劉建威，鐘澤湘

(1.長沙市規(guī)劃設(shè)計院有限責(zé)任公司, 湖南 長沙 410007；

2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

?

基于改進(jìn)灰色GM(1，1)模型的高速公路路基沉降預(yù)測

劉建威1，2，鐘澤湘1

(1.長沙市規(guī)劃設(shè)計院有限責(zé)任公司, 湖南 長沙 410007；

2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

摘要:有效預(yù)測高速公路路基沉降的發(fā)展趨勢，可以提高道路維修效率，降低事故發(fā)生率。根據(jù)路基沉降影響因素和特性，提出一種改進(jìn)的GM(1,1)預(yù)測測算法。采用自動尋優(yōu)定權(quán)的方法優(yōu)化傳統(tǒng)GM(1,1)模型的背景值，采用最小二乘法優(yōu)化初值，有效克服背景值與初值選擇的盲目性，并能保證較高的精度。分別對長湘高速某段和壟茶高速某段路基沉降進(jìn)行預(yù)測試驗，本文算法預(yù)測誤差均值分別為2.12%和1.38%，方差比為0.137和0.146，精度等級達(dá)到一級。

關(guān)鍵詞：路基沉降；改進(jìn)；灰色預(yù)測

用高速公路路基沉降的監(jiān)測數(shù)據(jù)對道路維修養(yǎng)護(hù)進(jìn)行科學(xué)管理，合理配置維修資源，可降低維護(hù)成本，提高維護(hù)效率，進(jìn)而可降低交通事故發(fā)生率，保障乘坐舒適度[1-2]。因而把握路基沉降的發(fā)展規(guī)律并進(jìn)行預(yù)測具有十分重要的意義[3-4]。高速公路路基沉降的形成和發(fā)展通常受到地質(zhì)因素，載荷因素，自然氣候因素等共同影響[5-6]，這些影響因素通常無法有效量化,因此造成路基沉降趨勢的隨機(jī)性和復(fù)雜性[7]。國內(nèi)外學(xué)者對道路路基沉降預(yù)測做了大量研究。三和雅史等[8]認(rèn)為路基沉降數(shù)據(jù)服從Logistic分布，用概率分布特征值法建立了預(yù)測模型。Daniel[9]使用卡爾曼濾波方法對路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測分析。劉文豪等[10]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和雙曲線的混合模型對高速公路路基沉降預(yù)測建立了模型。陳善雄等[11]提出了一種路基沉降預(yù)測的三點(diǎn)修正指數(shù)曲線法，通過三點(diǎn)法修正灰色預(yù)測得指數(shù)曲線，從而提高預(yù)測精度。曾鼎文等[2]將優(yōu)化重構(gòu)背景值函數(shù)法用于湖南省高速公路路基沉降預(yù)測。陳亭[12]綜合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和雙曲線擬合法對蘭許高速軟土路基沉降預(yù)測做了研究。但是，目前建立的高速公路路基沉降預(yù)測算法大多對路基沉降的影響因素沒有全面考慮，或者算法冗雜不易實(shí)現(xiàn)，從而影響了預(yù)測精度。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，隨機(jī)變量都是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，故原始數(shù)據(jù)可以作為灰色量，將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加處理，所得數(shù)據(jù)將呈一定規(guī)律變化，從而可以進(jìn)行預(yù)測。這種算法可將復(fù)雜離亂的原始路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理成具有一定規(guī)律的序列。由于是針對沉降監(jiān)測結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，從而避免了分析路基沉降復(fù)雜的成因，同時算法簡潔清晰，可以保證一定的精度。但是，傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型本身存在一定局限性，從而對精度有所影響。本文在分析傳統(tǒng)灰色GM(1,1)求解過程的基礎(chǔ)之上，指出了GM(1,1)模型的不合理之處，并加以改進(jìn)，使該模型達(dá)到了更高的道路路基沉降預(yù)測精度。

