多種風(fēng)險下研發(fā)項(xiàng)目投資決策博弈分析

曹博洋，姜明輝

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

摘要：研發(fā)項(xiàng)目代表了高新技術(shù)企業(yè)的核心競爭力，但是其投資和研發(fā)的過程所包含的多種風(fēng)險可能會造成企業(yè)經(jīng)濟(jì)上的損失。為了保證競爭優(yōu)勢和收益最大化，企業(yè)投資前需要對項(xiàng)目的估值非常的精確，以便在競爭中做出最優(yōu)投資決策。本文以市場中的兩個競爭性企業(yè)為例，利用歐式復(fù)合期權(quán)理論與博弈論，量化了技術(shù)風(fēng)險、商業(yè)風(fēng)險和突發(fā)風(fēng)險等不確定性，在經(jīng)過了信息披露過程之后，分析了市場中企業(yè)自身和競爭者的投資決策，建立相應(yīng)的研發(fā)項(xiàng)目投資決策數(shù)學(xué)模型，對企業(yè)的研發(fā)項(xiàng)目投資時機(jī)和決策收益進(jìn)行評估，通過博弈得到納什均衡下的企業(yè)最優(yōu)投資決策。

關(guān)鍵詞：投資決策收益；最優(yōu)決策；實(shí)物期權(quán)；博弈；研發(fā)項(xiàng)目；風(fēng)險

收稿日期：2014-06-23

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70871030)

作者簡介：曹博洋(1982-)，男，北京人，博士研究生，研究方向?yàn)轱L(fēng)險管理和實(shí)物期權(quán)；姜明輝(1967-)，男，黑龍江牡丹江人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閷?shí)物期權(quán)、產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)和個人信用評估。

中圖分類號：F224. 32文章標(biāo)識碼：A

R&D Project Investment Decision Game Analysis Under A Variety of Risks

CAO Bo-yang, JIANG Ming-hui

(SchoolofEconomicsandManagement,HarbinInstituteofTechnology,Haerbin150001,China)

Abstract:R&D projects represent the core competitiveness of the high-tech enterprises, and there are a variety of risks in investment and research process. In order to keep competitive advantages and maximize the benefits, it needs to be very accurate in valuation of the projects for the optimal investment decisions in the competition before investment. By utilizing the European option value and game theory, quantified technical risk, economic risk and sudden risks, and combined with the jump-diffusion process and information revelation process, after analyzing investment decisions of enterprises themselves and competitors in the market, this paper establishes the corresponding R&D projects investment decision payoff mathematics model which can assess the timing and payoffs of the investment for two enterprises and obtain the optimal investment decisions after Nash equilibrium.

Key words:investment decision-making payoffs; optimal investment decisions; real options; game; R&D projects; risks

0引言

在全球化經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，企業(yè)競爭焦點(diǎn)已經(jīng)從產(chǎn)品階段前移至研發(fā)階段，因此企業(yè)未來的市場地位很大程度上是由于今天產(chǎn)生的競爭性投資機(jī)會所決定。對于研發(fā)項(xiàng)目來說，風(fēng)險來自于外部市場波動性、項(xiàng)目本身所具有的復(fù)雜性、企業(yè)自身的研發(fā)能力和整體實(shí)力有限性，而經(jīng)濟(jì)危機(jī)和政治因素也都可以為研發(fā)項(xiàng)目帶來突發(fā)性的風(fēng)險。由于這些風(fēng)險的存在，投資者預(yù)先無法確定具體的投資時機(jī)，導(dǎo)致研發(fā)項(xiàng)目收益達(dá)不到預(yù)期目標(biāo)，因此準(zhǔn)確地分析研發(fā)項(xiàng)目的投資決策對于企業(yè)的決策者來說變得尤為重要。

