí)題的解答.“一題多解”可以是一種個(gè)人的研究興趣和特點(diǎn)，譬如偉大的高斯就喜歡一題多解，對(duì)一些重要定理的證明，他一慣不滿足已得證法，還長(zhǎng)期尋找新的、更漂亮的證法，有的甚至前后相距數(shù)年、幾十年；一題多解也是訓(xùn)練、展示和交流的需要，如不少數(shù)學(xué)期刊雜志刊登發(fā)表一題多解的文章；一題多解也是課堂教學(xué)，特別是解題教學(xué)普遍認(rèn)可、有效的一種教學(xué)方式，在我國(guó)數(shù)學(xué)課堂上，像著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛，就喜歡和倡導(dǎo)“三多”，即“一題多解、多題一解和一題多變”的教學(xué).故對(duì)王尚志教授“數(shù)學(xué)課堂中不要無(wú)原則地搞一題多解”這一觀點(diǎn)，在了解其背景之后我們必須還要搞清楚其討論范圍，那就是數(shù)學(xué)課堂、數(shù)學(xué)教學(xué).不是反對(duì)教師的“一題多解”學(xué)術(shù)研究取向，也不是否定和打擊學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題“一題多解”的興趣，而是想借此探討“如何在高中數(shù)學(xué)課堂中認(rèn)識(shí)、處理好一題多解”，通過(guò)一題多解真正激發(fā)起學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升教學(xué)的質(zhì)量與效果.

3.批判的為“無(wú)原則”

“數(shù)學(xué)課堂中不要無(wú)原則地搞一題多解”顯然是用批判的眼光、辯證的視角來(lái)審視數(shù)學(xué)課堂的一題多解的，在“無(wú)原則”，不是簡(jiǎn)單粗暴地全盤(pán)否定課堂教學(xué)中的一題多解，更不是針對(duì)一題多解.我們進(jìn)一步的思考是：什么是無(wú)原則地搞？它有哪些主要表現(xiàn)形式？其內(nèi)在本質(zhì)原因何在？

二、剖析“無(wú)原則一題多解”的形式與緣由

下面我們分析“無(wú)原則一題多解”的一些主要表現(xiàn)形式，并努力探尋背后潛藏的本質(zhì)原因.

1.觀念的誤導(dǎo)

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定數(shù)學(xué)思維的特殊性，表現(xiàn)為解決問(wèn)題方法、策略和路徑的多樣性.一題多解是數(shù)學(xué)解題的正常形態(tài)，是訓(xùn)練和培養(yǎng)思維廣闊性品質(zhì)的好方式，為我國(guó)廣大數(shù)學(xué)教師認(rèn)可、喜愛(ài)，并能有意識(shí)、自覺(jué)地實(shí)踐于數(shù)學(xué)課堂教學(xué).問(wèn)題出現(xiàn)在，一題多解是一種好的教學(xué)方式，但無(wú)原則的濫用卻使好東西變了味，走了樣.就像人參、燕窩等高級(jí)補(bǔ)品，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值高，但盲目進(jìn)補(bǔ)，不但對(duì)進(jìn)食者無(wú)益，反而傷了身體.好東西也要看怎樣用，包醫(yī)百病，好東西一定有好效果的觀念是肯定會(huì)誤人的.

2.功利的追逐

因?yàn)楦呖季褪墙忸}，追逐的是拿高分，是升學(xué)率.帶著兩個(gè)錨航行更安全，多一種方法多一種選擇，基于這種心理，一題多解迎合多方需求，為高考多拿分、拿高分提供了某種可能.但是，眼里只有高考，一切圍著高考打轉(zhuǎn)，把數(shù)學(xué)教學(xué)異化為解題教學(xué)，更進(jìn)一步變成“刺激—反應(yīng)”的體力活，其結(jié)果只能使“一題多解”變成功利追逐的手段，應(yīng)試的幫兇.正如數(shù)學(xué)家丘成桐所說(shuō)：“做研究與做題目沒(méi)有太多關(guān)系，……全國(guó)為了考試而努力，是個(gè)災(zāi)難性的問(wèn)題.”

3.本質(zhì)的迷失

把一題多解搞成“題型+技巧”，教師津津樂(lè)道于傳授各種各樣的“錦囊妙計(jì)”，對(duì)“從概念和定理出發(fā)思考和解決問(wèn)題”不予重視，按章建躍老師的說(shuō)法是本質(zhì)上對(duì)邏輯推理不重視；例、習(xí)題選擇標(biāo)準(zhǔn)是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互關(guān)聯(lián)的題目，目的是讓學(xué)生熟練更多的技巧，這樣的一題多解，本質(zhì)上是缺乏方法的目的性.所以，一題多解一旦淪為技巧的堆砌和細(xì)枝末節(jié)的糾結(jié)，必然對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)等的形成和數(shù)學(xué)整體觀構(gòu)建不利，甚至造成干擾和傷害.