1GM(1，1)模型分析及其改進(jìn)

X(0)={x(0)(k1),x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}定義為一預(yù)測對象的原始數(shù)據(jù)監(jiān)測采樣序列，若ki-ki-1恒定，則稱該序列為等間距序列。

為建立灰色預(yù)測模型，對該數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加：

X(1)={x(1)(k1),x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}

其中，

=X(1)(k-1)+X(0)(k)

(1)

那么，對X(1)可以建立白化微分方程：

(2)

其中，a和u分別為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)。這個方程的解為：

(3)

i=2,3,…,n

(4)

令

Z(1)(ki)=μX(1)(ki)+(1-μ)X(1)(ki-1)

(5)

那么，Z(1)(k)稱式(2)背景值；μ稱權(quán)系數(shù)。

通常，μ取0.5，那么，

(6)

那么，式(2)的離散化形式為：

X(1)(ki)-X(1)(ki-1)+aZ(1)(ki)=u

(7)

上式的最小二乘法求解結(jié)果為

(8)

Yn=(X(0)(k1),X(0)(k2),…,X(0)(kn)T)

求得a之后則易得u。

式(3)離散化有：

(9)

為求解常數(shù)c，需要選定一個初值，令

(10)

代入式(9)有

(11)

(12)

自此，X(0)的預(yù)測序列可全部求出。

通過分析灰色GM(1,1)模型及其求結(jié)過程，發(fā)現(xiàn)存在下列問題：

第一，在GM(1,1)模型中，背景值假定為一次累加序列的緊鄰等權(quán)生成，即取μ=0.5。但理論上卻無法證明μ=0.5時，此模型精度會達(dá)到最優(yōu)。

第二，將X(0)(k1)作為求解白化微分方程的初值，即假定擬合曲線一定會過初值所在的點(diǎn)。但是，按照最小二乘法原理，擬合曲線卻并不一定通過原始數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)，所以將原始數(shù)據(jù)中的第一點(diǎn)作為求解白化微分方程的初值是沒有意義的。

針對以上問題，對GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)，流程如圖1所示。

先取μ=0，代入式(7)有，

X(1)ki-X(1)(ki-1)+aX(1)(ki-1)=u

(13)

其最小二乘解：

(14)

Bu=0可由μ=0時代入式(5)求出。

(15)

最小。

圖1　改進(jìn)模型流程Fig.1 Process of the model improving

計算式(9)的累減式，可以得到實(shí)測序列的估計方程：

=c·(1-ea)·e-ak

(16)

令C=c(1-ea)，代入(9)式與(16)式中有：

(17)

(18)

令

將式(17)代入，有

(19)

(20)

此時，這個模型的精度最高。將C代入式(17)和(18)，即可求得預(yù)測值。再用式(15)計算出在該權(quán)重下的S值。

此后，在此基礎(chǔ)上增加一個大于0的微小增量，如以0.001為增量逐次增加直到μ=1為止。在這種情況下我們可以得到1 000個權(quán)值，取S最小者對應(yīng)的權(quán)值作為最佳權(quán)值。最終以此權(quán)值作為改進(jìn)GM(1，1)模型的權(quán)值。自此，最優(yōu)權(quán)值和初值已全部取得。

2預(yù)測模型的精度檢驗

設(shè)原始序列：

X(0)(k)={x(0)(k1),x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}

模型所生成的序列：

那么可以定義殘差序列：

ε(0)(k)=(ε(1),ε(2),…,ε(n))

指標(biāo)c越小越好，表明S1越大S2越小，表明原始數(shù)據(jù)方差大(離散程度大)而殘差方差小(即離散程度小)。指標(biāo)p越大越好，表明殘差與殘差均值之差小于給定值0.674 5S1的比較多。評價表如表1。