典型的研發(fā)項(xiàng)目投資具有：高風(fēng)險性、不可逆性、可延遲性和階段性。研發(fā)項(xiàng)目投資可以出現(xiàn)在很多類型的企業(yè)中，例如在生物醫(yī)藥企業(yè)中，許多新型醫(yī)藥在無現(xiàn)金流出的情況下，經(jīng)過很多年的實(shí)驗(yàn)和測試，藥品才能上市。根據(jù)傳統(tǒng)的投資決策方法，如NPV(Net Present Value)方法，單純依靠對現(xiàn)金流的計(jì)算無法反映研發(fā)項(xiàng)目投資決策的多種風(fēng)險，因此經(jīng)常低估并錯誤地拒絕有價值的投資機(jī)會，導(dǎo)致研發(fā)項(xiàng)目投資不足和企業(yè)競爭優(yōu)勢地位受到損失。然而根據(jù)商業(yè)經(jīng)驗(yàn)，這類的投資機(jī)會顯然是有價值的。實(shí)物期權(quán)理論作為金融期權(quán)理論在實(shí)物投資領(lǐng)域上的擴(kuò)展，能夠充分考慮風(fēng)險的價值，并認(rèn)為擁有在未來某時間段內(nèi)進(jìn)行投資或放棄投資的權(quán)利是有價值的，這能夠恰當(dāng)?shù)胤从惩顿Y所具有的策略柔性，從而可以作為風(fēng)險分析與管理決策工具，用于實(shí)物資產(chǎn)定價以及投資策略的分析與評估。當(dāng)內(nèi)在或外在條件的變化不利于投資時，企業(yè)可以選擇放棄該投資機(jī)會，其所損失的不過是不可逆的投資成本。等待而不立即進(jìn)行投資的研發(fā)項(xiàng)目期權(quán)價值主要表現(xiàn)在，隨著相關(guān)研發(fā)項(xiàng)目投資風(fēng)險信息的逐步揭示，企業(yè)可以根據(jù)其投資戰(zhàn)略需要而進(jìn)行積極的研發(fā)項(xiàng)目投資管理，從而把握有利的投資機(jī)會。相比于普通項(xiàng)目， 研發(fā)項(xiàng)目還具有明顯的階段性特征，每個階段有明確的階段目標(biāo)和工作任務(wù)，并且每個階段任務(wù)的開始都和上一個階段的工作成果相關(guān)聯(lián)。研發(fā)項(xiàng)目投資決策和實(shí)物期權(quán)理論的結(jié)合可將研發(fā)項(xiàng)目的投資機(jī)會視為一個分階段的、持續(xù)受投資環(huán)境條件變化影響的動態(tài)過程，并可以把整個投資分解為數(shù)個決策點(diǎn)，在每一個點(diǎn)上決策者可以根據(jù)變化的環(huán)境進(jìn)行決策，其中企業(yè)決策者處于相對主動的地位。

當(dāng)企業(yè)在競爭的市場條件下進(jìn)行投資對，由于競爭各方的收益是相互牽制的，因此必須在投資決策過程中研究自身的競爭優(yōu)勢，以及在之后過程中競爭者的投資決策和競爭者進(jìn)入后的對企業(yè)自身產(chǎn)生的影響。運(yùn)用期權(quán)博弈的方法可以對項(xiàng)目投資時機(jī)進(jìn)行戰(zhàn)略性的選擇，并且可以實(shí)現(xiàn)競爭與風(fēng)險雙重情形下的企業(yè)收益最大化目標(biāo)，因此逐漸成為研發(fā)項(xiàng)目投資決策評價的新興適用方法，備受國內(nèi)外研究者關(guān)注。

Margrabe[1]定義了實(shí)物期權(quán)中的期權(quán)是這樣一種特殊的合約，它賦予持有者在給定的期限內(nèi)，以一種風(fēng)險資產(chǎn)(交付性資產(chǎn))交換另一種風(fēng)險資產(chǎn)(期權(quán)性資產(chǎn))的權(quán)利。McDonald 和 Siegel[2]模型評估了有分紅行為的歐式期權(quán)，給出了期權(quán)的一個應(yīng)用。Armada等[3]和Paxson[4]修正了Carr[5]的美式期權(quán)模型，在不增加過多數(shù)學(xué)計(jì)算的同時能計(jì)算出更精確的美式期權(quán)價值。Pennings和Sereno[6]把復(fù)合實(shí)物期權(quán)里加入了跳躍的因素，能夠?qū)ν话l(fā)風(fēng)險進(jìn)行評估，但是對研發(fā)項(xiàng)目中的其他風(fēng)險沒有討論。Ghosh 和Troutt[7]發(fā)展了更復(fù)雜的多階段復(fù)合式期權(quán)的模型，但是對于應(yīng)用于實(shí)際還有很大距離。Thijssen等[8]僅定性研究了不確定性條件下的投資決策博弈。Martzoukos和Zacharias[9]研究了企業(yè)的溢出效應(yīng)，一個企業(yè)研發(fā)項(xiàng)目的期權(quán)價值和投資決策受到其他企業(yè)研發(fā)成功與否的影響。Koussis等[10]對研發(fā)項(xiàng)目中的跳躍進(jìn)行估值，并發(fā)現(xiàn)有高頻率的競爭威脅并有較低波動率的項(xiàng)目價值更大。

