福建省廈門市第一中學(xué)

王淼生 (郵編：361003)

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基于MPCK視角下的解題反思
——以“一道月考試題”為例

福建省廈門市第一中學(xué)

王淼生 (郵編：361003)

舒爾曼1986年提出PCK(學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí))理論后，立即引起各國(guó)學(xué)者關(guān)注，從而使數(shù)學(xué)教師特有的學(xué)科教學(xué)知識(shí)從PCK泛學(xué)科的研究中獨(dú)立出來(lái)，形成MPCK(數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí))理論．MPCK要求數(shù)學(xué)教師面對(duì)特定問題時(shí)，反思學(xué)生遇到困難的原因并采取有效教學(xué)策略，構(gòu)建高效的解題教學(xué)，這是MPCK理論在解題教學(xué)中的應(yīng)用．本文基于MPCK理論，從哲學(xué)觀點(diǎn)來(lái)反思一道月考試題解答過(guò)程，不妥之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正．

1 真題呈現(xiàn)

前不久月考中出現(xiàn)這樣一道試題(下稱案例1)：

(I)若函數(shù)f(x)在定義域上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2 全軍覆沒

案例1是最后一道壓軸題，全年級(jí)沒有考生能夠真正完整解答，全軍覆沒，令人痛心．那應(yīng)該怎樣解答呢？

對(duì)于(II)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得

由題意可知x1、x2是以下方程的兩個(gè)不等正根(不妨設(shè)x1

f′(x)=0?x2-ax+1=0.

據(jù)韋達(dá)定理可得 x1+x2=a,x1x2=1.

①

由兩點(diǎn)斜率公式可得

②

③

據(jù)已知條件可得

④

g(x)≤g(e).

⑤

以下來(lái)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性(即圖象走勢(shì))，顯然最有效的方法就是求導(dǎo)：

⑥

⑦

h(x)

⑧

3 基于MPCK視角下的解題反思

數(shù)學(xué)教育家波利亞在文[1]“解題表”中指出數(shù)學(xué)解題過(guò)程分為弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)施過(guò)程、回顧反思等四個(gè)階段，其中最重要也是最容易忽視的就是解題后的反思．解題教學(xué)的核心在于反思，怎樣反思、反思什么是衡量解題教學(xué)效率高低的杠桿．正如著名的特級(jí)教師任勇在文[2]中感嘆：“如果求出了問題的答案就匆匆合上作業(yè)本，我們將失去做這道題本來(lái)應(yīng)該得到的更多、更寶貴的東西．光解題而沒有反思就如同入寶山卻空著手回來(lái)．”

3.1 反思之一：唯物辯證的觀點(diǎn)

羅增儒教授在文[3]指出，盡管數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，但深入研究還是具有一定規(guī)律，教師就是指引學(xué)生尋覓這些規(guī)律的“領(lǐng)路人”．有關(guān)導(dǎo)數(shù)綜合試題，幾乎都有這樣的規(guī)律：構(gòu)造新的函數(shù)φ(x)后，都能將問題轉(zhuǎn)化為“φ(x)≥(≤)φ(t)”的結(jié)構(gòu)，然后證明φ(x)的單調(diào)性．借助這一特點(diǎn)往往收到意想不到的奇效，甚至起死回生，比如上述⑤、⑧．

數(shù)學(xué)解題應(yīng)遵循規(guī)律，也需要一定模式，但過(guò)度強(qiáng)調(diào)并套用固定模式則會(huì)思維僵化．不少學(xué)生總認(rèn)為上述表達(dá)式②應(yīng)該湊合成“齊次”形式，而此題難以實(shí)現(xiàn)，故而束手無(wú)策，這是本題失分的第一個(gè)原因．亦有部分學(xué)生因套用模式，即強(qiáng)行湊成“齊次”而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)復(fù)雜，尤其是求導(dǎo)過(guò)程極其繁瑣而不得不中途停止，前功盡棄，這是本題丟分的另一個(gè)原因．

3.2 反思之二：整體與局部的觀點(diǎn)

安振平先生認(rèn)為代數(shù)變形能力是一個(gè)數(shù)學(xué)教師專業(yè)水平的重要標(biāo)志．對(duì)于復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)綜合問題，求導(dǎo)之前應(yīng)適當(dāng)變形．尤其含有“l(fā)nx”，應(yīng)該盡量將“l(fā)nx”前面的一切“分離”開來(lái)，比如從⑥到⑦就輕松避免了求導(dǎo)越來(lái)越復(fù)雜，這一看似簡(jiǎn)單的變形卻是致命的．反之，若直接對(duì)⑥求導(dǎo)，不僅“l(fā)nx”永遠(yuǎn)不可能消失，而且每求導(dǎo)一次，結(jié)果愈加復(fù)雜，這是部分學(xué)生無(wú)奈放棄的原因．