表1　精度評價表

3路基沉降預(yù)測結(jié)果算例分析

3.1　長湘高速k118+420路基沉降預(yù)測分析

以湖南省長湘高速k118+420處非等時間間隔路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例：采用YT-DG-0140單點(diǎn)沉降計(量程：400 mm，分辨率：0.1 mm)以沉降板法對該處路基沉降進(jìn)行監(jiān)測，監(jiān)測試驗均在天氣情況良好(晴，空氣濕度較小)的條件下進(jìn)行，監(jiān)測數(shù)據(jù)共14組，采集歷時397 d，對此作為歷史數(shù)據(jù)[2]進(jìn)行預(yù)測,取這14個實(shí)測路基沉降值與預(yù)測值對比，如圖2所示。

圖2　長湘高速k118+420路基沉降預(yù)測值實(shí)測值對比Fig.2 Comparison of prediction value and measuredvalue for subgrade settlement of Changxiang expressway

表2　長湘高速k118+420處2種算法

由圖2可見，本文算法所得路基沉降預(yù)測值和實(shí)際監(jiān)測值相比，較好地反映了路基沉降的發(fā)展趨勢。本文算法與文獻(xiàn)[2]算法的結(jié)果比較見表2，誤差均值由4.14%減少到2.12%。

3.2　壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降預(yù)測分析

取壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)[2]，同樣采用沉降板法，YT-DG-0140單點(diǎn)沉降計對該處路基沉降進(jìn)行監(jiān)測，試驗天氣條件均良好。以共10組，采集時間為378 d，取其實(shí)測值與預(yù)測值進(jìn)行對比，見圖3。

由圖可見，與長湘高速k118+420處類似，本算法達(dá)到了較好的預(yù)測精度。對比文獻(xiàn)[2]的算法，見表3，相對誤差均值由1.72%降低到1.38%。

圖3　壟茶高速k28+200左1.5 m路基沉降預(yù)測值與實(shí)測值對比Fig.3 Comparison of prediction value and measured value for subgrade settlement of Longcha expressway

表3　壟茶高速k28+200左1.5 m處2種算法

對長湘高速k118+420處和壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行精度檢驗，檢驗結(jié)果見表4，精度等級達(dá)到一級。

表4　精度檢驗結(jié)果

4結(jié)論

1)通過構(gòu)建基于背景值優(yōu)化和權(quán)值選擇的改進(jìn)GM(1，1)模型，對高速公路路基沉降進(jìn)行預(yù)測，考慮到路基沉降的發(fā)展趨勢和影響因素，與之前的預(yù)測算法相比，精度有所提高。

2)基于自動尋優(yōu)的思想，反復(fù)比對，提出了一種尋找最佳權(quán)值的算法。

3)對傳統(tǒng)的GM(1,1)模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種優(yōu)化的預(yù)測方法，對解決各領(lǐng)域內(nèi)廣泛存在預(yù)測擬問題具有一定的使用價值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 金亮星，李小剛.泊松曲線法在填海造地道路軟基沉降預(yù)測中的應(yīng)用[J].鐵道科學(xué)與工程學(xué)報，2013，10(5)：52-56.

JIN Liangxing, LI Xiaogang.Application of posson curve method in the prediction of road soft foundation settlement for land reclamation[J].Journal of Railway Science and Engineering.2013，10(5)：52-56.

[2] 曾鼎文，吳浩中.優(yōu)化的非等時距灰色模型在湖南高速公路路基沉降預(yù)測中的應(yīng)用[J].公路工程, 2013, 38(4): 269-272.

ZENG Dingwen, WU Haozhong.Application of optimization unequal time-interval gray model in forecast of subsidence of embankment settlement of expressway[J].Highway Engineering, 2013, 38(4): 269-272.

[3] 葉觀寶，司明強(qiáng)，趙建忠,等.高速公路路基沉的預(yù)測的新方法[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報，2003,31(5)：540-545.

YE Guanbao, SI Mingqiang, ZHAO Jianzhong, et al.New prediction method on final settlement on express highway[J].Journal of Tongji University, 2003, 31(5)：540-545.