在國內(nèi)，用實(shí)物期權(quán)的方法進(jìn)行投資決策分析成為最新的研究熱點(diǎn)，使得期權(quán)持有者能夠在軟件業(yè)、生物制藥業(yè)、以及石油工業(yè)等的研發(fā)項(xiàng)目中制定更好的決策來減低風(fēng)險。馮晨嬌， 劉維奇[11]利用不同的風(fēng)險波動率和多階段的復(fù)合期權(quán)對研發(fā)項(xiàng)目進(jìn)行簡單的計(jì)算。田季員等[12]建立了基于跳躍-擴(kuò)散過程的研發(fā)項(xiàng)目投資決策模型，并對各參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。夏軼群， 陳俊芳[13]對研發(fā)項(xiàng)目投資時機(jī)的期權(quán)進(jìn)行博弈找到將投資臨界點(diǎn)，但只進(jìn)行了定性分析。陳濤等[14]對軟件的開發(fā)過程運(yùn)用復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型評估，很好的刻畫了風(fēng)險驅(qū)動的特征。楊金強(qiáng)和楊招軍[15]通過蒙特卡洛模擬， 給出了投資者在完全信息和部分信息下的動態(tài)決策差異。谷曉燕等[16]分析了研發(fā)項(xiàng)目壽命期內(nèi)面臨的多種風(fēng)險對研發(fā)項(xiàng)目潛在現(xiàn)金流的影響， 并重點(diǎn)研究了一些重點(diǎn)參數(shù)對項(xiàng)目價值的影響，但對于項(xiàng)目價值本身并未討論。張新華等[17]對實(shí)物期權(quán)模型求解基礎(chǔ)上進(jìn)行了數(shù)值仿真分析來進(jìn)行投資決策。何沐文等[18]建立基于多隨機(jī)變量的自然資源開發(fā)項(xiàng)目實(shí)物期權(quán)投資評價模型，并應(yīng)用Black-Scholes簡單歐式期權(quán)結(jié)合鞅過程給出了模型的解析解。吳崇，胡漢輝[19]構(gòu)建了不完全競爭市場的投資策略決策模型，根據(jù)均衡定性分析，研究了先后動優(yōu)勢以及內(nèi)外生環(huán)境不確定性對企業(yè)間投資時機(jī)決策的影響。

目前，國內(nèi)外研發(fā)項(xiàng)目投資決策理論的研究很多還只集中在對實(shí)物期權(quán)參數(shù)的定性分析和微分方程的推導(dǎo)上，并未把期權(quán)價值應(yīng)用在企業(yè)對研發(fā)項(xiàng)目投資決策中，這對于現(xiàn)實(shí)中企業(yè)投資決策的幫助有限。由于實(shí)物期權(quán)的金融屬性決定其本身是可以進(jìn)行買賣的，因此在研發(fā)項(xiàng)目的投資以及轉(zhuǎn)讓和收購中，都需要量化的期權(quán)價值作為參考。而實(shí)物期權(quán)方法在不考慮其他市場參與者戰(zhàn)略影響的情況下，解決了研發(fā)項(xiàng)目價值量化的問題，但是對于競爭者的存在和多種風(fēng)險導(dǎo)致的風(fēng)險估值不足，往往造成企業(yè)對研發(fā)項(xiàng)目價值和收益的計(jì)算不準(zhǔn)確。本文站在企業(yè)投資的角度，一方面考慮市場中競爭者所帶來影響的同時，另一方面對研發(fā)項(xiàng)目的多種風(fēng)險進(jìn)行量化分析和評估，并根據(jù)企業(yè)可能做出的投資決策，構(gòu)建了多種不確定條件下的研發(fā)項(xiàng)目投資決策模型，來得到更加精確的實(shí)物期權(quán)價值和量化的投資決策收益，最后通過博弈論與實(shí)物期權(quán)理論的結(jié)合解決了競爭者行為和多種風(fēng)險影響下的企業(yè)最優(yōu)投資決策問題。

1研發(fā)項(xiàng)目投資決策基本模型

1.1基于歐式期權(quán)的研發(fā)項(xiàng)目投資決策模型

根據(jù)Margrabe[1]定義，歐式期權(quán)持有者可在T時刻以資產(chǎn)I交換資產(chǎn)V，而在研發(fā)項(xiàng)目中的解釋就是在時刻T投資I得到了項(xiàng)目價值V，這個投資機(jī)會可以被作為歐式期權(quán)。Geske[20]推導(dǎo)了歐式期權(quán)價值模型，刻畫了經(jīng)濟(jì)風(fēng)險較高的研發(fā)項(xiàng)目價值。假定V和I都遵循幾何布朗運(yùn)動，歐式期權(quán)模型為：

s=VN1(d1(K,T))-Ie-rTN1(d2(K,T))

(1)

考慮到研發(fā)項(xiàng)目投資可以分階段， 而每個階段之間是因果的關(guān)系，并且互相嵌套，因此對研發(fā)項(xiàng)目估值時可以應(yīng)用Carr[5]與Paxon[4]推導(dǎo)的兩階段復(fù)合歐式期權(quán)模型：

(2)

