☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)　蔡小雄

☉浙江省德清縣高級(jí)中學(xué)　江戰(zhàn)明

生動(dòng)·生長(zhǎng)：數(shù)學(xué)課堂的氣質(zhì)要素

☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)蔡小雄

☉浙江省德清縣高級(jí)中學(xué)江戰(zhàn)明

談到數(shù)學(xué)，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)總會(huì)給人一種“單調(diào)、抽象、枯燥”的印象.我們可以堂而皇之地把原因歸結(jié)為學(xué)科特點(diǎn)：教材的千篇一律、內(nèi)容的單一死板、概念的高度抽象、習(xí)題的復(fù)雜多變……使得簡(jiǎn)單講解、機(jī)械模仿、重復(fù)操練成了“最低成本”“最為流行”的教學(xué)方式.為了獲得應(yīng)試的短期效應(yīng)，教師往往忽視概念與方法的形成過(guò)程，忽視知識(shí)的來(lái)龍去脈，只教結(jié)論，不教過(guò)程，只要求知其然而不要求其知其所以然.許多學(xué)生花了大量時(shí)間，做了無(wú)數(shù)練習(xí)，最終既沒(méi)考好數(shù)學(xué)，也沒(méi)學(xué)好數(shù)學(xué).久而久之，數(shù)學(xué)課堂變得“了無(wú)生氣”，數(shù)學(xué)變得魅力盡失.這是數(shù)學(xué)的不幸.當(dāng)然，并非所有的數(shù)學(xué)課堂都如此，也并非所有的數(shù)學(xué)教師都甘于隨波逐流，隨著課程改革的不斷深化、廣大數(shù)學(xué)教師的觀念也在不斷轉(zhuǎn)變中.數(shù)學(xué)課堂也可以充滿(mǎn)“生”機(jī)，甚至“生”“生”不息”.

一、生動(dòng)：內(nèi)容生動(dòng)，講解生動(dòng)，讓“生”“動(dòng)”得歡

教育心理學(xué)認(rèn)為，“興趣是一個(gè)人傾向于認(rèn)識(shí)、研究、獲得某種知識(shí)的心理特征，是推動(dòng)人求知的一種內(nèi)在力量.”雖然數(shù)學(xué)教學(xué)不可能像語(yǔ)文、歷史那么有故事性，趣味性，也不能像物理、化學(xué)那樣可以有豐富的實(shí)驗(yàn)和眾多的生活、自然現(xiàn)象為學(xué)習(xí)內(nèi)容，但數(shù)學(xué)中的很多概念我們一樣可以通過(guò)形象的事例或情境進(jìn)行生動(dòng)地講解.正如華羅庚先生所說(shuō)，認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味、沒(méi)有藝術(shù)性，這看法是不正確的，就像站在花園外說(shuō)花園里枯燥乏味一樣，只要你踏進(jìn)了大門(mén)，你們隨時(shí)隨地都會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上也有許許多多很有趣味的東西.關(guān)鍵在于，教師要改編教材、豐富教材、創(chuàng)造性地使用教材，用生動(dòng)的內(nèi)容，生動(dòng)的講解吸引學(xué)生.課堂上，教師要適時(shí)創(chuàng)設(shè)情境，鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)心.

1.教材內(nèi)容生動(dòng)化

數(shù)學(xué)教材一般都是按“提出問(wèn)題（較為直觀的現(xiàn)象）→形成概念（定義）→例題講解→練習(xí)與習(xí)題”來(lái)編寫(xiě)的.“傳統(tǒng)上人們認(rèn)為數(shù)學(xué)是絕對(duì)的客觀真理，數(shù)學(xué)教學(xué)只注重?cái)?shù)學(xué)結(jié)論的系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性，卻忽略它的歷史性、建構(gòu)性、文化性.”實(shí)際上，數(shù)學(xué)中有很多概念可以具體化、情境化甚至可以地方特色化，關(guān)鍵看如何處理教材.

