中國科技大學(xué)附屬中學(xué)

黃嚴(yán)生 (郵編：230051)

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聚焦新課程

回歸自然 領(lǐng)悟本質(zhì)
——對等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)教學(xué)過程的思考

中國科技大學(xué)附屬中學(xué)

黃嚴(yán)生 (郵編：230051)

很多老師受高考指揮棒的影響，急功近利.對數(shù)學(xué)公式原理教學(xué)，沒有很好落實數(shù)學(xué)原理教學(xué)原則，不注重知識形成、發(fā)展過程.對公式的推導(dǎo)過程大而化之，在例題講解和習(xí)題訓(xùn)練上，不惜花費(fèi)大量的時間，這種做法看似效率很高，學(xué)生應(yīng)用能力有所提高.其實不然，學(xué)生的這種解題能力提高是暫時的，是模仿性質(zhì)的，學(xué)生對原理、公式的理解是膚淺的，對原理、公式所蘊(yùn)含的思想方法都知之甚少.

教師的課堂教學(xué)，實質(zhì)上是落實如何學(xué)的問題，教師的教是為了學(xué)生的學(xué). 愛因斯坦說，“喚起獨(dú)創(chuàng)性的表現(xiàn)與求知之樂，是為人師者至高無比的秘方”. 教師不是簡單地告訴學(xué)生做什么，而不是向?qū)W生解釋怎么做，應(yīng)是激勵學(xué)生去觀察、思考、頓悟和發(fā)現(xiàn). 因此，教師要弄清教什么、如何教、怎么教，才能更好地落實學(xué)生學(xué)的問題.本文以等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)為例，從以下幾個方面進(jìn)行分析，供大家參考.

1 案例透視與評析

人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》必修5,2.3節(jié)的內(nèi)容是“等差數(shù)列的前n項和”，教材中利用高斯加法作為引例.下面是一位教師推導(dǎo)“等差數(shù)列的前n項和公式”的教學(xué)片斷：

問題1 請大家計算：1+2+…+100=?

由于不少學(xué)生在小學(xué)時就學(xué)習(xí)過高斯加法，學(xué)生利用高斯加法很快解決上面的計算問題.即1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.

問題2 你們能計算1+2+…+100+101嗎？

學(xué)生1：1+2+…+100+101=(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51=102×50+51=5151.

學(xué)生2：1+2+…+100+101=(1+2+…+100)+101=5050+101=5151.

教師：很好，同學(xué)們能利用高斯加法思想或用以前已經(jīng)解決問題來解決上面的求和問題.

問題3 請大家計算：1+2+…+n(n∈N*)

問題4 請大家思考還有沒有其他方法解決問題3的計算？

教師：學(xué)生4用的也是轉(zhuǎn)化方法，當(dāng)n是奇數(shù)時，通過添加一項n+1，將其轉(zhuǎn)化偶數(shù)的情形進(jìn)行計算.

問題5 你們還有沒有其它方法計算？

學(xué)生感到茫然，大家認(rèn)為，除分類外，好像找不到更好的方法.此時教師沒有急于求成，而是引導(dǎo)學(xué)生，積極地退回去，反思回顧上面的計算方法，并留足時間讓學(xué)生觀察、思考，從中發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì).使學(xué)生逐步感悟到，不論是哪種方法，其本質(zhì)就是將不同數(shù)轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和.教師可以進(jìn)一步追問，既然如此，那么我們能否避免用分類討論方法解決呢？上面的方法都是從算式和內(nèi)部結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過分類轉(zhuǎn)化，達(dá)到求解目的的.我們的思維能不能跳出來，能否對算式進(jìn)行再創(chuàng)造呢？(留足時間讓學(xué)生思考)

學(xué)生5：可以重新構(gòu)造一個求和問題，計算n+(n-1)+…+2+1，于是

教師：學(xué)生的方法就是倒序相加求和法，通過倒序相加，能將復(fù)雜的求和問題轉(zhuǎn)化為簡單的求和，即轉(zhuǎn)化為n個n+1的和.

問題6 請大家自己推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式.

學(xué)生自主探究，求等差數(shù)列前n項和的方法---倒序相加求和法，推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和公式.