1.2包含跳躍-擴(kuò)散過程的研發(fā)項(xiàng)目投資決策模型

在競爭性的研發(fā)項(xiàng)目投資環(huán)境中，項(xiàng)目的期權(quán)價值取決于多種來源的不確定性，如突發(fā)風(fēng)險、經(jīng)濟(jì)風(fēng)險和技術(shù)風(fēng)險，這些因素會影響到各競爭中的企業(yè)收益和投資決策的制定。突發(fā)風(fēng)險可用跳躍-擴(kuò)散過程來描述。較早研究實(shí)物期權(quán)跳躍-擴(kuò)散過程的是Merton[21]，其認(rèn)為跳躍-擴(kuò)散過程在研發(fā)項(xiàng)目中主要有兩個不確定性的來源：擴(kuò)散風(fēng)險σdzt，包括正的和負(fù)的隨機(jī)波動；突發(fā)事件dqt，主要描述了市場價值V的突然增加或減少。平均來說，在時間間隔[0,t]中有λt次跳躍，且跳躍的次數(shù)是獨(dú)立于跳躍的大小，也獨(dú)立于其他的不確定性。對于研發(fā)項(xiàng)目投資，更適合采用簡化的跳躍-擴(kuò)散過程模型，在時間間隔[0,t]中的跳躍次數(shù)既可以為0，也可為1，跳躍-擴(kuò)散模型為：

(3)

其中μ為對項(xiàng)目的預(yù)期收益率，zt是一個標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動過程，φ是泊松隨機(jī)變量，用來描述跳躍過程。Pennings和Sereno[6]認(rèn)為跳躍過程導(dǎo)致兩個結(jié)果，一種是有價值，一種價值為0，可表示為：

假定企業(yè)是風(fēng)險中性的，在未來任何時刻的項(xiàng)目價值都有這兩種可能的情況，而該項(xiàng)目的最終價值應(yīng)為這兩種可能性下的期望值的和：

E=E[Vt(nt=1)]+E[Vt(nt=0)]=0+Ve(r+λ)t=Ve(r+λ)t

(4)

在歐式期權(quán)中，研發(fā)項(xiàng)目在時刻T的收益為max{Vt-I,0}，本文把歐式期權(quán)價值與跳躍到零的風(fēng)險問題的計(jì)算簡化為歐式期權(quán)價值與折現(xiàn)率問題的計(jì)算：

(5)

由此可得歐式期權(quán)定價模型為：

s(V,I,T) =e-λT(VeλTN1(d1(K,T))-Ie-rTN1(d2(K,T)))

=VN1(d1(K,T))-Ie-(r+λ)TN1(d2(K,T))

(6)

同樣，本文把復(fù)合歐式期權(quán)計(jì)算歸結(jié)為：c(s(V,I,T),I1,t1)=e-rt1e-λt1E[max{s(V,I,T)-I1,0}]。

由此可得包含了跳躍-擴(kuò)散過程的兩階段復(fù)合期權(quán)模型：

(7)

2基于競爭性的研發(fā)項(xiàng)目投資決策收益分析

當(dāng)企業(yè)在競爭的市場條件下進(jìn)行投資時，由于競爭各方的收益是相互牽制的，因此必須在投資決策過程中研究企業(yè)自身的競爭優(yōu)勢和競爭者的行為，以及在之后過程中的競爭性行為對企業(yè)自身和其他競爭者產(chǎn)生的影響。在研發(fā)項(xiàng)目動態(tài)競爭中，市場上的競爭者通常可分為先進(jìn)入市場的先行者企業(yè)和后進(jìn)入市場的跟隨者企業(yè)，跟隨者雖然常常跟隨在先行者后面進(jìn)行決策，但是并不代表先行者無往不利。反而跟隨者由于擁有先行者的研發(fā)信息披露，最終贏得市場的例子并不少見。由于整個市場的大小在一定時間內(nèi)固定的，跟隨者的進(jìn)入，對先行者的收益是有影響的，因此作為先行者在進(jìn)行投資決策時也要充分考慮到跟隨者可能采取的決策，這就需要企業(yè)在制定研發(fā)項(xiàng)目投資決策時對所有可能的決策收益和競爭者的收益進(jìn)行評估，并通過博弈找到納什均衡，從而得到最優(yōu)決策。

在研發(fā)項(xiàng)目投資過程中，除了經(jīng)濟(jì)危機(jī)一類的突發(fā)風(fēng)險，通常含有的其他風(fēng)險有：經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(如無風(fēng)險利率r和市場波動率σ的變化)，和技術(shù)風(fēng)險(用研發(fā)項(xiàng)目的研發(fā)成功率來描述)。假定存在兩個競爭對手：企業(yè)A和企業(yè)B，研發(fā)成功率分別用q和p來表示。基于品牌，研發(fā)能力等的不同，設(shè)定企業(yè)A為研發(fā)和市場中的優(yōu)勢企業(yè)，企業(yè)B則為劣勢企業(yè)，因此q>p。