以函數(shù)概念為例，它應(yīng)該是高中數(shù)學(xué)中最抽象、最“別扭”的概念，而且初中對(duì)函數(shù)就有定義（變量說(shuō)），學(xué)生根本就不會(huì)明白為何要重新定義函數(shù)（對(duì)應(yīng)說(shuō)），難道僅僅是因?yàn)榍懊鎸W(xué)習(xí)了集合？其實(shí)兩個(gè)定義的本質(zhì)是一致的，但因?yàn)楹笳吒橄螅运咭话阈?人教A版必修1在給出函數(shù)定義之前，例舉了“炮彈發(fā)射后時(shí)間與炮彈高度之間的關(guān)系”、“近幾十年時(shí)間與臭氧層空洞面積關(guān)系”、“‘八五’計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)”三個(gè)實(shí)例，然后讓學(xué)生歸納出共同點(diǎn)，這也算是用心良苦.事實(shí)上，僅從這三個(gè)例子學(xué)生難以找出共同點(diǎn)，教材為了追求簡(jiǎn)潔明了只能如此編寫(xiě)，但教師如果照搬教材，顯然難以取得理想的效果，這時(shí)就需要加工、處理教材.筆者以為可以讓學(xué)生先例舉他們熟悉的函數(shù)；接著讓他們畫(huà)出函數(shù)圖像，再由教師例舉一些情景讓學(xué)生判斷能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.例如，學(xué)生一周中每一天的消費(fèi)情況、學(xué)生姓名與成績(jī)之間的聯(lián)系、學(xué)生學(xué)號(hào)與成績(jī)之間的聯(lián)系等.在大量的實(shí)例面前，引導(dǎo)學(xué)生從集合和對(duì)應(yīng)的角度來(lái)歸納出能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系所具有的共同點(diǎn).

要增加數(shù)學(xué)課的魅力，讓學(xué)生投入其中，教師應(yīng)該豐富教材內(nèi)容，把教材內(nèi)容適當(dāng)情境化、趣味化、特色化，既保持教材原有的科學(xué)性，又符合學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū).

2.內(nèi)容講解生動(dòng)化

數(shù)學(xué)教材因?yàn)閲?yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、簡(jiǎn)潔性的客觀需要，它不可能編寫(xiě)得像文科教材那樣詩(shī)情畫(huà)意，也不可能像物理、化學(xué)、生物那樣既能抽象又能具體還可以實(shí)驗(yàn)；更不可能像小說(shuō)那樣或趣味橫生或緊張、刺激，但我們也可以借題發(fā)揮、因勢(shì)利導(dǎo)，化腐朽為神奇.

數(shù)學(xué)中的絕大部分內(nèi)容都是可以發(fā)揮的，很多枯燥的內(nèi)容通過(guò)教師聲情并茂的講解會(huì)變得“悅耳、動(dòng)聽(tīng)”，很多貌似很難的問(wèn)題通過(guò)教師的巧妙鋪墊、適當(dāng)引導(dǎo)會(huì)變得“簡(jiǎn)單、明了”.

3.讓“生”“動(dòng)”起來(lái)

教學(xué)的主體是學(xué)生，如果沒(méi)有學(xué)生積極的參與，即使教材處理得再漂亮，教師講解得再生動(dòng)都是徒勞，讓學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)是教學(xué)的關(guān)鍵.這里的“動(dòng)”應(yīng)包括手動(dòng)、口動(dòng)、腦動(dòng)與心動(dòng).

我們不得不承認(rèn)大多數(shù)的數(shù)學(xué)課堂總是看到教師在“喋喋不休”，成了教師的“獨(dú)角戲”，教師總是恨不得把自己知道的全部塞給學(xué)生.可以說(shuō)每一位教師都有一顆“奉獻(xiàn)”的心，但很多時(shí)候教師的辛勤付出換來(lái)的不一定是學(xué)生的“理解”，甚至可能是反感.大量實(shí)踐證明，教師“保姆”式的“伺候”只能是事倍功半.事實(shí)上，教學(xué)中有很多問(wèn)題可以讓學(xué)生獨(dú)自或通過(guò)合作去完成，不要擔(dān)心教學(xué)進(jìn)度，不要擔(dān)心學(xué)生會(huì)不會(huì)，更不用擔(dān)心教學(xué)效果，要相信學(xué)生的潛力是無(wú)窮的.

