宿非凡　任煒東

(中國(guó)科學(xué)院物理研究所　北京　100080)

任煒東

(北京中學(xué)　北京　100028)

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從沙堆到宇宙*
——一種物理學(xué)的新視角

宿非凡任煒東

(中國(guó)科學(xué)院物理研究所北京100080)

任煒東

(北京中學(xué)北京100028)

*系首都師范大學(xué)“北京市中小學(xué)特級(jí)教師研修工作室”項(xiàng)目的研究成果之一.

摘 要：以微觀-宏觀-巨觀-微觀為順序，以生活中常見(jiàn)的沙堆為主線從量子力學(xué)中 常見(jiàn)的一維可解勢(shì)出發(fā)研究粒子在均勻的引力場(chǎng)中的情況，并從此得到啟發(fā)回到經(jīng)典物理范疇內(nèi)，用Newton力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的方法研究宏觀的沙堆問(wèn)題，最終由沙堆問(wèn)題類(lèi)比、延伸到整個(gè)宇宙的Standard Model 理論和Higgs Boson理論，從沙堆到宇宙的分析表明, 物理學(xué)絕對(duì)不是一塊一塊“量子化”的體系；而是存在高度內(nèi)在聯(lián)系、渾然一體的理論體系，儼然呈現(xiàn)出物理學(xué)整體的和諧之美．

關(guān)鍵詞：物理學(xué)Newton 力學(xué)量子力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)

考慮一個(gè)沙堆，其處于定域空間內(nèi)且環(huán)境絕對(duì)理想，除重力之外不計(jì)任何外界影響，沙子之間只存在滑動(dòng)沒(méi)有滾動(dòng)，那么如果極其緩慢的增大沙堆體積(甚至一粒一粒的增加)而不是把沙子快速大量的倒撒在某一區(qū)域，沙堆能夠保持幾何相似的均勻增大嗎？沙堆將總會(huì)是錐體嗎？

1量子力學(xué)的一維引力勢(shì)場(chǎng)

在量子力學(xué)(非相對(duì)論性理論)之中，能?chē)?yán)格求解的勢(shì)場(chǎng)不多．在一維定態(tài)的情況下，比較重要的能?chē)?yán)格求解出束縛態(tài)能級(jí)和波函數(shù)的勢(shì)場(chǎng)有一維δ勢(shì)、一維方勢(shì)阱、一維諧振子和引力勢(shì)等．考慮經(jīng)典理論中最常見(jiàn)的引力勢(shì)場(chǎng)

(1)

相應(yīng)的定域邊界條件是

ψ(0)=0ψ(∞)=0

(2)

引入數(shù)學(xué)變換

其中l(wèi)為特征長(zhǎng)度，則相應(yīng)的Schr?dinger方程為

(3)

(4)

相應(yīng)的能量本征值λ為Airy函數(shù)的零點(diǎn)，由

Ai(-λ)=0

給出．

當(dāng)Airy函數(shù)的階數(shù)很大時(shí)，相應(yīng)的能量本征值可以有下式給定

(5)

在量子力學(xué)中可以嚴(yán)格求解一維引力勢(shì)這一事實(shí)提示我們，量子全同體系在均勻場(chǎng)中存在著可以解析表達(dá)的性質(zhì)，其具有實(shí)際的統(tǒng)計(jì)意義，利用統(tǒng)計(jì)理論可以清晰地宏觀掌握整個(gè)體系的性質(zhì)；而且與一般認(rèn)為統(tǒng)計(jì)方法常用于熱力學(xué)體系的觀點(diǎn)不同，在純力學(xué)體系中統(tǒng)計(jì)方法也具有重要的意義．

2經(jīng)典理論的Newton力學(xué)與統(tǒng)計(jì)力學(xué)

在我們一般生活的空時(shí)尺度之中，常用的是經(jīng)典低能近似，即令Plank常量趨于零且光速趨于無(wú)窮大．在這個(gè)近似之下，Newton力學(xué)可以很好地表述物理規(guī)律．

考慮一個(gè)沙堆，其處于定域空間內(nèi)且環(huán)境絕對(duì)理想，除重力之外不計(jì)任何外界影響，沙子之間只存在滑動(dòng)沒(méi)有滾動(dòng)．應(yīng)用牛頓力學(xué)來(lái)研究每一粒沙子的動(dòng)力學(xué)特征，在這種情況之下不失一般性的，可以認(rèn)為每粒沙子都完全相同但是可以編號(hào)(即非量子全同)．設(shè)每粒沙子為均勻球體其半徑為R，沙與沙之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，沙子在沙堆上運(yùn)動(dòng)的速度為v，沙堆的初始高度為h0．

可以想象，如果極其緩慢地增大沙堆體積(甚至一粒一粒的增加)，而不是把沙子快速大量的倒撒在某一區(qū)域應(yīng)該可以保持沙堆幾何相似的均勻增大．

當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)沙堆新增的沙子個(gè)數(shù)ν(弛豫條件)為

(6)

即整個(gè)體系演化足夠緩慢時(shí)，可以認(rèn)為每一粒沙子都始終處于平衡態(tài)，整個(gè)沙堆體積將保持幾何相似的均勻變大．從弛豫條件可以看出，如果要維持沙堆幾何均勻變大必須使單位時(shí)間內(nèi)沙堆新增的沙子數(shù)變少，即隨著沙堆的增大單位時(shí)間內(nèi)增加沙子的粒數(shù)要相應(yīng)的減小．