2 重溫高斯加法，讓知識生成更自然

數(shù)列的求和問題，實際上就是一種加法運(yùn)算.但學(xué)生在此之前對多個數(shù)的求和問題，接觸不多.既然出現(xiàn)了認(rèn)知沖突，那么如何解決，如何引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識去同化或順應(yīng)新知識呢？維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動時所能達(dá)到的解決問題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展.

2.1 對高斯加法的再認(rèn)識

數(shù)列的求和就是解決多個數(shù)相加的問題，因此，學(xué)生現(xiàn)有能解決數(shù)列求和的知識，只有實數(shù)的加法、乘法的運(yùn)算法則及其意義.

高斯加法的本質(zhì)是，根據(jù)加法的交換律將加數(shù)進(jìn)行配對，于是1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101.

這一過程是將其轉(zhuǎn)化為50個101相加，將不同數(shù)的求和問題，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和問題，利用乘法意義，即可求出1+2+…+100的和等于101×50.這種由加法運(yùn)算，過渡到乘法的運(yùn)算，是一種飛躍，是一種突破.也就是利用已有的知識能力，解決一個全新的問題，是新課程理念所倡導(dǎo)的.

2.2 高斯加法思想的應(yīng)用

乘法的意義是求n個相同數(shù)a的求和的運(yùn)算，即n個a相加，記為n×a.乘法的意義實際上是解決了相同數(shù)的相加問題，加法的交換律和乘法的意義是高斯加法的理論依據(jù).這些知識雖然是基礎(chǔ)，但在學(xué)生腦海中是沉睡的知識.雖然每天都在不自覺地運(yùn)用著，但要學(xué)生有意識地調(diào)用這些知識來解決新問題，卻沒有這種習(xí)慣，有一定的難度.實際上，每個數(shù)學(xué)問題的解決，都要運(yùn)用與之相關(guān)的一系列數(shù)學(xué)知識作為理論依據(jù)，進(jìn)行推理論證和演算.因此，如何喚起學(xué)生，檢索、調(diào)用貯存在大腦中的知識來解決新問題，是教師教學(xué)的藝術(shù).

教師可以提出一些問題去刺激、去激發(fā)學(xué)生思考，激活學(xué)生大腦中的知識，用于解決問題.因此，在探究高斯加法時，可以設(shè)計一些問題.如：我們解決過多個數(shù)的求和問題嗎？你知道哪些？如何求？

通過問題引領(lǐng)，學(xué)生頓時覺得豁然開朗，體會到數(shù)學(xué)既是深奧的，也是簡單的.學(xué)生已有的知識，加法運(yùn)算、加法的交換律、乘法的意義得以充分調(diào)動，深知這些知識是解決1+2+…+100的求和的理論工具，是知識的最近發(fā)展區(qū)，分組、合并同類項解決問題基本方法.學(xué)生有了這種認(rèn)識，對于1+2+…+100+101的求和，也就得心應(yīng)手，不難解決.自然會產(chǎn)生如下的思維方法：

(1)1+2+…+100+101=50×101+101;

(2)1+2+…+100+101=50×102+51;

(3)1+2+…+100+101=1+2+…+100+101+102-102=51×103-102.

評析 (1)利用已求的1+2+…+100的和來解決1+2+…+100+101的和，將分為兩組(1+2+…+100)+101;(2)將加數(shù)51單獨(dú)考慮，也是分為兩組，即

(1+2+…+50+52+53+…+100+101)+51=50×102+51;(3)將原式增加一個數(shù)102，轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個數(shù)相加，利用高斯加法思想順利解決問題.

以上處理問題的方法，不論如何變化，最終目的是轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個數(shù)的和，通過配對轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題.

2.3 倒序相加的形成過程

能否找到一個通用的方法，既能解決是n的偶數(shù)情形，又能解決n是奇數(shù)情形的問題呢？顯然，當(dāng)n是奇數(shù)時，只從1+2+…+(n-1)+n是無法得到的.在學(xué)生思維出現(xiàn)暫時阻滯時，不要簡單告知，讓學(xué)生回顧、反思上面的思維過程，是如何將其轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，進(jìn)而，將解決問題方法進(jìn)行遷移.經(jīng)過探究討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由于n是奇數(shù)，從原式的結(jié)構(gòu)上看是無法實現(xiàn)的配對分組，要想實現(xiàn)分組配對，必須將1+2+…+(n-1)+n進(jìn)行加工構(gòu)建，轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個數(shù)的和.經(jīng)過學(xué)生討論、交流，發(fā)現(xiàn)在原式上再加一個1+2+…+(n-1)+n后，得到求2n個數(shù)的和問題，因此，就能順利將它們分成n組(i+(n-i+1),1≤i≤n,i∈N*))，即可以化為n個(n+1)的和.

