☉甘肅省天水市第一中學(xué)　宮前長

“厘清”思路抓本質(zhì)“講究”邏輯煉能力——新課程“線面垂直”一課的教學(xué)思考及感悟

☉甘肅省天水市第一中學(xué)宮前長

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（必修2）（人教A版）第二章第三節(jié)“直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)”，只要認(rèn)真讀懂教材內(nèi)容所蘊(yùn)含的空間位置關(guān)系“垂直”的核心概念，就會(huì)體現(xiàn)“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算”的認(rèn)識(shí)過程，通過具體實(shí)例，按照直觀感知、操作確認(rèn)的數(shù)學(xué)探索方式得出線面垂直的判定定理，并用精確的語言表達(dá)，領(lǐng)悟線面垂直的基本數(shù)學(xué)模式及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，力爭在探究中學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)中探究.

一、提出問題

“直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)”是“直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)”第一課時(shí)，線面垂直作為直線與平面相交的一種特殊情況，是繼線面平行后又一種反映自然規(guī)律（位置關(guān)系）的基本數(shù)學(xué)模型.新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)直觀感知、操作確認(rèn)，概括出線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理為重點(diǎn)目標(biāo)，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，體現(xiàn)線面垂直的“平面化”思想，以及將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題的“降維”思想蘊(yùn)含其中，加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生通過具體實(shí)例的觀察、動(dòng)手操作等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，形成一定的邏輯推理思維方式，提升學(xué)習(xí)力和探究能力.因此，如何進(jìn)行準(zhǔn)確定位線面垂直，把握“直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)”的教學(xué)是后續(xù)立體幾何學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié).

二、研讀教材，厘清編排，理解教材

1.準(zhǔn)確定位定向

“直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)”一節(jié)的主要教學(xué)內(nèi)容就是直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理.“新課標(biāo)”明確指出：“對(duì)有關(guān)線面平行、垂直關(guān)系的性質(zhì)定理進(jìn)行證明；對(duì)相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知、操作確認(rèn).”每一位數(shù)學(xué)教師對(duì)課標(biāo)的理解基本都會(huì)準(zhǔn)確定位定向，但線面垂直的性質(zhì)定理是在感知確認(rèn)線面垂直的判定定理之后的進(jìn)一步研究，其采取的方式方法可以多種多樣，只要依照學(xué)生的認(rèn)知次序和教材編排的順序，并能夠突破“如何有意識(shí)地將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”這個(gè)難點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)積極動(dòng)腦、動(dòng)手的課堂平臺(tái)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，強(qiáng)化直觀感知、操作確認(rèn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生真正體驗(yàn)課堂重點(diǎn)和難點(diǎn)所在，激發(fā)學(xué)生解決問題的迫切期望.

2.厘清教材思路

對(duì)教材《數(shù)學(xué)》（必修2）（人教A版）第二章第三節(jié)認(rèn)真研讀之后，教學(xué)設(shè)計(jì)明確重視“線面垂直”的證明方法：通過直線間的垂直來推證直線與平面垂直，即將直線與平面垂直關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間垂直關(guān)系（平面問題），再將證明線面垂直的問題化歸成數(shù)學(xué)模式.能夠靈活運(yùn)用“平面化”、“降維”思想是解決問題的關(guān)鍵.

教材第65頁安排了一個(gè)“探究”實(shí)驗(yàn)：通過折疊三角形紙片，探究在什么條件下，就能夠使折痕與桌面垂直.目的就是給學(xué)生直觀感知、動(dòng)手操作，形成對(duì)垂直的感性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，學(xué)會(huì)在直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上，歸納、概括出直線與平面垂直的判定定理.為此，通過學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“折痕與桌面垂直的關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)”，后面有意安排一個(gè)“思考”進(jìn)行交流，充分給予學(xué)生探究的時(shí)間和空間，得出判定定理，體現(xiàn)出教材編寫專家的“良苦用心”.緊接著又安排了一個(gè)“探究”（邏輯思維推理）：“四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直時(shí)，A′C⊥B′D′.”進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)線面垂直的重要性，在教學(xué)時(shí)，不能忽視這些編排的微妙變化，應(yīng)該給予重視，才能更好地領(lǐng)悟到教材編排思路.