本文規(guī)定先行者在t0時刻對研發(fā)項(xiàng)目投資，早于跟隨者企業(yè)，兩個企業(yè)的啟動投資I1和市場化的投資I是一樣的。但是兩個企業(yè)所占市場份額不同，先行者企業(yè)占α，跟隨者企業(yè)占1-α，且α>0.5。這里隱含的條件是兩個企業(yè)占據(jù)整個市場成為雙寡頭壟斷，但是現(xiàn)實(shí)中的競爭者很可能高于兩個，會有幾個先行者企業(yè)一起投資，也會有幾個跟隨者在等待，可以把這些同質(zhì)的先行者企業(yè)簡化成一個先行者作為替代，同樣把其他跟隨者企業(yè)看作一個跟隨者來簡化分析和計(jì)算。

根據(jù)歐式期權(quán)的定義，所有的決策點(diǎn)必須是固定的，因此企業(yè)所有的投資要在決策點(diǎn)t0時刻就定下來，這兩個企業(yè)此時面臨的決策為：是要進(jìn)行在t0時刻的研發(fā)項(xiàng)目搶先投資，還是推遲到t1時刻投資，這就需要對所有可能的投資決策的收益進(jìn)行計(jì)算和分析。由于在t0時刻和t1時刻都不投資相當(dāng)于放棄項(xiàng)目，導(dǎo)致實(shí)物期權(quán)價值為零，本文不做研究，因此本文考慮了企業(yè)可能會做的四種投資決策：在t0時刻搶先投資成為先行者；推遲到t1時刻投資成為跟隨者；與另一個企業(yè)t0時共同搶先投資；或者與另一個企業(yè)在t0時等待時機(jī)，再在t1時刻共同投資。

2.1任意一個企業(yè)搶先投資時的先行者收益

如果企業(yè)A作為先行者在t0時刻搶先投資研發(fā)項(xiàng)目，假定這時候跟隨者企業(yè)B決定等待。在這個情況下，先行者企業(yè)A占有整個市場價值V的α，期權(quán)價值為s(αV,I,T)。Pennings和Sereno[6]對收益的計(jì)算為期權(quán)價值減去t0時刻投資，由此可知進(jìn)行商業(yè)化投資I的必要條件是期權(quán)價值s(αV,I,τ)要高于I1的價值，只有這樣才會產(chǎn)生收益。結(jié)合跳躍-擴(kuò)散過程和研發(fā)成功率q之后，本文得到t0時刻企業(yè)A收益為：

LA(V,I)=qs(αV,I,T)-I1=q(αVN1(d1(K,T))-Ie-(r+λ)TN1(d2(K,T)))-I1

(8)

類似的，如果劣勢企業(yè)B為先行者去投資研發(fā)項(xiàng)目，企業(yè)A為跟隨者選擇等待，企業(yè)B的先行者收益為：

LB(V,I)=ps(αV,I,T)-I1=p(αVN1(d1(K,T))-Ie-(r+λ)TN1(d2(K,T)))-I1

(9)

2.2觀望先行者的研發(fā)信息披露再進(jìn)行投資的跟隨者收益

先行者第一個進(jìn)入市場，會在市場上占據(jù)優(yōu)勢的同時對跟隨者投資產(chǎn)生正外部性，這導(dǎo)致跟隨者投資決策收益部分取決于先行者技術(shù)開發(fā)的信息披露程度，因此信息披露是一個影響跟隨者最優(yōu)投資決策的重要因素。研發(fā)成功率與信息披露之間的關(guān)系可以引入兩個伯努利分布：

假設(shè)優(yōu)勢企業(yè)A作為先行者，在經(jīng)過信息披露之后，如果先行者的研發(fā)項(xiàng)目研發(fā)是成功的，跟隨者企業(yè)B的研發(fā)成功率p轉(zhuǎn)化為正的信息披露時的p+；如果先行者失敗了，此時的p轉(zhuǎn)化為負(fù)的信息披露時的p-。根據(jù)Dias[23]對信息披露ρ(A,B)的計(jì)算可以得出：

p+=prob[A=1/B=1]=p(1-ρ(A,B))+ρ(A,B),p-=prob[A=1/B=0]=p(1-ρ(A,B))

(10)

同樣，如果劣勢企業(yè)B作為先行者，企業(yè)A的研發(fā)成功率可以轉(zhuǎn)化為：

q+=prob[B=1/A=1]=q(1-ρ(A,B))+ρ(A,B),q-=prob[B=1/A=0]=q(1-ρ(A,B))