以正弦定理的新課教學(xué)為例，可以先給學(xué)生兩個(gè)問(wèn)題，一個(gè)是“已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”；另一個(gè)是“已知三角形兩角及一角的對(duì)邊，求另一角的對(duì)邊”，組織學(xué)生合作完成.待學(xué)生完成后，教師再拋出第三個(gè)問(wèn)題“任意一個(gè)三角形如果已知兩邊及一邊的對(duì)角或已知兩角及一角的對(duì)邊能否解三角形”.因?yàn)樵谇懊娼忸}過(guò)程中學(xué)生可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)利用面積是相等的，所以不難發(fā)現(xiàn)即csin∠B=bsin∠C.萬(wàn)一學(xué)生不能推導(dǎo)出以上公式，教師可作適當(dāng)引導(dǎo)；如果學(xué)生能順利推出上面公式，教師可以告訴學(xué)生在三角形中=2R（R為三角形外接圓半徑），即為正弦定理.至于為何等于2R這個(gè)問(wèn)題，可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在圓中給出正弦定理的完整證明.在正弦定理的運(yùn)用階段，如果條件允許，可以讓學(xué)生外出通過(guò)測(cè)量，計(jì)算河兩邊兩點(diǎn)間的距離（需要測(cè)量?jī)x和尺，但人只能在河一邊）.通過(guò)這樣的自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)以及實(shí)踐的活動(dòng)，讓學(xué)生真正成為課堂的主體，也許這樣的教學(xué)比較耗時(shí)，但這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷肯定不是做幾道題能形成的.

讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，實(shí)際上就是要讓學(xué)生真正成為課堂主體，教師要有勇氣“閉嘴”，盡量多做聽(tīng)眾與協(xié)作者，少做權(quán)威和表演者.

二、生長(zhǎng)：在問(wèn)題解法、背景、拓展上生長(zhǎng)，讓“生”“長(zhǎng)”得高

很多時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生題是做了很多，解題經(jīng)驗(yàn)也積累了不少，但面對(duì)新問(wèn)題還是缺少完全駕馭的能力，缺少核心技術(shù).筆者以為關(guān)鍵原因是我們沒(méi)有為學(xué)生的思維插上翅膀，就題論題得太多，沒(méi)有深入問(wèn)題內(nèi)部，深入思維深處.“分析學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的心理環(huán)節(jié)，重在分析學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，適應(yīng)學(xué)生的心理需求，采用不斷地提出問(wèn)題，研究問(wèn)題，解決問(wèn)題的多輪循環(huán)的方式達(dá)到目的.”為此，我們要讓學(xué)生在多樣化的學(xué)習(xí)上“生長(zhǎng)”，即在解法、背景、拓展上“生長(zhǎng)”，促使其思維邁向深處，促進(jìn)其綜合能力的提高.

1.在問(wèn)題解法上生長(zhǎng)

正常情況下，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題能從不同角度切入，殊途同歸，這其實(shí)就是一題多解，一題多解不僅可以多角度鞏固知識(shí)，更重要的是能拓展學(xué)生的思維.

以2011年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第16題為例，已知x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為_(kāi)________.這是一道看似常規(guī)的問(wèn)題，其教學(xué)功能不容忽視，因?yàn)樗慕夥梢远噙_(dá)近20種.一般學(xué)生可能會(huì)用判別式法或基本不等式或三角代換解題，實(shí)際上它還可以運(yùn)用簡(jiǎn)單不等式、柯西不等式、解析幾何、向量、極坐標(biāo)、合情推理等大部分高中數(shù)學(xué)知識(shí)解題.

“對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展而言，并不是所有的知識(shí)都是有效的，即使是那些科學(xué)、正確的知識(shí)，如不能夠使學(xué)生的身心素質(zhì)有所增加，那也是無(wú)效的知識(shí).”其實(shí)一題多解與通性通法并不相悖，通性通法，一般指多數(shù)人對(duì)一類(lèi)問(wèn)題采用了相同或類(lèi)似的解決方法.換句話(huà)說(shuō)，通法是對(duì)群體而言的，那么，對(duì)個(gè)體來(lái)說(shuō)，通法是不是一定“通”是不得而知的.筆者以為，只有通過(guò)選擇，在選擇中找到更適合自己的，這才是真正的“通”法.一題多解不僅可以鞏固舊知，厘清脈絡(luò)，更能“生長(zhǎng)”學(xué)生思維，提升能力.

2.在問(wèn)題背景上生長(zhǎng)

對(duì)于數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題，學(xué)生之所以“一錯(cuò)再錯(cuò)”或“時(shí)對(duì)時(shí)錯(cuò)”，基本原因是學(xué)生沒(méi)有用對(duì)方法或?qū)Ψ椒ǖ恼J(rèn)識(shí)不夠，深層次的原因則是教師沒(méi)把問(wèn)題講清楚或沒(méi)講到“點(diǎn)”上.因此，對(duì)問(wèn)題背景的生長(zhǎng)不僅是學(xué)生的問(wèn)題，更是教師必須具備的一種能力或是一種義務(wù).