教材通過旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等，讓學(xué)生經(jīng)歷、親歷這一些，感知直線與平面垂直的位置關(guān)系.順勢提出“一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？有哪些基本的要求？”的思考，進(jìn)一步剖析旗桿與其所在地面的射影的位置關(guān)系引出直線與平面垂直的概念.這樣對(duì)線面垂直概念的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識(shí)、把握，為后續(xù)立體幾何的學(xué)習(xí)、研究做好扎實(shí)的鋪墊.

在立體幾何知識(shí)的深廣度上，教材內(nèi)容精煉、直觀，更注重知識(shí)的應(yīng)用；在內(nèi)容的編排上，對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)劃分都很有邏輯性，以知識(shí)模塊出現(xiàn)及知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)現(xiàn)成整體性的認(rèn)識(shí)；在例題、習(xí)題的配置、教材編排“觀察”“思考”“探究”等欄目（部分章節(jié)后設(shè)置了閱讀材料），目的就是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.確定教學(xué)重點(diǎn)

化歸思想是解決立體幾何問題的重要思想方法，能夠?qū)⒅本€與平面的垂直問題化歸為直線與直線的垂直問題，再由直線與直線的垂直來判定直線與平面的垂直.這充分體現(xiàn)了“平面化”、“降維”思想認(rèn)識(shí)，牢牢抓住“一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直”是線面垂直證明的方向、目標(biāo)，更是解題時(shí)必須尋找的策略方法，自然成為教學(xué)的重點(diǎn).

根據(jù)教材、教參（配套的教師用書）點(diǎn)滴提示，線面垂直的證明必須在線線垂直的基礎(chǔ)上進(jìn)行，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)的認(rèn)知特征，再進(jìn)一步地學(xué)習(xí)面面垂直的知識(shí)，這樣做既合情又合理，也能體現(xiàn)教材編排的“螺旋式上升”的理念，更符合學(xué)生在認(rèn)知上“循序漸進(jìn)”的規(guī)律.所以確定教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：線面垂直的定義、判定定理探究策略和方法.而線面垂直的概念理解和其證明思路、策略的探究和具體操作方式是這一節(jié)課的關(guān)鍵.

4.關(guān)注理解“線面垂直”概念

垂直的基本特征是“形成的角為直角”，如何在課堂中讓學(xué)生關(guān)注并理解“平面內(nèi)兩條相交直線”來傳達(dá)、表示“形成的角為直角”的特征.線面垂直的定義明確給出：線面垂直的判定方法，凸顯出線面垂直概念中依附于“直線”的兩個(gè)特征：第一，直線條數(shù)——“平面內(nèi)任意一條”；第二，直線位置——“平面外直線垂直于平面內(nèi)的直線”，這兩個(gè)特征揭示了線面垂直概念的本質(zhì).在探究、學(xué)習(xí)中深刻體會(huì)平面內(nèi)的直線的位置和個(gè)數(shù)的“任意性”與“無數(shù)條”的關(guān)系，以及如何準(zhǔn)確地表達(dá)線面垂直概念的結(jié)論.

對(duì)于“直線位置——垂直”的實(shí)際操作分為兩種情況：相交垂直（兩條相交直線所成的角為直角）和異面垂直（兩條異面直線所成的角為直角），說明“垂直”中蘊(yùn)含著“平移性”的變化，此時(shí)一定注意：一條直線和平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直并不能說明該直線與平面垂直.引導(dǎo)學(xué)生通過操作模型來認(rèn)識(shí)、理解和確認(rèn)：一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，就會(huì)得到它與這個(gè)平面內(nèi)的平行于那條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線垂直.

對(duì)于定義中的、詞“直線條數(shù)——任意”的理解：“任意”是針對(duì)“平面內(nèi)的直線”來說的，就是“所有直線”，有平面內(nèi)的直線的位置含義和平面內(nèi)直線的條數(shù)含義兩個(gè)方面，但“無數(shù)條”卻不具備平面內(nèi)直線的“任意性”特征.“任意”與“無數(shù)”蘊(yùn)藏的含義相差太大，注意對(duì)比、區(qū)別和感悟即可.

平面內(nèi)的直線通過“任意”體現(xiàn)直線的“直線的位置關(guān)系”和“直線的條數(shù)”，以及“平面內(nèi)”的表征才能承載線面垂直概念的本質(zhì)屬性（關(guān)鍵：線不在多，相交則行），為后續(xù)的線面垂直的判定定理的理解、概括和表達(dá)提供了可操作性的處理策略，更為學(xué)生正確地理解和應(yīng)用線面垂直的判定定理來證明線面垂直做好了鋪墊，充分體現(xiàn)線面垂直是空間垂直的核心概念.