(11)

其中

(12)

設(shè)定兩企業(yè)對項(xiàng)目的研發(fā)時間相同，則跟隨者企業(yè)期權(quán)到期時間為T+t1。如果企業(yè)A作為先行者的研發(fā)項(xiàng)目投資是成功的，那么跟隨者的研發(fā)項(xiàng)目投資成功率為p+。在投資I1之后，跟隨者占據(jù)了全部市場的1-α份額，持有期權(quán)s((1-α)V,I,τ)。因此跟隨者在t0時刻的收益為t1時刻到期的期權(quán)，執(zhí)行價格為期權(quán)s((1-α)V,I,τ)。到期時刻t1，通過正信息披露的期權(quán)為：

c(p+)=c(p+s((1-α)V,I,(T+t1)),I1,t1)

(13)

通過公式(7)，本文把正信息披露的研發(fā)成功率與復(fù)合期權(quán)結(jié)合，可以得到：

(14)

(15)

在先行者的研發(fā)失敗的情況下，本文可得到負(fù)的信息披露的期權(quán)價值：

(16)

(17)

如果企業(yè)A作為先行者成功率為q，跟隨者企業(yè)B取得c(p+)，如果先行者失敗概率為1-q，跟隨者取得c(p-)作為期權(quán)。因此，本文得到t0時刻包含跳躍-擴(kuò)散和信息披露過程的跟隨者的企業(yè)B收益：

GB(V,I)=qc(p+)+(1-q)c(p-)

(18)

同樣可得作為跟隨者的企業(yè)A收益：

GA(V,I)=pc(q+)+(1-p)c(q-)

(19)

2.3兩個企業(yè)同時搶先投資的收益

如果在t0時刻企業(yè)A和B決定同時投資研發(fā)項(xiàng)目，則此時沒有信息披露，這使得ρ(A,B)=0，這使得p=p+=p-，q=q+=q-。本文可以設(shè)企業(yè)A和企業(yè)B可以獲取到相同比例的市場，即α=0.5。由于兩個企業(yè)對研發(fā)項(xiàng)目投資相同，因此企業(yè)A與企業(yè)B各自擁有期權(quán)s(0.5V,I,T)。根據(jù)公式(6)，本文可以得出同時在t0時刻投資研發(fā)項(xiàng)目時，包含跳躍-擴(kuò)散過程和研發(fā)成功概率的企業(yè)A和企業(yè)B的收益分別為：

TA(V,I)=qs(0.5V,I,T)-I1=q(0.5VN1(d1(K,T))-Ie-(r+λ)TN1(d2(K,T)))-I1

(20)

TB(V,I)=ps(0.5V,I,T)-I1=p(0.5VN1(d1(K,T))-Ie-(r+λ)TN1(d2(K,T)))-I1

(21)

2.4兩個企業(yè)等待市場時機(jī)再同時投資的收益

同樣，如果在t0時刻兩個企業(yè)都決定推遲他們的研發(fā)項(xiàng)目投資，此時也沒有信息披露。兩個企業(yè)期權(quán)到期時間同為T+t1，并且兩個企業(yè)市場占有率也相等。在時刻t0投資I1之后，企業(yè)A或企業(yè)B擁有的期權(quán)為s(0.5V,I,τ)。根據(jù)公式(7)，在t0時刻，本文得到包含跳躍-擴(kuò)散過程和研發(fā)成功率時，先等待市場時機(jī)再共同投資的兩個企業(yè)中的企業(yè)A的收益為：

DA(V,I)=c(qs(0.5V,I,(T+t1)),I1,t1)

(22)

(23)

同理可得企業(yè)B收益為：

(24)

(25)

2.5決策收益分析

由此可得市場價值的四個臨界值V1、V2、V3和V4，通過這四個臨界值得到五個區(qū)間范圍，每個區(qū)間中的最優(yōu)決策都不相同，通過博弈企業(yè)可以得到不同市場價值下的研發(fā)項(xiàng)目最優(yōu)投資決策。

3算例

3.1參數(shù)設(shè)置和結(jié)果分析

本文使用一個算例來討論優(yōu)勢企業(yè)A和劣勢企業(yè)B的投資決策收益?？梢栽O(shè)：

先行者企業(yè)市場占有的比例高于跟隨者，即α=0.60。在t0或者t1時刻進(jìn)行的所有投資都遵循布朗運(yùn)動，對下一階段商業(yè)化投資為I=400000，在研發(fā)項(xiàng)目初始時刻的啟動投資為I1=150000。V和I的波動率為σv=0.90,σi=0.23；變化系數(shù)ρvj=0.15。T表示項(xiàng)目的進(jìn)行時間，采用T=3年。跟隨者需要6個月來了解先行者的狀態(tài)和結(jié)果，及收到信息披露，則t1=0.5年。無風(fēng)險利率為r=0.05。跳躍系數(shù)為λ=0.076。最后優(yōu)勢企業(yè)A比B擁有更高研發(fā)成功率去做研發(fā)項(xiàng)目，企業(yè)A的研發(fā)成功率為q=0.60，企業(yè)B的研發(fā)成功率p=0.55，且先行者企業(yè)研發(fā)成功后的信息披露為ρ(A,B)=0.70 。