對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)獨(dú)立挖掘問(wèn)題背景可能會(huì)存在一定困難，而且這項(xiàng)工作確實(shí)耗時(shí)又耗神.但對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這一過(guò)程不僅可以鍛煉他們的思維，更能培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神.因此，對(duì)于問(wèn)題背景上的“生長(zhǎng)”，可以因“材”施教，如果問(wèn)題背景比較淺顯，可以讓學(xué)生獨(dú)立作探索，教師只需適當(dāng)引導(dǎo)；如果問(wèn)題背景比較隱晦，那么可以提前把問(wèn)題拋給學(xué)生，讓學(xué)有余力的去先行研究，然后教師再設(shè)計(jì)一個(gè)流程，讓學(xué)生自行逐步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì).相信這樣的教學(xué)既能挖掘?qū)W優(yōu)生的潛力，又能激發(fā)普通學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，更能開(kāi)闊學(xué)生的視野.

3.在問(wèn)題拓展上生長(zhǎng)

“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)持續(xù)的‘無(wú)疑-有疑-無(wú)疑’的動(dòng)態(tài)循環(huán)和提高超越過(guò)程.”愛(ài)因斯坦曾說(shuō)，發(fā)現(xiàn)（提出）一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許只是數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧問(wèn)題.而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度看舊問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.那么如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題呢？筆者認(rèn)為可以通過(guò)對(duì)原有問(wèn)題進(jìn)行拓展、類(lèi)比發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題.

以過(guò)圓上一點(diǎn)切線(xiàn)問(wèn)題為例，已知P（x0，y0）為圓O：x2+y2=r2上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P的圓的切線(xiàn)方程為x0x+y0y=r2，此結(jié)論通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算就能獲得.而橢圓與圓如此相似，過(guò)橢圓上一點(diǎn)能否類(lèi)似地寫(xiě)出切線(xiàn)方程？在得到肯定后，一定會(huì)有學(xué)生提出，那么同為圓錐曲線(xiàn)的雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)中是否有類(lèi)似性質(zhì)？這樣的類(lèi)比、拓展是自然的、水到渠成的，學(xué)生也一定樂(lè)于接受.事實(shí)上，這些結(jié)論的推導(dǎo)一般都有一定難度，當(dāng)然方法用得好是另外一回事（用點(diǎn)差法可以快速說(shuō)明問(wèn)題），重要的是這些小結(jié)論有時(shí)能派大用場(chǎng).2014年浙江高考卷理21題：設(shè)橢圓動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限.

（Ⅰ）已知直線(xiàn)l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線(xiàn)l1距離的最大值為a－b.

這就是一個(gè)較好的例子.如果知道過(guò)橢圓上一點(diǎn)切線(xiàn)方程，那么第一小問(wèn)手到擒來(lái)，在成功的連鎖反應(yīng)下，第二問(wèn)便不在話(huà)下.探索完過(guò)圓錐曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)問(wèn)題后，可以繼續(xù)從圓開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生研究，假如點(diǎn)P（x0，y0）不在曲線(xiàn)上，直線(xiàn)x0x+y0y=r2還有沒(méi)有意義？與切線(xiàn)是否有關(guān)系？當(dāng)然也可以讓學(xué)生自行類(lèi)比、歸納、總結(jié).總之，通過(guò)對(duì)問(wèn)題不斷地拓展、延伸，讓學(xué)生思維真正“飛”起來(lái).

套用一句網(wǎng)絡(luò)流行語(yǔ)“主要看氣質(zhì)”，“生動(dòng)”“生長(zhǎng)”是數(shù)學(xué)課堂的兩個(gè)氣質(zhì)要素.要使課堂變得更有氣質(zhì)，教師需要潛心鉆研教材，留心積累與數(shù)學(xué)相關(guān)的案例，用心適時(shí)管住自己的“嘴”，引導(dǎo)學(xué)生多研究一些解法，多了解一些問(wèn)題“源”，保持對(duì)問(wèn)題的敏感性和對(duì)數(shù)學(xué)的“熱情”，讓“生”“動(dòng)”起來(lái)，讓“生”“長(zhǎng)”得高！

1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題（續(xù)完）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（5）．

2.蔡小雄.啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（8）．Y