表面上似乎⑦比⑥更加復(fù)雜，那為何還要這樣變形呢？盡管⑦確實(shí)比⑥復(fù)雜，但我們聚焦不在⑦的“整體”上，而是在⑦的“局部”．因?yàn)槲覀冎灰袛啖叩姆?hào)，即只要研究上述目標(biāo)函數(shù)h(x)符號(hào)，為此只要對(duì)h(x)再一次求導(dǎo)，問題就變得簡(jiǎn)單得多．遺憾的是全年級(jí)沒有一名學(xué)生實(shí)施“分離”，為何要 “分離”呢？因?yàn)榍髮?dǎo)最終目的就是為了畫出函數(shù)圖形，即刻畫圖象大致走勢(shì)．這就需要研究函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，即判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，當(dāng)然渴望將導(dǎo)函數(shù)因式分解，進(jìn)而求出極值點(diǎn)．上述⑥到⑦即“分離”之后，通過(guò)求導(dǎo)將原來(lái)的“l(fā)nx”轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的多項(xiàng)式，為實(shí)施因式分解帶來(lái)極大方便．而含有“l(fā)nx”就難以實(shí)施因式分解，就不可能求出極值點(diǎn)，這是極少數(shù)學(xué)生堅(jiān)持到最后而痛失分?jǐn)?shù)的原因所在．

3.3 反思之三：普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)

目前課堂解題教學(xué)一味追求數(shù)量，忽視質(zhì)量，缺乏反思，導(dǎo)致學(xué)生過(guò)后依然還是“濤聲依舊”．因?yàn)閷W(xué)生不知道錯(cuò)誤的原因，更不清楚破解試題的突破口與關(guān)鍵點(diǎn)在何處，因而還是無(wú)法獨(dú)立完成此類試題．于是教師再一次更加密集地訓(xùn)練、更加頻繁地考試、更大數(shù)量地講評(píng)，這種一輪又一輪加碼循環(huán)，愈演愈烈．學(xué)生陷入題?？嗖豢把?，教師唉聲一片傷了自己．反復(fù)折騰，學(xué)生怎么可能對(duì)數(shù)學(xué)感興趣？怎么可能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力呢？波利亞感嘆：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)側(cè)面，使得通過(guò)這道試題就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．”

案例1涉及的是與“l(fā)nx”相關(guān)求導(dǎo)問題，lnx與ex是一對(duì)“孿生兄弟”，即與“ex”相關(guān)的問題，同樣也需要將“ex” 前面的一切“分離”開來(lái)，否則也會(huì)陷入同樣的困境．巧合的是最近還遭遇到這樣一道試題(下稱案例2)：

案例2 若函數(shù)f(x)滿足x2f′(x)-2xf(x)=x3ex,f(2)=-2e2.則x>0時(shí)，f(x)

( )

A.有極大值，無(wú)極小值

B.有極小值，無(wú)極大值

C.即有極大值，又有極小值

D.既無(wú)極大值，又無(wú)極小值

解答如下：當(dāng)x>0時(shí)，將已知條件變形為

f(x)=x2g(x)

?f′(x)=2xg(x)+x2g′(x)=2xg(x)+xex

⑨

⑩

依據(jù)⑩，再一次構(gòu)造函數(shù)：

h(x)=2g(x)+ex?h′(x)=2g′(x)+ex>0.

x(0,2)2(2,￥)f'(x)-0+f(x)單調(diào)遞減取得極小值單調(diào)遞增

依據(jù)上述表格答案選B.

關(guān)于上述案例2，還有一個(gè)小故事：案例2作為選擇題，沒有具體解答過(guò)程，只有一個(gè)參考答案B.結(jié)果到了考試那天，備課組全體教師都覺得無(wú)法判斷是否存在極大值而誤以為是一道錯(cuò)題，在考試中途臨時(shí)不得不更換一個(gè)題目．其實(shí)，案例2主要考查函數(shù)f(x)的極值情況，即需要對(duì)f′(x)實(shí)施因式分解，但因f(x)是抽象函數(shù)，故難以對(duì)上述⑨直接實(shí)施因式分解，于是再一次對(duì)上述⑨求導(dǎo)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)越來(lái)越復(fù)雜，連教師自己也不得不終止運(yùn)算，加上無(wú)法判斷是否存在極大值，這就是絕大部分教師認(rèn)為這是一道錯(cuò)題的緣故．此時(shí)，破解困境的關(guān)鍵在于⑨到⑩．事實(shí)上，從⑨到⑩僅僅只是“分離”了x,問題就立即變得簡(jiǎn)單明了，迎刃而解，而這恰恰是絕大教師沒有發(fā)現(xiàn)的“秘密通道”．