根據(jù)之前的決策收益分析，可以得到表1中的市場價值的臨界值，由此可計(jì)算出如表2中的優(yōu)勢企業(yè)A和劣勢企業(yè)B的投資決策收益。

表1　市場價值臨界值

表2　企業(yè) A和企業(yè) B的投資決策收益

由圖1和圖2可見，當(dāng)V為任意取值時，無論是優(yōu)勢企業(yè)還是劣勢企業(yè)，某一個決策的收益并不會一直高于其他三個決策的收益。由于市場價值增加，所有決策的收益都會增加，而最優(yōu)投資決策也會隨之改變。從圖中還可以看到V值有臨界值，也就是圖中曲線的交點(diǎn)，這時兩個決策的收益相同，如V=9284010時，企業(yè)A在t0時刻作為先行者和與企業(yè)B在t1時刻共同投資的收益同為814374，也就意味著此時企業(yè)A擁有兩個收益相同的最優(yōu)投資決策。在競爭的市場中，企業(yè)A的最優(yōu)決策還受到競爭者企業(yè)B的影響，這就需要對該條件下的兩個企業(yè)收益進(jìn)行博弈分析，根據(jù)納什均衡得出競爭中的企業(yè)最優(yōu)投資決策。

圖1　企業(yè)A投資決策收益曲線　 　圖2　企業(yè)B投資決策收益曲線

3.2博弈分析

實(shí)物期權(quán)博弈分析的主要包括兩個方面：一是期權(quán)博弈的價值分析， 二是期權(quán)博弈的決策選擇。利用表2中企業(yè)A和企業(yè)B在四個臨界值構(gòu)成的區(qū)間中的取值為例，進(jìn)行博弈分析以得到該區(qū)間內(nèi)企業(yè)的最優(yōu)投資決策。

表3　市場價值為9000000時企業(yè) A與企業(yè) B決策收益

當(dāng)V=9000000時企業(yè)A與企業(yè)B的投資決策收益如表3所示，若一個企業(yè)為市場中的先行者時，另一個企業(yè)可以選擇同為先行者，這表示企業(yè)A和企業(yè)B在t0時刻共同搶先投資；或者另一個企業(yè)作為跟隨者。若一個企業(yè)選擇作為跟隨者時，另一個企業(yè)可以選擇作為先行者；或者另一個企業(yè)作為跟隨者，這表示企業(yè)A和企業(yè)B都在t0時刻等待，而在t1時刻進(jìn)行投資。從表3中可以得到企業(yè)A和企業(yè)B的投資決策矩陣分別為：

這是一個非合作的雙矩陣博弈，對A和B的元素進(jìn)行標(biāo)號，得到：

其中a22和b22都有標(biāo)號，因此企業(yè)A和企業(yè)B在V=9000000時的納什平衡點(diǎn)為：(757524，641070)，這就表示在V=900000時的最優(yōu)決策為企業(yè)A和企業(yè)B都在t0時刻等待，而在t1時刻進(jìn)行投資。由此，可以得到V值在5個區(qū)間下的納什均衡及最優(yōu)決策：

V=9000000時，V

V=9500000時，V1DA，LB

V=10000000時，V2DA，LB>DB，TA

V=12000000時，V3DA，LB>DB，TA>GA，TB

V=14000000時，V>V4，且：LA>DA，LB>DB，TA>GA，TB>GB，可以得到納什均衡為(LA，GB)，企業(yè)A和企業(yè)B在t0時刻共同投資。

