☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué) 瞿兆君
加強(qiáng)命題常用的四種途徑
☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué)瞿兆君
在解題困難的時(shí)刻,或在求解的過(guò)程中難以理出頭緒時(shí),我們總是想方設(shè)法將命題變形,加強(qiáng)命題的條件來(lái)尋求破解的蹊徑.因?yàn)橥ㄟ^(guò)解決一個(gè)比原命題更強(qiáng)的命題,能使我們運(yùn)用通法解題的思路變得暢通起來(lái),從而較快地達(dá)到所要求解或求證的目標(biāo),尤其是對(duì)一些較為復(fù)雜的不等式的證明、極值的求解,采用加強(qiáng)命題處理,往往會(huì)給解題帶來(lái)生機(jī).
然而,如何對(duì)一數(shù)學(xué)命題進(jìn)行加強(qiáng)?這是我們大家都很關(guān)心的問(wèn)題.一般地,加強(qiáng)命題常用的手段有四種,即重要不等式、等比級(jí)數(shù)、構(gòu)建引理、極端性原理等.
在數(shù)列不等式的證明中,將有關(guān)“數(shù)”或“式”變?yōu)榈缺燃?jí)數(shù)可獲得創(chuàng)新性的解法.
例1設(shè)數(shù)列{an}滿足條件:an+1=-nan+1,n=1,2,3,…,且a1≥3.
分析:對(duì)于(Ⅱ),因右邊只有一個(gè)常數(shù)項(xiàng),而左邊是n項(xiàng)的和,與已知條件聯(lián)系不太明顯,故直接推證較難入手.當(dāng)從兩邊的差異上進(jìn)行思考時(shí),易使我們產(chǎn)生加強(qiáng)命題的念頭,即能否將“1
(Ⅰ)證明:對(duì)所有的n≥1有an≥n+2;
證明:(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證:
當(dāng)n=1時(shí),由已知得,a1≥3=1+2,即a1≥1+2成立.
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即ak≥k+2,且有ak+1=a2kkak+1,
那么,當(dāng)n=k+1時(shí),有ak+1=ak(ak-k)+1≥ak(k+2-k)+ 1≥2(k+2)+1=2k+5≥k+3,
即當(dāng)n=k+1時(shí),命題亦成立.
綜上知,對(duì)所有n≥1,命題成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an≥n+2,則an+1=a2n-nan+1≥(n+2)annan+1=2an+1.
由此可得an+1+1≥2(an+1)?≥2.
從而1+an≥2n+1,
在條件難以辨析的情況下,尤其是在解題困難的時(shí)刻,注重構(gòu)建引理加強(qiáng)命題,往往可獨(dú)辟蹊徑,促進(jìn)解題的創(chuàng)造性思維.
例2已知函數(shù)f(x)=ln(1+ax)-ln2+x2-ax(a為常數(shù),a>0).
(Ⅱ)由0<a<2及(1),得
又φ(1)=0,故φ(x)>0在(1,2)上恒成立,即引理得證.
對(duì)條件少而變量多的不等式的證明,靈活運(yùn)用基本不等式加強(qiáng)命題,可使問(wèn)題獲得巧解.
分析:本題若直接從左推往右或從右推到左,顯然較難入手,但運(yùn)用(x+y)2≥4xy(x,y∈R)加強(qiáng)命題,可使問(wèn)題迎刃而解.
證明:當(dāng)z=0時(shí),命題顯然成立.
顯然這一命題成立,從而原不等式成立.
當(dāng)條件不易統(tǒng)一,或在解題的過(guò)程中難以理出頭緒時(shí),采用極端性原理加強(qiáng)命題,也是突破困境常用的一種解題策略.
分析:由于兩個(gè)根號(hào)內(nèi)x2的系數(shù)一正一負(fù),若將兩邊同進(jìn)平方來(lái)消去根號(hào),通過(guò)初步計(jì)算發(fā)現(xiàn)很難奏效.由此想到加強(qiáng)命題.設(shè)g(x)=顯然原函數(shù)的最小值不會(huì)小于g(x)的最小值,而g(x)的最小值是較易求的.
解:因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?≤x≤5,又7>5≥x,
上是減函數(shù).
又∵g(0)=5,g(5)=52.
故g(x)的最小值為5,當(dāng)x=0時(shí)取得.
又f(0)=0,從而可得f(x)的最小值為5,且當(dāng)x=0時(shí)取得.
鑒于上述,加強(qiáng)命題關(guān)鍵在于針對(duì)命題所給的信息,善于類比、聯(lián)想、試探變更論題.對(duì)一命題能否進(jìn)行加強(qiáng)最易反映解題者的數(shù)學(xué)功底和創(chuàng)造思維能力,所以它頗受數(shù)學(xué)高考命題者的青睞.隨著新課改的深入發(fā)展,現(xiàn)行數(shù)學(xué)高考改革已由“知識(shí)立意”轉(zhuǎn)向?yàn)椤澳芰α⒁狻?,?shù)學(xué)命題愈來(lái)愈開(kāi)放,需用加強(qiáng)命題來(lái)求解的試題愈來(lái)愈新穎.因此,我們必須認(rèn)真領(lǐng)會(huì)加強(qiáng)命題的實(shí)質(zhì),掌握加強(qiáng)命題的四種途徑,不斷地提高創(chuàng)造性的思維能力.
1.2002年數(shù)學(xué)高考題.
2.蘇賢昌,瞿兆君,著.高中數(shù)學(xué)解題新思路[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2003.Y