☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)　徐維東

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預(yù)設(shè)“錯(cuò)誤”，成就“精彩”

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)徐維東

在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，“錯(cuò)誤”是難以回避的.因?yàn)殄e(cuò)誤來(lái)自于教與學(xué)的“前沿”，所以無(wú)論是學(xué)生無(wú)意生成的錯(cuò)誤，還是教師有意預(yù)設(shè)的錯(cuò)誤，都應(yīng)成為寶貴的教學(xué)資源.在教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)充分挖掘這些“錯(cuò)誤”的教學(xué)價(jià)值，為學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)、技能的形成、經(jīng)驗(yàn)的積淀及“良習(xí)”的養(yǎng)成服務(wù).在近期的“因式分解”教學(xué)中，筆者就預(yù)設(shè)了一道“錯(cuò)誤”的例題，讓學(xué)生展開(kāi)探索，取得了較好的教學(xué)成效.現(xiàn)呈現(xiàn)這則片斷及教學(xué)的感悟，希望能給大家?guī)?lái)啟示.

一、“因式分解”教學(xué)片斷

教學(xué)內(nèi)容：因式分解.

教學(xué)預(yù)設(shè)：因式分解（a+b）2-12（a+b）+9.

教師板書(shū)，抄寫(xiě)題目，讓學(xué)生尋找因式分解的思路，并給出分解的結(jié)果.

在教師抄題過(guò)后，立即有幾個(gè)學(xué)生在下面小聲交流.大約過(guò)了兩分鐘，有兩名學(xué)生舉手示意自己解答完畢.教師立即走到這兩名學(xué)生身邊，查閱其分解的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩人所得結(jié)果一致，于是選擇其中一位同學(xué)的過(guò)程進(jìn)行了投影展評(píng).

投影：原式=（a+b）（a+b-12）+9.

師：這樣分解對(duì)嗎？

生（齊）：不對(duì)！

師：這是因式分解嗎？

生（齊）：不是！

師：為什么？

生1：因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這里給出的結(jié)果不是積的形式.

師：很好！從結(jié)果的形式看，這里是兩個(gè)整式的和的形式，不符合因式分解的定義.所以這兩位同學(xué)的因式分解都是錯(cuò)的.你們還有其他結(jié)果嗎？

學(xué)生安靜下來(lái)，四下張望，期待著能有其他答案出現(xiàn).

師：怎么了！難道這個(gè)式子不能分解嗎？

生2：不能！

師：為什么？

生2：我是把（a+b）當(dāng)做一個(gè)整體的.這樣一來(lái)，這個(gè)式子就可以變形為（a+b）2-2（a+b）·6+9.根據(jù)完全平方公式的形式，這里的最后一項(xiàng)不是6的平方，所以這道題是不可以用完全平方公式來(lái)分解的.

生3：我也有這樣的發(fā)現(xiàn).這個(gè)式子中，前面是a+b的平方，后面是3的平方，中間一項(xiàng)就應(yīng)該是±6（a+b），而實(shí)際上卻是-12（a+b），這顯然不符合完全平方公式的形式，所以我們是無(wú)法分解的.

師：如果給你一次修改題目的機(jī)會(huì)，怎樣修改才能使得多項(xiàng)式可以因式分解呢？

生3：將數(shù)字9改為36.

師：分解的結(jié)果是什么？

生3：（a+b-6）2.

師：還可以怎么改呢？

生4：將中間的系數(shù)12改為6.

師：分解的結(jié)果呢？

生4：（a+b-3）2.

生5：還可以將數(shù)字9改為20，這樣可以分解為（a+b-10）（a+b-2）.

師：很好！

生6：這么說(shuō)的話(huà)，中間的數(shù)字也可以改為-10，分解的結(jié)果為（a+b-1）（a+b-9）.

……

師：剛才，老師抄題時(shí)犯下了一個(gè)“錯(cuò)誤”，這個(gè)“錯(cuò)誤”給你帶來(lái)了哪些收獲？

生7：我重新認(rèn)識(shí)了“因式分解”，知道了因式分解的結(jié)果應(yīng)該是“積”的形式.

生8：辨析一個(gè)式子能不能用完全平方公式分解因式.

生9：做事要嚴(yán)謹(jǐn)，看題要認(rèn)真，否則一個(gè)數(shù)字就會(huì)鑄成大錯(cuò).

生10：犯“錯(cuò)”后，要及時(shí)調(diào)整改正，這樣離成功會(huì)越來(lái)越近的.