如果取μ=0.06，v=10m·s，R=0.1mm從上面的討論可以知道，如果要使一個(gè)h0=1m沙堆幾何相似的增加Δh=1m，需要2×107s(約241天),而將沙堆壘高到h=6m則需要6×105年！

這個(gè)結(jié)果充分說(shuō)明，在實(shí)際的生產(chǎn)生活中不可能使沙堆保持幾何相似的均勻增大．那么，實(shí)際上沙堆會(huì)怎樣增大體積，在這個(gè)問(wèn)題上從本文第1節(jié)的量子一維引力場(chǎng)得到啟發(fā)，對(duì)于數(shù)量很大的純力學(xué)體系，也可以應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法．故以下應(yīng)用統(tǒng)計(jì)力學(xué)和熵增加原理來(lái)對(duì)這個(gè)問(wèn)題加以分析．

為研究實(shí)際情況下沙堆的狀態(tài)，設(shè)想已經(jīng)存在一個(gè)沙堆，此沙堆處于定域的空間內(nèi)，如果在整個(gè)沙堆中考慮一個(gè)宏觀足夠小，微觀足夠大的體系．類(lèi)比能帶理論的建立過(guò)程且根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以將這個(gè)體系與周?chē)渌w系的相互作用等效視為零．由于整個(gè)沙堆處于定域空間內(nèi)，故可以將沙堆的體積微元為一個(gè)個(gè)“方箱”，每個(gè)方箱相當(dāng)于一個(gè)?？臻g，可以選取?？臻g使得上述每一個(gè)宏觀足夠小，微觀足夠大的體系都恰好占據(jù)一個(gè)?？臻g．

這樣一來(lái)，可以將沙堆視為一個(gè)含有N個(gè)沙粒的理想體系，被封閉于體積V中，在體積V中劃出一個(gè)小的Γ空間其體積V0．則求解V0中含有n個(gè)沙粒的概率以及概率最大的條件，則從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的角度而言這種最概然情況就是實(shí)際情況中沙堆應(yīng)具有的狀態(tài)．

這個(gè)概率可以表示為

(7)

利用Stirling公式可將上式表示為

lnWN(n)=NlnN-N-nlnn+

n-(N-n)ln(N-n)+N-n+

再利用極值條件可得

(8)

式(8)表明，沙粒在體積V中均勻分布時(shí)概率最大．均勻分布即平均分布是最概然分布．也就是說(shuō)，在實(shí)際情況中沙堆最終自發(fā)地傾向于充滿(mǎn)整個(gè)定域空間．也就是說(shuō)，如果我們將沙子倒在比沙子總體積略小的定域空間里，沙子最終將不會(huì)是錐體而是與定域空間形狀相同，這與實(shí)際情況符合得很好．

3StandardModel與我們的宇宙

為什么沙堆會(huì)自發(fā)地填充整個(gè)定域空間？為什么保持其幾何相似變大是不可能的？從微觀的量子力學(xué)到宏觀的經(jīng)典力學(xué)再到巨觀的宇宙，物理學(xué)家相信這都是由一個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)律所支配的．

大爆炸理論告訴我們，宇宙在初始時(shí)刻有一定的物質(zhì)，隨著時(shí)間的演化這些物質(zhì)就將像沙粒一樣自發(fā)的充滿(mǎn)整個(gè)空間且廣義相對(duì)論證明宇宙不是以幾何相似的均勻增大．我們前面也證明了沙堆有著類(lèi)似的性質(zhì)，這說(shuō)明宇宙有著和沙堆遵守著相同的物理法則．

的確，在某種層面上思考上面關(guān)于沙堆的討論有益于理解我們的宇宙．StandardModel告訴我們宇宙里只有處處都有“沙?！辈庞锌梢园l(fā)生物理過(guò)程的空間和時(shí)間．空間是物質(zhì)的，沒(méi)有物質(zhì)空間將毫無(wú)意義，就像沒(méi)有沙粒的沙堆即將不是沙堆一樣．只不過(guò)這里的“沙?！笔浅叨葮O小的粒子，這些小粒子組成了各種各樣的物理場(chǎng)又以對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺的形式形成了質(zhì)量、電荷等基本物理量．

舉例而言，如果沙堆內(nèi)部沙粒完全均勻，我們?cè)谄渲腥魏挝恢脤⒉粫?huì)感覺(jué)到有不同(各向同性)；但是，如果因?yàn)榇嬖跀_動(dòng)(例如有一滴水被放入沙堆里)有一些沙子打破了這種高度的對(duì)稱(chēng)聚集到了一起，我們就會(huì)感覺(jué)到這些聚集起來(lái)的沙粒和其他沙粒有明顯的不同．在我們的宇宙里這些“沙?！本褪荋iggsBoson，而StandardModel告訴我們質(zhì)量正是由于上面的機(jī)制而出現(xiàn)的．這些組成質(zhì)量的“沙?！笨倳?huì)以極快的速度自發(fā)地保持均勻分布，這也是很難觀察到HiggsBoson的原因．

參 考 文 獻(xiàn)

1Landau.Non-relativisticquantummechanics,2008.Beijing:HigherEducationPresssixthedition(inChinese). 40～75

2Peskin.AnIntroductiontoQuantumFieldTheory,2006.NewYork:WestwiewPress.689～728

收稿日期：(2015-06-11)