5.教學(xué)注意的幾個(gè)細(xì)節(jié)點(diǎn)

教材中設(shè)置的“旁白”、“旁注”是新課程教材的一個(gè)亮點(diǎn)，為師生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留下了更為廣闊的思考與拓展空間.如本節(jié)教材第64頁的“如果一條直線垂直于一個(gè)平面的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？”的“旁白”給學(xué)生提出問題，促使學(xué)生積極思考、交流、合作探究；第65頁的“定理體現(xiàn)了‘直線與平面垂直’與‘直線與直線垂直’互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想”的“旁注”為學(xué)生學(xué)習(xí)線面垂直、探究其數(shù)學(xué)本質(zhì)起到“畫龍點(diǎn)睛”之效，在教學(xué)中要處理好，教材第65頁的線面垂直的判定定理在后面的沒有匹配相應(yīng)的例題，需要補(bǔ)充例題.

例題教學(xué)的目的是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，但備課時(shí)力求把已有的結(jié)論轉(zhuǎn)化成學(xué)生的思維過程，極力變成學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”的過程，在學(xué)習(xí)過程中最大化地實(shí)現(xiàn)知識(shí)到能力的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)能力到智慧的生長.

三、整體把握，剖析目標(biāo)，確定關(guān)鍵

筆者查閱教師教學(xué)用書，書中表明用3課時(shí)完成“直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)”的教學(xué).基于前面的對(duì)教材的深刻鉆研和全方位的剖析，再結(jié)合教學(xué)時(shí)間分配用3課時(shí)，如何把握線面垂直這節(jié)課的教學(xué)？如何更好地通過“直觀感知，操作確認(rèn)”的數(shù)學(xué)活動(dòng)尋求解決線面垂直問題的思路、策略和方式方法.筆者認(rèn)為，教師只有站在整章、模塊高度準(zhǔn)確地把握教材設(shè)計(jì)意圖，并潛心地研讀教材，竭盡全力地深化理念和完善教學(xué)策略，才能更大增強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的信心和勇氣.

1.深化理念，站在制高點(diǎn)提升能力

數(shù)學(xué)概念凝聚著人類從數(shù)、形兩方面認(rèn)識(shí)自然、事物的思想精華，在教學(xué)時(shí)，深化新課標(biāo)理念，從數(shù)學(xué)的發(fā)展、數(shù)學(xué)概念的形成、學(xué)生的認(rèn)知等制高點(diǎn)視角進(jìn)行審視，才能有效提升能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程和本質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)含其中的思想方法.”數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)和支撐點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一種經(jīng)歷、體驗(yàn)，進(jìn)而通過深化，才有感悟！

理解線面垂直定義時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)：一條直線垂直于一個(gè)平面，是指這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線.任何利用直線和平面垂直的定義直接判定線面垂直，就要對(duì)平面內(nèi)的每一條直線進(jìn)行考查，看是否與已知直線垂直，實(shí)際操作幾乎是不可能的（由于平面內(nèi)的直線有無數(shù)條），進(jìn)一步促使學(xué)生思考用什么可以操作的方法判定線面垂直，此時(shí)的學(xué)生處于思維的“憤”“悱”狀態(tài)，最容易激起學(xué)生積極思考，探究在“平面內(nèi)至少有幾條直線”與已知直線垂直，而且“這些直線處于怎樣的位置”就可以通過判定直線與直線垂直來解決直線與平面垂直的問題.

2.“線面垂直”的認(rèn)知、能力要求上的剖析

從知識(shí)的認(rèn)知情境看，設(shè)置了問題的情境，注重從生活中（旗桿與地面、大橋橋柱與水面的位置關(guān)系）、具體操作（正方體或長方體的豎直棱與底面的位置關(guān)系）、數(shù)學(xué)研究（直線與平面垂直、數(shù)學(xué)符號(hào)表述證明過程）、再進(jìn)一步上升到數(shù)學(xué)教育（垂直的理解），從直觀感知到抽象理解再到數(shù)學(xué)教育的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面垂直的學(xué)習(xí).