……

師：非常棒，通過(guò)一道“錯(cuò)誤”的例題，我們很好地梳理了這些天獲得的因式分解的知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性有了更深的認(rèn)識(shí).

二、片斷分析

用公式進(jìn)行因式分解，關(guān)鍵要將多項(xiàng)式按照公式的樣式進(jìn)行“匹配”.以完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2為例，讓學(xué)生弄清多項(xiàng)式中的哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的a2，哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的2ab，哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的b2，在實(shí)現(xiàn)項(xiàng)與公式的“配形”成功后，才能按照公式來(lái)進(jìn)行分解.案例中，教師故意設(shè)計(jì)了一道不可以分解的例題，讓學(xué)生經(jīng)歷“錯(cuò)誤”探索.首先，教師對(duì)學(xué)生給出的錯(cuò)解案例進(jìn)行了講評(píng)，帶領(lǐng)學(xué)生回顧了因式分解的概念.接下來(lái)，通過(guò)調(diào)整數(shù)字對(duì)“錯(cuò)誤”進(jìn)行改正，將原本不可以分解的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢杂猛耆椒焦郊啊笆窒喑朔ā狈纸獾亩囗?xiàng)式.這樣的設(shè)計(jì)，由一道例題變化出多道例題.“如果給你一次修改題目的機(jī)會(huì)，怎么修改才能使得多項(xiàng)式可以因式分解呢”，迅速激活了學(xué)生的求異思維.在他們的積極探索下，多個(gè)可以分解的多項(xiàng)式即時(shí)生成，與之對(duì)應(yīng)的結(jié)果也隨之產(chǎn)生.最后，教師圍繞自己預(yù)設(shè)的這個(gè)錯(cuò)誤及由此產(chǎn)生的教學(xué)過(guò)程進(jìn)一步展開(kāi)交流，“這個(gè)‘錯(cuò)誤’給你帶來(lái)了哪些收獲”，讓例題教學(xué)的品味迅速提升，學(xué)生不僅梳理了自己在知識(shí)與技能方面的收獲，還從習(xí)慣養(yǎng)成的角度談了自己的感受.我們不難發(fā)現(xiàn)，這則案例中的“錯(cuò)誤”的預(yù)設(shè)是巧妙的，教師的教學(xué)實(shí)施是到位的，教學(xué)的效果更是顯著的.

三、教學(xué)感悟

1.“錯(cuò)誤”預(yù)設(shè)應(yīng)緊扣教學(xué)主線

任何一節(jié)數(shù)學(xué)課都有著既定的教學(xué)主線，在課堂教學(xué)中，所有的課前預(yù)設(shè)都應(yīng)在這根教學(xué)主線上展開(kāi).所以我們預(yù)設(shè)“錯(cuò)誤”時(shí)，也應(yīng)充分關(guān)注課堂教學(xué)的主線，力求在教學(xué)主線上找到“錯(cuò)誤”的最佳“附著點(diǎn)”，以便其在最佳教學(xué)時(shí)機(jī)上進(jìn)入課堂，成為學(xué)生獲取知識(shí)、提升技能的“利器”.在本文給出的教學(xué)案例中，課堂教學(xué)的主線是因式分解，與因式分解相關(guān)的知識(shí)應(yīng)附著其上，漸次散開(kāi).教師預(yù)設(shè)的這則錯(cuò)例，正是教者基于這一目標(biāo)設(shè)計(jì)的.首先，例題的解題要求是“因式分解”，直指教學(xué)主線，學(xué)生在化解例題過(guò)程中，必然會(huì)回憶出因式分解的方法和技巧.然而，“錯(cuò)誤”的題目學(xué)生是無(wú)法分解的，所以一旦有結(jié)果出現(xiàn)，就成為了回顧因式分解概念的絕佳時(shí)機(jī)，教師是絕對(duì)不會(huì)放過(guò)的.當(dāng)然，教師預(yù)設(shè)的這個(gè)錯(cuò)誤在教學(xué)中的應(yīng)用絕不止于此，接下來(lái)的糾錯(cuò)和究錯(cuò)自然會(huì)在因式分解這根教學(xué)主線上越走越遠(yuǎn).