由此可見，教師自己也經(jīng)常犯這種“不分離”而“一鍋煮”的錯(cuò)誤．解題不是數(shù)學(xué)的全部，也不是數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)水平的唯一標(biāo)志．但數(shù)學(xué)教師離不開解題，解題能力直接影響其教學(xué)水平．沒有強(qiáng)大解題能力，就不可能成為一流的數(shù)學(xué)教師．這從一個(gè)側(cè)面印證了為何全國(guó)很多數(shù)學(xué)教師渴望參加中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考主辦的解題研討，也解釋了羅增儒教授名著《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐》火爆的原因．正如波利亞所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題．”任何一位教師都希望不斷地提高自己與學(xué)生的解題能力，因此，反思不僅提高學(xué)生解題能力，更有利于提升教師專業(yè)水平．

3.4 反思之四：量變質(zhì)變的觀點(diǎn)

其實(shí)，優(yōu)秀解題高手(無(wú)論學(xué)生還是教師)與一般人的區(qū)別在于長(zhǎng)期強(qiáng)調(diào)反思、關(guān)注細(xì)節(jié)、重視量變、把握質(zhì)變．這種量的積累必然決定了試題解答最后成敗往往在于關(guān)鍵某一步的實(shí)施，比如案例1中的⑥到⑦、案例2中的⑨到⑩“分離”步驟．正所謂反思鑄就高度，細(xì)節(jié)決定成敗，量變引起質(zhì)變，質(zhì)變回饋量變．

3.5 反思之五：主觀能動(dòng)性觀點(diǎn)

新一輪課改首次將情感態(tài)度與價(jià)值觀同知識(shí)和技能、過(guò)程和方法一起并列為基礎(chǔ)教育的三維目標(biāo)．盡管以前大綱也在不同程度上強(qiáng)調(diào)“情感態(tài)度與價(jià)值觀”的重要性，但是新一輪課改，則把“情感態(tài)度與價(jià)值觀”作為課程目標(biāo)，這樣“情感態(tài)度與價(jià)值觀”不再是可有可無(wú)的東西，而是必須實(shí)現(xiàn)的基本目標(biāo)．作為壓軸的導(dǎo)數(shù)綜合試題，通常具有較大的難度，這是一種正常現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)教育一個(gè)重要目的就是培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、迎難而上的意志和毅力．沒有堅(jiān)強(qiáng)的意志，缺乏堅(jiān)韌的毅力，是不可能學(xué)好數(shù)學(xué)，這正是新一輪課改將“情感態(tài)度與價(jià)值觀”作為三維目標(biāo)之一的緣由所在．值得指出的是，情感態(tài)度與價(jià)值觀并非僅僅指向?qū)W生，教師也不例外．上述案例1、案例2的解答過(guò)程是筆者鍥而不舍才得到，絕非一蹴而就，期盼讀者呈現(xiàn)更加簡(jiǎn)捷的方法．

華東師大終身教授葉瀾感嘆：“一個(gè)教師寫一輩子教案不一定成為名師，如果一個(gè)教師寫三年反思就有可能成為名師．”反思是主觀能動(dòng)性突出表現(xiàn)，是辯證唯物主義在具體的數(shù)學(xué)學(xué)科的體現(xiàn)，更是對(duì)MPCK理論的完善和創(chuàng)新．依據(jù)舒爾曼的PCK理論，專家型教師與一般教師的根本差距就在于專家型通過(guò)反思使得學(xué)術(shù)知識(shí)、實(shí)施策略轉(zhuǎn)化為學(xué)生易接受、易理解、易操作的教學(xué)知識(shí)和動(dòng)手操作能力．MPCK理論不是虛無(wú)縹緲，更不是從天而降，而是主觀能動(dòng)性的表現(xiàn)，是

在實(shí)踐中形成并在實(shí)踐中得到升華，上述案例1與案例2正是PCK理論在解題反思中的具體體現(xiàn)和最佳詮釋例證．

1 波利亞．怎樣解題(閻育蘇 譯)[M]．北京：科學(xué)出版社，1982

2 任勇．中學(xué)數(shù)學(xué)解題百技巧[M]．福州：福建少年兒童出版社，1998

3 羅增儒．中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M]．南寧：廣西教育出版社，1997

本文系全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度單位資助教育部規(guī)劃課題“基于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(MPCK)視角下的概念教學(xué)案例研究”(課題批準(zhǔn)號(hào)FHB150464)研究成果.

2016-09-06)