安徽省蚌埠市第五中學(xué)

支 軍 (郵編：233000)

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從一道習(xí)題談起

安徽省蚌埠市第五中學(xué)

支 軍 (郵編：233000)

先看一道習(xí)題：

若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：

(i)直線(xiàn)l在點(diǎn)P(x0,y0)處與曲線(xiàn)C相切;(ii)曲線(xiàn)C在P附近位于直線(xiàn)l的兩側(cè)，則稱(chēng)直線(xiàn)l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線(xiàn)C.

下列命題正確的是______(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))

以下是筆者對(duì)本題的研究和思考：

本題實(shí)質(zhì)是中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，即：如果函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)稱(chēng)且在點(diǎn)P(x0,y0)處連續(xù)且可導(dǎo)，則函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線(xiàn)一定“切過(guò)”y=f(x)的圖象.由此性質(zhì)易知本題選①③④.

但進(jìn)一步引起筆者思考的是如何快速找到一些中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心.為此筆者進(jìn)行了如下探究：

首先，我們來(lái)探究，原函數(shù)對(duì)稱(chēng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性如何？

若函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)且可導(dǎo)，則f(x)=f(2a-x).

根據(jù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)易得：f′(x)=-f′(2a-x)，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng).

同理可得：若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱(chēng)且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線(xiàn)x=h對(duì)稱(chēng).

因此，我們得到如下結(jié)論：

定理1 若函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng).若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱(chēng)且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線(xiàn)x=h對(duì)稱(chēng).

推論 若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)為奇函數(shù)；若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù).

下面我們來(lái)探究導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱(chēng)時(shí)，原函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性如何.

若導(dǎo)函數(shù)f′(x)關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)，則f′(x)=f′(2a-x).所以

∫f′(x)dx=∫f′(2a-x)dx，

故f(x)+c=-f(2a-x)+d.

而當(dāng)f′(x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱(chēng)時(shí)，有

f′(x)=2k-f′(2h-x)，

故∫f′(x)dx=∫[2k-f′(2h-x)]dx，

所以f(x)+c=2kx+f(2h-x)+d.

可見(jiàn)，此時(shí)原函數(shù)f(x)不一定關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).例如，三次函數(shù)都是中心對(duì)稱(chēng)的，而四次函數(shù)中f(x)=x4是關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)的；f(x)=x4-3x3+2x卻不是軸對(duì)稱(chēng)的(如圖).

因此，我們得到如下結(jié)論：

利用上述結(jié)論我們可以得到對(duì)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的對(duì)稱(chēng)中心的新求法.

2016-09-21)