4.角色的錯(cuò)位

無(wú)原則地搞一題多解往往是教師的主觀意識(shí)中“角色錯(cuò)位”造成的.一方面，教師想通過(guò)一題多解“加大思維容量”，教師只要求“講思路”而對(duì)嚴(yán)格的邏輯推理過(guò)程及其表達(dá)缺少示范和要求，學(xué)生聽(tīng)起來(lái)似懂非懂，寫(xiě)起來(lái)亂七八糟；另一方面，由于一題多解確實(shí)對(duì)學(xué)生能力要求高，而學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在客觀上存在不足和個(gè)體差異，往往是教師自己在一題多解，或者是少數(shù)優(yōu)生表演，而大多數(shù)的學(xué)生則變成聽(tīng)眾和觀眾.這種由于缺乏“如何解題”、“怎樣教會(huì)學(xué)生解題”引導(dǎo)和啟發(fā)的“一題多解”，只是往學(xué)生頭腦中灌輸了一些彼此不太相關(guān)的所謂方法，結(jié)果是：多了，反而亂了，什么也沒(méi)學(xué)會(huì)，什么也沒(méi)抓住.

三、構(gòu)建“有原則的一題多解”

只批判“無(wú)原則地搞一題多解”并無(wú)多大意義，破是為了立.一題多解作為我國(guó)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，我們應(yīng)該辯證的繼承，充分挖掘、發(fā)揮其正效應(yīng)、正能量.相對(duì)于無(wú)原則，一個(gè)自然的想法是確立原則，使無(wú)原則地搞變?yōu)榘丛瓌t操作.所以需要構(gòu)建“有原則的一題多解數(shù)學(xué)教學(xué)”，對(duì)此，談?wù)剛€(gè)人幾點(diǎn)不成熟的想法.

1.目的性原則

學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，但要明白解題是為了什么？目的性要明確.一般地，我們認(rèn)為通過(guò)解題，加深概念理解，深化對(duì)概念間聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而不是為了解題而解題.按王尚志教授的說(shuō)法，數(shù)學(xué)有對(duì)思維訓(xùn)練、實(shí)用價(jià)值及備考訓(xùn)練的三大作用.一題多解是一種重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，一定程度上它為實(shí)現(xiàn)這三大作用提供路徑.

需要指出的是，在課堂教學(xué)操作層面，對(duì)一題多解，一方面要對(duì)其中的每一具體解法，要結(jié)合其特點(diǎn)、特征，側(cè)重于個(gè)性和更具體的目的或功能分析；另一方面要重視進(jìn)行方法間的橫向比較，拓展學(xué)生思路，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從不同視角看數(shù)學(xué)問(wèn)題，用不同表征、陳述和解決問(wèn)題，從而使學(xué)生更好地整體把握和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).

另外，在不同課型、不同學(xué)習(xí)階段，目的性是存在差異的，如新授課以鞏固和深化概念為主，概念聯(lián)系只能是與舊知單向；習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，特別是高三復(fù)習(xí)課，由于知識(shí)、技能和方法基本在之前分散學(xué)過(guò)，所以橫向前后聯(lián)系更廣泛，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)相對(duì)更重要，思維訓(xùn)練就更靈活.不同數(shù)學(xué)內(nèi)容，不同課型，對(duì)一題多解的需求和要求是不一樣的，一題多解的目的或所要達(dá)成的目標(biāo)是有區(qū)別的.

2.“好題”原則

顯然，不是任何一個(gè)題都適合你的學(xué)生，特別是適合一題多解的.例如：求過(guò)點(diǎn)（3，2）的直線l與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值.本題用直線的點(diǎn)斜式求出截距后再使用基本不等式輕松解決，然而過(guò)分強(qiáng)調(diào)一題多解的話，直線方程可以有截距式和斜截式的選擇；求最值可以有導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的選擇，實(shí)際比較下來(lái)都不如第一種方法好，這樣就沒(méi)有必要在此題上強(qiáng)調(diào)一題多解了.如果是從不同的角度思考，方法上差不多簡(jiǎn)便，那么就可以考慮讓學(xué)生思考多種解法，明晰各自思路的要領(lǐng)，以達(dá)到融會(huì)貫通的目的；如果一種方法簡(jiǎn)潔明了，其他方法又繞彎又費(fèi)解，就無(wú)需講多種解法.孫維剛老師說(shuō)：“我給學(xué)生出一道題，自己要先做10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學(xué)生思維的，做好基本功.”那么，選擇什么樣的題最能啟發(fā)學(xué)生思維、最適合進(jìn)行一題多解訓(xùn)練呢？主張“讓學(xué)生解好題”和“好解題教學(xué)”的章建躍老師給我們提供了“好題”標(biāo)準(zhǔn)：從數(shù)學(xué)角度衡量，“好題”應(yīng)具有如下“品質(zhì)”：與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，解題方法自然、多樣，具有自我生長(zhǎng)的能力等；從培養(yǎng)思維能力的角度，則應(yīng)有：?jiǎn)栴}是自然的，對(duì)學(xué)生智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確，不糾纏細(xì)枝末節(jié)，表達(dá)形式簡(jiǎn)潔、流暢、好懂等.適合一題多解的題目選擇還應(yīng)注意時(shí)間點(diǎn)，只有在學(xué)生牢固掌握各種解法時(shí)，適時(shí)恰當(dāng)引導(dǎo)，才能讓學(xué)生真正做到一題多解.例如：在直線的方程中，涉及截距問(wèn)題時(shí)，往往截距式和斜截式運(yùn)用一種形式就可以很好地解決問(wèn)題，可是不少剛學(xué)習(xí)這一知識(shí)的學(xué)生在解題時(shí)會(huì)同時(shí)出現(xiàn)截距式和斜截式，反映出學(xué)生出現(xiàn)了在方法上的選擇困難.