從知識(shí)的量化看，線面垂直的學(xué)習(xí)在《數(shù)學(xué)》（必修2）（人教A版）中作為重點(diǎn)，與其相關(guān)的結(jié)論、定理需要依靠直觀感知、操作確認(rèn)歸納出來的，強(qiáng)化了合情推理意識(shí)，線面垂直的理解和應(yīng)用進(jìn)一步的體現(xiàn)了“化歸”思想，在線線垂直（相交垂直、異面垂直）的不同認(rèn)知中，很自然地由平面內(nèi)的線線垂直提升到空間線線垂直，培養(yǎng)了空間想象能力，有利于學(xué)生加深對(duì)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理理解，更為后續(xù)的線面角、面面垂直以及二面角的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.

從能力的立意與提升看，教材凸顯了觀察、操作、分析、探索、轉(zhuǎn)化、歸納能力，體現(xiàn)了生活中的垂直，到數(shù)學(xué)中的垂直的整體認(rèn)識(shí)，體悟線面垂直中蘊(yùn)含的化歸思想.線面垂直的判定定理的學(xué)習(xí)為學(xué)生打開知識(shí)之門（旗桿與底面的位置關(guān)系抽象出線面垂直問題）、開闊視野（從平面問題走向空間問題）、拓展思維（三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題處理）、強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí)（“平面化”“降維”策略）和提升能力（化歸策略的形成和邏輯推理能力的培養(yǎng)）.

3.細(xì)化深化新課標(biāo)，宏觀把握教學(xué)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)高效課堂的必要條件，也是衡量、檢測學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成的一把尺子.課標(biāo)“以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中的線面垂直的性質(zhì)與判定.”其中涉及的行為動(dòng)詞水平有“認(rèn)識(shí)”“理解”，備課時(shí)領(lǐng)會(huì)這些“關(guān)鍵詞”，能夠更好地對(duì)于程序性知識(shí)理解水平的檢測準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)和細(xì)化理解水平層次的把握，讓學(xué)生在符合認(rèn)知規(guī)律的情況下明確學(xué)習(xí)要求和課程目標(biāo)，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力.

將垂直問題放置在情境之中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，尤其是如何說明線面垂直的策略方法使學(xué)生產(chǎn)生釋疑的強(qiáng)烈愿望，這時(shí)新舊知識(shí)的恰當(dāng)聯(lián)系，既可構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又可將新知識(shí)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使新舊知識(shí)結(jié)構(gòu)的重新構(gòu)建，有利于線面垂直概念的形成和相關(guān)結(jié)論的歸納與概括.

數(shù)學(xué)是思維能力訓(xùn)練的最好素材，理性精神的培養(yǎng)更需要數(shù)學(xué)的支持，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生學(xué)會(huì)思考顯得更為重要.怎樣教？要以知識(shí)為載體，以知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展為線路，建構(gòu)具有邏輯順序的學(xué)習(xí)過程，深化理解數(shù)學(xué)概念，運(yùn)用科學(xué)探究方法，尋找問題解決突破口，采用螺旋上升的方式提升學(xué)生對(duì)線面垂直的學(xué)習(xí)，讓探究線面垂直的方法、思路和操作過程“常態(tài)”化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的根本即著力發(fā)展學(xué)生思維.

4.教學(xué)預(yù)設(shè)線路的確定

通過運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理解決具體問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、判斷思維能力、邏輯推理能力，讓學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，并能正確靈活地運(yùn)用解決一些具體問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)，勇于探索新知的精神，提高觀察問題、分析問題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)上戰(zhàn)勝困難的勇氣.其教學(xué)預(yù)設(shè)線路圖如下：

創(chuàng)設(shè)情境：直觀感知（生活實(shí)例）——給出三個(gè)情境（生活、學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)），感受“線面垂直”中的“垂直位置”的狀態(tài)，理解“直線與平面垂直”中“已知直線與平面內(nèi)直線垂直時(shí)直線的任意性”；并要?dú)w納、概況出“垂直”特征：線面垂直的“任意性（任意一條直線）”化歸為“有限性（只需在平面內(nèi)尋找兩條相交直線）”體現(xiàn)方式方法.

數(shù)學(xué)建構(gòu)：

（1）構(gòu)建垂直概念——通過經(jīng)歷情境的直觀感知，揭示線面垂直的定義本質(zhì).

（2）歸納、探究定理（判定定理、性質(zhì)定理）——經(jīng)歷“分析、探究”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地分析、思考如何線面垂直的“無限、任意”問題通過“有限”方式來說明和解決，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，歸納出線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.