2.核心探究落實(shí)糾錯(cuò)究錯(cuò)

錯(cuò)例教學(xué)的資源，既有源自學(xué)生的“錯(cuò)誤”，也有老師精心預(yù)設(shè)的“錯(cuò)誤”.無(wú)論是哪一種資源，我們的教學(xué)處理絕不能止于“知錯(cuò)就改”，我們應(yīng)立足于“知錯(cuò)”，確保及時(shí)準(zhǔn)確地糾錯(cuò)，還要努力究錯(cuò)，深究出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的深層次原因和這些錯(cuò)誤背后更大的拓展空間，以便及時(shí)而有效地挖掘出這些錯(cuò)誤的教學(xué)價(jià)值.所以教師首先應(yīng)重視錯(cuò)誤的教學(xué)應(yīng)用.學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)對(duì)錯(cuò)誤的價(jià)值進(jìn)行即時(shí)評(píng)估，以確定是否進(jìn)行教學(xué)應(yīng)用及教學(xué)應(yīng)用的程度；教師預(yù)設(shè)錯(cuò)誤時(shí)，應(yīng)提前全方位剖析設(shè)計(jì)的錯(cuò)誤，確定教學(xué)應(yīng)用的程度和步驟，以求最大限度地發(fā)揮其教學(xué)價(jià)值.本文給出的是一則預(yù)設(shè)錯(cuò)誤的教學(xué)片斷，從教師教學(xué)實(shí)施的過(guò)程看，他對(duì)自己所展示的錯(cuò)誤的教學(xué)方向是十分清楚的.在學(xué)生探索這個(gè)“錯(cuò)誤”時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生新的錯(cuò)誤；改正這個(gè)“錯(cuò)誤”的方法有很多，由此生成的結(jié)果也有很多；糾正這個(gè)錯(cuò)誤，需要調(diào)用的知識(shí)不只是完全平方公式，還有閱讀材料中的“十字相乘法”（說(shuō)明：教材給出的是二次項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式分解方法）；這個(gè)錯(cuò)誤不只涉及數(shù)學(xué)“四基”，還會(huì)影響到學(xué)生的習(xí)慣養(yǎng)成……如此種種分析，讓教師對(duì)教學(xué)的內(nèi)容及教學(xué)的步驟有了深刻的認(rèn)知.所以教者最終將課堂探究的核心環(huán)節(jié)定格在對(duì)錯(cuò)誤的糾正與其教學(xué)價(jià)值的挖掘之上，錯(cuò)誤的價(jià)值無(wú)形中被放大，與此相關(guān)的知識(shí)與技能逐步走進(jìn)了學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之中.

3.教后反思彰顯“錯(cuò)誤”的價(jià)值

反思，有利于人的全面發(fā)展.在教學(xué)活動(dòng)中，適時(shí)的反思不僅能提升教師教育教學(xué)的能力，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)與實(shí)踐的能力.所以在教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)重視學(xué)生的學(xué)后反思.當(dāng)探索活動(dòng)結(jié)束后，我們以合適的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己學(xué)習(xí)的結(jié)果和學(xué)習(xí)的過(guò)程進(jìn)行梳理，使其在明確知曉自己所獲得的知識(shí)和形成的技能的同時(shí)，還能感知知識(shí)獲得過(guò)程中存在的探究方法、探索技巧及思維方式.很明顯，這樣的反思對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)是非常有利的.在人的成長(zhǎng)過(guò)程中，知識(shí)與技能的獲得與應(yīng)用是短暫的，它們只是學(xué)生人生成長(zhǎng)過(guò)程中的一個(gè)個(gè)“過(guò)客”，對(duì)學(xué)生發(fā)展與影響最大的應(yīng)該是那些蘊(yùn)藏在學(xué)生知識(shí)獲得與技能形成過(guò)程中的思想、方法、經(jīng)驗(yàn)等.初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，恰好處在學(xué)生成長(zhǎng)的關(guān)鍵期，我們應(yīng)努力將這些對(duì)學(xué)生影響很大的重要因素融入學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)中，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.嚴(yán)謹(jǐn)做事，知錯(cuò)就改，是上面案例中“錯(cuò)誤”教學(xué)給學(xué)生的啟示.在教學(xué)中，教師并沒(méi)有將這個(gè)教學(xué)點(diǎn)遺漏，以“這個(gè)‘錯(cuò)誤’給你帶來(lái)了哪些收獲”引領(lǐng)學(xué)生從解題走向反思.學(xué)生在梳理自己知識(shí)與技能所獲的同時(shí)，還將自己由問(wèn)題解決生成的感悟一并梳理出來(lái)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決奠基.