福建省泉州市第五中學(xué)

楊蒼洲 (郵編：362000)

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提高試題難度的一種命題方法：換元

福建省泉州市第五中學(xué)

楊蒼洲 (郵編：362000)

在高中數(shù)學(xué)的命題工作中，選擇、填空等題型的壓軸試題的命制常常讓命題者感到頭疼．

如何才能迅速地命制出高質(zhì)量的壓軸試題呢?

筆者通過(guò)對(duì)一些高考?jí)狠S試題的研究，從中發(fā)現(xiàn)了一種命題方法——“換元法”．此種方法能有效地對(duì)試題進(jìn)行包裝，并快速提高試題的難度，是一種簡(jiǎn)單、高效的命題方法．

下面我們從命題的角度一起分析幾道試題的命題思路，分享這種簡(jiǎn)單的命題方式．

命題思路探究

第一步：選定以三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα為背景命題．

本題通過(guò)換元，進(jìn)行巧妙的包裝，隱去問(wèn)題原本“三角函數(shù)”的真面目，得到一個(gè)新問(wèn)題——含參數(shù)的三次函數(shù)恒成立問(wèn)題．問(wèn)題的解決必須以導(dǎo)數(shù)為工具進(jìn)行求解，具有一定綜合性，難度較大，適合于作為試題的壓軸試題．

案例2 (2013年高考全國(guó)1卷改編)已知函數(shù)f(x)=(x2+x)(x2+ax+b),若對(duì)?x∈R,有f(x)=f(2-x),則f(x)的最小值為( )

命題思路探究

第四步：以函數(shù)y3的對(duì)稱性為條件，設(shè)置參數(shù)，命成此題．

本題難度較大，是高考的壓軸試題．問(wèn)題的起點(diǎn)卻是我們熟知的二次函數(shù)最值問(wèn)題，經(jīng)過(guò)命題者的巧妙構(gòu)思、包裝，隱去問(wèn)題的本來(lái)面目，從而加大試題難度，提高試題的考查價(jià)值．

命題思路探究

第二步：研究函數(shù)y=lnx與y=x-t的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．可知，當(dāng)t>1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)．即方程lnx=x-t有兩個(gè)實(shí)根．

本題貌似繁雜，實(shí)際上卻是從重要不等式“l(fā)nx≤x-1”衍生而來(lái)．通過(guò)一步步的換元變換、化簡(jiǎn)運(yùn)算、恒等變形，最終成題．在每一次變形中，都在不斷地提高試題的難度、綜合度，從而使得最終的問(wèn)題具有較高的區(qū)分度．

體驗(yàn)了上述三道試題的命題心路歷程，你應(yīng)該也會(huì)贊嘆“換元法”的神奇．“換元法”的確是一種高效的命題方法，你值得擁有！

2016-09-18)