定理運(yùn)用：鞏固定理——簡單運(yùn)用（由課本例題+補(bǔ)充例題）——尋找證明線面垂直的方法；通過例習(xí)題處理，化歸線面垂直證明的數(shù)學(xué)模式（重點(diǎn)）：尋找平面內(nèi)的“兩條”“相交”直線都與已知直線“垂直”，“垂直”的方式典例有兩種：蘊(yùn)含于特殊圖形（等腰三角形、直角三角形、菱形的對(duì)角線、長方形、正方形和其對(duì)角線）；凸顯于三角形三邊的數(shù)字關(guān)系（三角形的三邊勾股數(shù)，如3，4，5）.

回顧反思：深化定理——學(xué)生總結(jié)，學(xué)到什么知識(shí)？掌握了什么方法？拓展了哪些方面的視野？作業(yè).

5.關(guān)注動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律

在教學(xué)過程中，極力讓學(xué)生主動(dòng)探究、獲取、形成知識(shí)的過程.如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解線面垂直的判定定理是本節(jié)的重點(diǎn).為了加深定理理解，讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，可以設(shè)計(jì)一個(gè)三角形紙片讓學(xué)生做折紙實(shí)驗(yàn)，目標(biāo)是通過尋找如何折才能使折痕垂直于桌面，體會(huì)尋找折痕的過程中“怎樣折”“怎樣展開才能讓折痕垂直于桌面”的道理，自然就揭示了實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)和規(guī)律，達(dá)到了“垂直什么”然后才能“垂直桌面”的目標(biāo)，其中設(shè)問要從學(xué)生的視角出發(fā)，重點(diǎn)放在如何巧妙地設(shè)置問題上，實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生理解了判定定理，將所學(xué)知識(shí)與已有知識(shí)聯(lián)系，并對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生興趣，加深認(rèn)同感，發(fā)掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能和主動(dòng)性，形成高效設(shè)問.

課題設(shè)計(jì)主要考慮學(xué)生的思維層次和知識(shí)層次，以及對(duì)教材編寫專家的意圖理解和所學(xué)知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位與作用的系統(tǒng)掌握，再有意設(shè)置學(xué)生做一些高效的數(shù)學(xué)活動(dòng)（主動(dòng)探究、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等），注重細(xì)節(jié)、講究結(jié)構(gòu).

四、教學(xué)片斷回放

師：上述三個(gè)例題都是涉及“形”的視角來證明線面垂直的，其證明過程中最關(guān)鍵的是什么？哪位同學(xué)說一說？

生：線面垂直的證明關(guān)鍵是：線線垂直，其中所要尋找的“兩條相交直線在平面內(nèi)”，滿足與“已知直線都要垂直”，才能判定線面垂直.

師：下面看看一道補(bǔ)充題，是涉及“數(shù)”的視角來證明線面垂直的.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過線面垂圖1直的定義、判定定理的學(xué)習(xí)，能夠借用“數(shù)—式”關(guān)系來體會(huì)判斷線線垂直，完成線面垂直的證明.

又因?yàn)镃D∥BE，∠BED=90°，則四邊形BCDE為直角梯形BCDE，連接BD，由DE=BE=1，CD=2，∠CDE=∠BED=90°，得∠BDC=45°.在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos45°=2，所以BC=.又AC=，AB=2，得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC.又BC∩CD=C，從而AC⊥平面BCDE.

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生只會(huì)從“形”的方面去尋找“線線”垂直，容易忽略從“數(shù)”的角度來判定線線垂直，該題拓展了對(duì)線線垂直的判定視野、打破了思維定式，有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展和提升.

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今天這節(jié)課，同學(xué)們學(xué)習(xí)了線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，掌握了線面垂直證明方法，要抓住“一、二、三”，即一個(gè)“關(guān)鍵核心”，兩個(gè)“尋找視角”，三個(gè)“作用導(dǎo)向”.線面垂直的關(guān)鍵是垂直關(guān)系.線面尋找的視角方法是：（1）“形”的視角有：兩條直線垂直（相交垂直、異面垂直），菱形的對(duì)角線、正方形和矩形中的垂直，直角三角形中的垂直等等；（2）“數(shù)”的視角有：勾股定理的逆定理和向量法判斷垂直.線面垂直的作用導(dǎo)向是：垂直平面內(nèi)的所有直線（證明線線垂直）、過垂線可以作出垂面（證明面面垂直）和為后續(xù)的空間距離、空間角的計(jì)算實(shí)質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化為線面垂直作為橋梁與解三角形來解決做好鋪墊.