3.教師主導(dǎo)原則

目的性原則和“好題”原則，是從數(shù)學(xué)內(nèi)容、教學(xué)功能角度提出的標(biāo)準(zhǔn)，按章建躍老師的“三個(gè)理解”說(shuō)法，主要側(cè)重于“理解數(shù)學(xué)”.一題多解強(qiáng)調(diào)教師主導(dǎo)原則，主要是從“理解教學(xué)”角度提出，具體表現(xiàn)為：首先，例、習(xí)題選取，其目的性確立，“好題”選擇和判斷主要是靠教師把握，需要教師自身有高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)（當(dāng)然包括一題多解能力）；其次，數(shù)學(xué)課堂的一題多解，當(dāng)然需要教師課堂組織和領(lǐng)導(dǎo).對(duì)一題多解教學(xué)，教師主導(dǎo)作用在以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)上顯得尤為重要：個(gè)體的獨(dú)立思考、小組（班級(jí)）交流與展示、點(diǎn)評(píng)與總結(jié)等.譬如章建躍老師認(rèn)為下面這種組織形式是解題教學(xué)的好習(xí)慣：出示題目—請(qǐng)大家認(rèn)真讀題、審題，有想法后就舉手—閉上自己的嘴耐心等候—說(shuō)說(shuō)你的想法，而不和盤(pán)托出自己的想法—還有不同的想法嗎—大家總結(jié)一下.

教師的真正意義不在于告訴學(xué)生可以怎么解，而在于知道在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生個(gè)性思考、合作探究、交流爭(zhēng)辯，積累總結(jié)，讓課堂閃耀學(xué)生的思維火花.搞一題多解的教學(xué)，真正意義不在于把學(xué)生訓(xùn)練到拿到題就想到有哪幾種方法，以掌握的方法多來(lái)逞能，而在于讓學(xué)生知道哪種解法更適合自己的思維，在學(xué)習(xí)中提升了學(xué)習(xí)興趣，了解了數(shù)學(xué)思想，掌握了學(xué)習(xí)的方法.

4.學(xué)生主體原則

一題多解的課堂教學(xué)（解題教學(xué)），它的目的當(dāng)然是學(xué)生學(xué)會(huì)解題，更理想的是能用多種方法解題.正如數(shù)學(xué)家波利亞所說(shuō)，解題是一種實(shí)踐性的技能，你必須觀察和模仿別人在解題時(shí)的做法，最后你通過(guò)解題學(xué)會(huì)了解題.所以，一題多解必須強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體性原則，盡可能保證學(xué)生解題的“主角”角色.鼓勵(lì)、欣賞學(xué)生廣開(kāi)思路和發(fā)散思維，促進(jìn)學(xué)生相互之間交流與啟發(fā).

落實(shí)學(xué)生主體原則需要注意幾點(diǎn)：（1）給足學(xué)生獨(dú)立思考時(shí)間，而且一定要讓每個(gè)學(xué)生有真正的獨(dú)立思考；（2）不否定和排斥教師的必要幫助、示范，但要把握好度；（3）對(duì)于數(shù)學(xué)領(lǐng)悟力好的學(xué)生，可以考慮多一些一題多解的教學(xué)，接受能力一般的學(xué)生，即便有簡(jiǎn)便的方法，但不易理解，這時(shí)講一種適合他們思維方式的辦法就可以了，能力提高了以后再說(shuō).尊重學(xué)生個(gè)體差異和思維特性，教師并不強(qiáng)求每位學(xué)生掌握每種解法，尊重學(xué)生自己的選擇和愛(ài)好（譬如有的傾向代數(shù)思維，而另一個(gè)則相反，喜歡幾何思維），這在平面向量中與圖形有關(guān)的問(wèn)題上體現(xiàn)的較為明顯.

四、結(jié)束語(yǔ)

隨著高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作的推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)課程自然會(huì)出現(xiàn)新變化和新要求，作為一線教師要適應(yīng)這些變化和要求，只能不斷加強(qiáng)學(xué)習(xí)，密切關(guān)注課改信息和動(dòng)向.六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是此次課標(biāo)修訂的重大突破和新成果，必將引領(lǐng)數(shù)學(xué)課程新走向，是我們數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)的重中之重；為實(shí)踐六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，需要對(duì)傳統(tǒng)做法進(jìn)行批判性反思，處理好繼承、改進(jìn)和創(chuàng)新的關(guān)系，一題多解是被實(shí)踐證明了的好的做法，但仍需謹(jǐn)防無(wú)原則地使用.

1.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

2.章建躍.讓學(xué)生解好題［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（12）.

3.章建躍.再談什么才是好解題教學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2014（5）.F