[4] 楊濤，戴濟(jì)群，楊偉清.基于指數(shù)法的分級填筑路堤沉降預(yù)測方法研究[J].土木工程學(xué)報，2005,38(5)：92-95.

YANG Tao, DAI Jiqun, YANG Weiqing.Settlement prediction of stage constructed embankment on soft ground using the exponent fitting method[J].China Civil Engineering Journal, 2005, 38(5)：92-95.

[5] 谷江波.高速公路軟土路基沉降影響因素研究及計算分析研究[D].南京：河海大學(xué)，2005.

GU Jiangbo.Expressway soft subgrade settlement influencing factors analysis and calculation[D].Nanjing: Hehai University,2005.

[6] 周珊珊.高速公路軟土路基沉降影響因素研究及灰色預(yù)測[D].北京：中國地質(zhì)大學(xué),2010。

ZHOU Shanshan.Settlement of highway soft foundation factors and prediction[D].Beijing: China University of Geosciences,2010.

[7] 單珂.高速公路路基沉降影響因素研究[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,27(1)：37-40.

SHAN Ke.Highway embankment settlement influencing factors[J].Journal of Inner Mongolia University for Nationalities, 2012,27(1)：37-40.

[8] 三和雅史，內(nèi)田雅夫．軌道狀態(tài)推移モデルの設(shè)と 軌道保守施策決定法[J].鉄道研報,1996(4):7-12.

Sanwa Masashi, Vchida Masao.Setting track state trasition model and the delermining mettod of track maintenance measures[J].Rtri Report, 1996(4):7-12.

[9] Danel K.Optimal estimation and rail tracking analysis[D].Amherst: University of Massachusets,2005.

[10] 劉文豪，黎曦，胡伍生.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和雙曲線混合模型的高速公路沉降預(yù)測[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，43(增刊)：380-383.

LIU Wenhao, LI Xi, HU Wusheng.Highway subsidence prediction based on neural network and hyperbolic hybrid model[J].Journal of southeast university (Natural science Edition), 2013,43(Suppl)：380-383.

[11] 陳善雄，王星運(yùn)，許錫昌,等.路基沉降預(yù)測的三點(diǎn)修正法[J].巖土力學(xué)，2011,32(11)：3355-3360.

CHEN Shanxiong, WANG Xingyun, XU Xicahng et al.Three-point modified exponential curve method for predicting subgrade settlements[J].Rock and Soil Mechanics, 2011,32(11)：3355-3360.

[12] 陳亭.綜合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法及雙曲線擬合法預(yù)測軟基沉降[J].路基工程，2008(5)：151-153.

CHEN Ting.Integrated neural network and hyperbolic fitting soft ground settlement prediction[J].Subgrade, 2008(5)：151-153.

(編輯蔣學(xué)東)

Prediction of expressway subgrade settlement based on animproved gray prediction model

LIU Jianwei1，2, ZHONG Zexiang1

(1.Changsha Planning & Design Institute Co.,Ltd, Changsha 410007, China；

2.School of Givil Engineering, Gentral South University, Changsha 410075, China)

Abstract:The effective prediction of the development trend of expressway subgrade settlement can improve road maintenance efficiency and reduce the accident ratio.According to the subgrade settlement factors and features, this paper presents an improved forecasting method.The automatic optimization method was used to chose the background value and the least square theory is used to improve the initial value.In the prediction test of two examples, the results indicate that the means of the relative errors are 2.12% and 1.38%, the ratios of mean-square are 0.137 and 0.146, and the precision grade is I.

Key words：subgrade settlement; improved; gray prediction

通訊作者：劉建威(1979-)，男，湖南雙峰人，高級工程師，從事道路與橋梁設(shè)計研究；E-mail：jdf199198@163.com

收稿日期：2015-04-09

中圖分類號：U440

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-7029(2015)06-1369-05