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，應(yīng)熟練掌握直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈活運(yùn)用，尤其要注意線面垂直與線線垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.

五、教學(xué)感悟

教材是許多專家智慧的結(jié)晶，經(jīng)歷多次實(shí)踐、修改、再實(shí)踐和再修改日臻成熟.備課時(shí)認(rèn)真研究教材，包括章頭言或章頭圖、閱讀材料、“觀察”“探究”和“思考”欄目、例題、習(xí)題、以及教材空白處的補(bǔ)充知識(shí)等成為教學(xué)的重要資源，揣測教材編排的真正用意，結(jié)合學(xué)生適時(shí)取舍為教學(xué)服務(wù)，真正做到“用教材教”.

1.講究邏輯，提升能力

數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，邏輯思維能力更是數(shù)學(xué)思維的根本.數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和理性精神.數(shù)學(xué)活動(dòng)（直觀感知、具體操作、審題解題等）是為了更好地思考數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)概念.教學(xué)設(shè)計(jì)更要注意數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)，一定要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，符合學(xué)生認(rèn)知的邏輯發(fā)展規(guī)律.

2.創(chuàng)設(shè)情境，強(qiáng)化思考

教師要能夠立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，才能夠促使學(xué)生積極思考，進(jìn)一步深層次的思考、概括、歸納并提出好的數(shù)學(xué)問題（適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，順勢引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出數(shù)學(xué)問題），問題的提出是自然的，學(xué)生面對(duì)從生活實(shí)例中提出的數(shù)學(xué)問題，就會(huì)積極尋找解決問題的方法、策略，數(shù)學(xué)活動(dòng)的情境有利于學(xué)生理解、思考數(shù)學(xué)概念，這樣有利于學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，發(fā)展了學(xué)生的思維能力.

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種主體參與與情境而持續(xù)建構(gòu)的過程，學(xué)習(xí)是學(xué)生作為主體的親歷親為的數(shù)學(xué)活動(dòng)，教師是引導(dǎo)者、促進(jìn)者的角色.課堂教學(xué)是以數(shù)學(xué)思想方法為終極目標(biāo).簡單地說，數(shù)學(xué)思想方法是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意識(shí)和操作策略，常常用于對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)與甄別、分析與處理，其中數(shù)學(xué)思想或隱或現(xiàn)地指導(dǎo)著數(shù)學(xué)思維活動(dòng).

3.厘清思路，促進(jìn)思維

厘清數(shù)學(xué)思路，才能夠更好地解決“教什么”和“怎樣教”的問題，才能夠更好地關(guān)注“教什么”，讓數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、形成過程、數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在課堂教學(xué)中，得到充分的凸現(xiàn)和親歷.數(shù)學(xué)思維是生動(dòng)的、活潑的數(shù)學(xué)策略創(chuàng)造和數(shù)學(xué)操作方式，合情推理（直覺、歸納、類比聯(lián)想等）和演繹推理（推理有據(jù)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)龋┦撬季S的兩種表現(xiàn)方法.數(shù)學(xué)概念是從直觀到形式的歸納、概括等過程，需要教師讓學(xué)生充分體驗(yàn)概念的形成過程.

在新課程改革下，從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)出發(fā)，要能夠?qū)滩牡膬?nèi)容、編排的順序和教學(xué)方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，多思考創(chuàng)設(shè)怎樣的情境讓數(shù)學(xué)理解在學(xué)生的心靈深處發(fā)生，恰當(dāng)?shù)刈プW(xué)生，形成“憤”和“悱”的情境，讓學(xué)生很自然“厘清”數(shù)學(xué)整體思路，設(shè)計(jì)出富有個(gè)性化特色的教學(xué)方案，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)“講究”數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)，積極營造數(shù)學(xué)思考的氛圍，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，在思考中提升思維能力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生積極動(dòng)腦，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、解決問題的能力，讓學(xué)生不斷地增強(qiáng)自信和增長智慧.

認(rèn)真“備課”“理清”思路，“講究”邏輯培養(yǎng)能力是一種教的態(tài)度，更是一種學(xué)的態(tài)度.數(shù)學(xué)概念的教與學(xué)是一種經(jīng)歷、體驗(yàn)，更是一種數(shù)學(xué)理解的感悟、升華！

1.宮前長.讓位學(xué)生思考踐行新課理念［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2012（3）.

2.宮前長.新課程古典概型教學(xué)：困惑、解惑與感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（5）.Y