王朝祥

(北京市第八十中學　北京　100102)

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圖像變換在物理問題中的應用*
——《物理教師》2014年第7期兩篇文章的補充探討

王朝祥

(北京市第八十中學北京100102)

*本文是北京市教育科學“十二五”規(guī)劃課題“高中創(chuàng)新實驗班物理與數(shù)學課程整合實踐研究”成果之一，課題編號DBB15072

摘 要：結合實例，對圖像變換進行了分類及解析.討論了其在物理解題中的應用.

關鍵詞：圖像變換解題應用

利用圖像描述物理規(guī)律、分析解決實際問題，是中學物理中常用的研究方法. 圖像問題是物理高考命題的重要內容，能有效地考查學生運用數(shù)學方法處理物理問題的能力(近幾年的高考考試說明中表述為推理能力、應用能力、探究能力).

在《物理教師》2014年第7期中，分別就2013年、2014年北京物理高考實驗題的第(5)小題的圖像問題進行分析，提出了數(shù)形結合、求導、特殊值法、定義域法等不同的解決途徑，使讀者受益匪淺. 仔細分析這兩個問題，寫出圖像的函數(shù)解析式后，筆者體會到二者有共同的解決方法——圖像變換，特與讀者分享.

【例1】[2013年北京卷第21題第(5)小題]某同學通過實驗測定一個阻值約為5Ω的電阻Rx的阻值，電路圖如圖1所示，實驗中所用電表的參數(shù)為：電流表(0～0.6A，內阻約0.125Ω)、電壓表(0～3V，內阻約3kΩ).

圖1

在不損壞電表的前提下，將滑動變阻器滑片P從一端滑向另一端，隨滑片P移動距離x的增加，被測電阻Rx兩端的電壓U也隨之增加，下列反映U-x關系的示意圖中正確的是

圖2

分析：由題意得知，滑片由右向左滑動，電壓表示數(shù)增大. 滑動變阻器總長度記為l，忽略電表對電路的影響，以滑片移動的距離x為自變量(定義域：x>0)，被測電阻Rx兩端的電壓U=f(x)的解析式可表述為

學生在高中數(shù)學中學過：函數(shù)y=f(-x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關于y軸對稱；函數(shù)y=f(x-a)的圖像可以由函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移a個單位得到(a>0). 據(jù)此，本題中U 隨x變化的圖像可以按照如下步驟獲得：

總結：本題考查學生運用數(shù)學知識分析物理問題的能力，解決思路可概括為“寫出函數(shù)解析式→圖像變換”兩個步驟，根據(jù)歐姆定律不難寫出U=f(x)的解析式，再經(jīng)過圖像的對稱、平移變換等操作將函數(shù)U=f(x)的圖像與常見的反比例函數(shù)圖像聯(lián)系起來，問題迎刃而解.

數(shù)學中常見的圖像變換有對稱、平移、伸縮變換等，規(guī)則如下：

(1)對稱變換

函數(shù)y=f(-x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關于y軸對稱；

函數(shù)y=-f(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關于x軸對稱.

(2)平移變換(a>0，b>0)

函數(shù)y=f(x±a)的圖像由函數(shù)y=f(x)的圖像向左或向右平移a個單位得到；

函數(shù)y=f(x)±b的圖像由函數(shù)y=f(x)的圖像向上或向下平移b個單位得到；

(3)伸縮變換(A>0,ω>0)

把y=f(x)的圖像上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)y=Af(x)的圖像；

【例2】[2014年北京卷第21題第(5)小題]利用電流表和電壓表測定一節(jié)干電池的電動勢和內電阻，實驗電路如圖3所示，電壓表的量程為0～3V，電流表的量程為0～0.6A.

圖3

實驗中，隨著滑動變阻器滑片的移動，電壓表的示數(shù)U及干電池的輸出功率P都會發(fā)生變化，圖4的各示意圖中正確反映P-U關系的是

圖4

解析：本題延續(xù)2013年實驗題的命題意圖，繼續(xù)考查學生對物理圖像的理解能力、應用能力，同樣可以采用“寫出函數(shù)解析式→圖像變換”的解決步驟.

電源的電動勢和內阻分別記為E和r，忽略電表對電路的影響，以電壓表的示數(shù)U為自變量(定義域：U>0)，電源輸出功率P的解析式P=f(U)可以寫為

綜上可見，這兩個問題都是以電路的動態(tài)變化為切入點，考查學生對物理圖像的理解和應用，對學生的推理能力、探究能力有較高要求.

根據(jù)北京教育考試院對全市學生的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，2013年第21題第(5)題的難度系數(shù)為0.33，2014年第21題第(5)題的難度系數(shù)為0.16，得分率都比較低. 這說明學生利用數(shù)學知識(函數(shù)圖像、數(shù)列、極值問題等)處理物理問題的能力有待提升，物理教師在日常教學中應該加強這方面的知識滲透和能力培養(yǎng).

關于物理圖像在高中物理中應用的教學設計，筆者建議從如下幾個方面入手：

(1)按照“力、熱、電、光、原”等模塊梳理高中物理中常用的圖像，然后按照一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等類別進行分類歸納，逐步培養(yǎng)學生“識圖→繪圖→用圖”的能力.

(2)識別圖像時，要明確圖像中橫軸、縱軸所代表的物理量及其單位，挖掘圖像中“點、線、面、截距、斜率”的物理意義，必要時寫出函數(shù)解析式.

(3)關注一次函數(shù)圖像在測定性實驗中的應用

一次函數(shù)的圖像是一條傾斜直線，其截距、斜率都具有明顯的物理意義，能直觀地揭示自變量與因變量之間的函數(shù)關系. 因此，測定性實驗中常用一次函數(shù)圖像處理實驗數(shù)據(jù).

有些物理量之間的關系不是線性關系，可以通過坐標變換轉換成一次函數(shù)關系，從而使問題得到很好地解決，這種設計思想可以歸納為“化曲為直”. 常見的轉換方法如表1.

表1　常見轉換方法

(4)對于較為復雜的物理圖像，可以嘗試寫出其函數(shù)解析式，再通過平移、伸縮、對稱等圖像變換，轉化為常見的函數(shù)圖像，從而簡化問題.

2013年、2014年高考北京物理兩道實驗題，已有同行用幾種不同的方法做了很好的處理.筆者應用圖像變換對以上兩道題做了補充探討，所有這些做法對提高學生的綜合能力，提高教師的教學水平無疑都是十分必要和有益的.

參 考 文 獻

1汪海林.這根“U-x”圖線該怎樣彎曲.物理教師，2014(7)：77～78

2崔琰，李筱娜.2014年北京物理高考實驗題的3種解法.物理教師，2014(7)：79

收稿日期：(2015-08-23)