這樣倒序相加法不是教師告知的，而是在解決問題中自然生成的，是學(xué)生在問題探究中自我發(fā)現(xiàn)的一種解題方法.倒序相加法是解決某類問題一種技巧，技巧本身不重要，重要的是這種探究過程、獲得數(shù)學(xué)方法的思維過程.

2.4 抓住本質(zhì)，領(lǐng)悟思想

另外，筆者聽了很多節(jié)該課題的課，授課教師在介紹高斯加法后，都如出一轍地讓學(xué)生利用倒序相加方法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式，這也是教材中介紹的方法. 機(jī)械模仿式學(xué)習(xí)、訓(xùn)練弊端是毋庸置疑的，仍沒有引起一些教師的注意，倒序相加求和法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法沒有真正被揭示.教師在教學(xué)中過分強(qiáng)調(diào)倒序相加求和法的運(yùn)用，這樣易形成思維僵化，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

如果學(xué)生沒有深刻理解高斯加法的本質(zhì)，如“計算1-2+3-4+…+(-1)2n-1×2n的和”等問題，學(xué)生就會不知所措.學(xué)生只要善于分析、觀察，就不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，就可以將1-2+3-4+…+(-1)2n-1×2n分成n組，即第一項與第二項分為一組，第三項與第四項分為一組，…，第2n-1項與第2n項分為一組，分成n組，每組的和都是-1，于是1-2+3-4+…+(-1)2n-1×2n=-n.

等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)過程，概括起來說就是重構(gòu)分組，通過學(xué)生大腦中新舊知識的相互作用，實現(xiàn)化歸.將不會的問題轉(zhuǎn)化已經(jīng)解決問題進(jìn)行處理，或者將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，這就是本質(zhì)，也是數(shù)學(xué)思維的精髓.數(shù)學(xué)公理、定義、定理與證明必須作為一個活躍的成分，滲透于推理過程之中.學(xué)生必須主動地去發(fā)現(xiàn)、學(xué)習(xí)、組織、檢驗并使用它們.由于數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)家思維活動的成果，他們的思維方法和思維過程是學(xué)生思維活動的典范，他們的思維是通過文本和教師的加工處理來影響著學(xué)生的思維.因此，在教學(xué)中，對公式原理的教學(xué)，要重視原理、公式本身的數(shù)學(xué)價值，很好地去發(fā)掘數(shù)學(xué)原理、公式形成過程中數(shù)學(xué)家的思維活動.摒棄將結(jié)果直接呈現(xiàn)給學(xué)生，通過大量的例題講解和習(xí)題訓(xùn)練，來鞏固和加深理解.其實，原理、公式本身就是經(jīng)典的例題，我們應(yīng)該充分用好和發(fā)揮好原理、公式的教學(xué)功能.

3 寄語

“教員不是拿所得的結(jié)果教人，最要緊的是拿怎樣得到結(jié)果的方法教人”. 畢達(dá)哥拉斯說，“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.”因此，在教學(xué)中，如何將教材呈現(xiàn)的知識進(jìn)行再創(chuàng)造，通過問題鏈激發(fā)學(xué)生思維，揭示知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)歷獲得數(shù)學(xué)公式的思維活動經(jīng)驗.這樣學(xué)到的不是單個的知識點(diǎn)，而是培養(yǎng)了獲取新知的能力.至于某個知識點(diǎn)，經(jīng)過一段時間以后可能遺忘，但這種理性思維的精神將終生難忘.同時，從方法論和發(fā)現(xiàn)論看，為日后學(xué)習(xí)、獲取知識、發(fā)現(xiàn)問題、創(chuàng)新地提出問題，以及研究問題方法和解決問題思路都有借鑒，如何化未知為已知，化陌生為熟悉，化復(fù)雜為簡單，做到大道至簡，將是終生受益的.

1 中華人共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試用)[M].北京：人民教育出版社,2003

2 丁益民.例談數(shù)學(xué)家思維的教學(xué)功能[J].數(shù)學(xué)通報,2016(5) : 15-17

3 [美]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社,2007新一版

2016-09-26)