圖3　企業(yè)A和企業(yè)B的最優(yōu)投資決策

根據(jù)如上的博弈分析結(jié)果，由圖3可以看到在不同值區(qū)間下企業(yè)A和企業(yè)B投資決策的納什均衡和最優(yōu)決策。

4結(jié)論

本文把實(shí)物期權(quán)方法和博弈論應(yīng)用在多種風(fēng)險下的研發(fā)項(xiàng)目投資環(huán)境中，并將階段性的投資機(jī)會和競爭性行為結(jié)合，更加準(zhǔn)確的對研發(fā)項(xiàng)目價值和收益進(jìn)行評估，之后通過博弈得到納什均衡，為企業(yè)獲得最佳的時機(jī)進(jìn)行投資，以實(shí)現(xiàn)自身收益的最大化。很多的研發(fā)項(xiàng)目投資是根據(jù)其他企業(yè)研發(fā)帶來的正外部性以實(shí)現(xiàn)新產(chǎn)品開發(fā)，因此先行者研發(fā)的信息披露對跟隨者的期權(quán)價值和收益會產(chǎn)生積極的影響。如果不考慮研發(fā)項(xiàng)目投資中的市場風(fēng)險、技術(shù)風(fēng)險和突發(fā)風(fēng)險等不確定性因素，企業(yè)往往會高估項(xiàng)目的價值，這會對未來的投資決策產(chǎn)生不利的影響，也會對項(xiàng)目轉(zhuǎn)讓和收購的估值過分樂觀。本文量化了多重風(fēng)險的指標(biāo)和信息披露過程的正外部性對跟隨者的影響，再通過計(jì)算四種投資決策收益：先行者收益，跟隨者收益，搶先同時進(jìn)行投資收益，和等待市場時機(jī)再同時投資收益之后，經(jīng)過博弈分析得到的納什均衡點(diǎn)就是企業(yè)在多種風(fēng)險下的最優(yōu)投資決策。

參考文獻(xiàn)：

[1]Margrabe W. The value of an option to exchange one asset for another[J]. Journal of Finance, 1978, 33(1): 177-186.

[2]McDonald R L, Siegel D R. Investiment and the valuation of firms when there is an option to shut down[J]. International Economic Review, 1985, 28(2): 331-349.

[3]Armada M R , Kryzanowsky L, Pereira P J. A modified finite-lived American exchange option methodology applied to real options valuation[J]. Global Finance Journal, 2007, 17(3): 419-438.

[4]Paxson D A. Sequential American exchange property options[J]. The Journal of Real Estate Finance and Economics, 2007, 34(1): 135-157.

[5]Carr P. The valuation of sequential exchange opportunities[J]. The Journal of Finance, 1988, 43(5): 1235-1256.

[6]Pennings E, Sereno L. Evaluating pharmaceutical R&D under technical and economic uncertainty[J]. European Journal of Operational Research,2011,212(2):374-385.

[7]Ghosh S, Troutt M D. Complex compound option models-Can practitioners truly operationalize them?[J].European Journal of Operational Research,2012,222(3):542-552.

[8]Thijssen J J J, Huisman K J M, Kort P M. Symmetric equilibrium strategies in game theoretic real option models[J].Journal of Mathematical Economics, 2012, 48(4): 219-225.

[9]Martzoukos S H, Zacharias E. Real option games with R&D and learning spillovers [J]. Omega, 2013, 41(2): 236-249.

[10]Koussis N, Martzoukos S H, Trigeorgis L. Multi-stage product development with exploration, value-enhancing, preemptive and innovation options[J]. Journal of Banking & Finance, 2013, 37(1): 174-190.

[11]馮晨嬌,劉維奇.基于復(fù)合期權(quán)的R&D項(xiàng)目投資評價[J].研究與發(fā)展管理,2008,20(2):91-96.

[12]田季員,安實(shí),張少軍.基于投資跳擴(kuò)散的研發(fā)項(xiàng)目投資決策研究[J].中國管理科學(xué),2008,10:283-286.

[13]夏軼群, 陳俊芳.技術(shù)不確定的研發(fā)項(xiàng)目投資時機(jī)期權(quán)博弈分析[J].科研管理,2009,30(2):126-130.

[14]陳 濤,叢國棟,于本海,張金隆.基于風(fēng)險管理的軟件開發(fā)過程模型及其復(fù)合實(shí)物期權(quán)分析[J].管理工程學(xué)報(bào),2010,24(2):61-67.

[15]楊金強(qiáng),楊招軍.部分信息下實(shí)物期權(quán)的定價和風(fēng)險對沖[J].中國管理科學(xué),2011,19(4):9-16.

[16]谷曉燕,何鋒,蔡晨.風(fēng)險條件下基于實(shí)物期權(quán)的研發(fā)項(xiàng)目多階段評價模型[J].中國管理科學(xué),2011,19(4):68-75.

[17]張新華,葉澤,李薇.價格與技術(shù)不確定條件下的發(fā)電商碳捕獲投資模型及分析[J].管理工程學(xué)報(bào), 2012, 26(3): 109-113.

[18]何沐文,劉金蘭,高奇特.不確定環(huán)境下自然資源開發(fā)項(xiàng)目投資評價模型[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2013,16(6):46-55.

[19]吳崇,胡漢輝.不確定性和動態(tài)能力互動下企業(yè)投資競爭決策[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2013,16(5):39-54.

[20]Geske R. The valuation of compound options[J]. Journal of Financial Economics, 1979, 7(1): 63-81.

[21]Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J]. Journal of Financial Economics,1976,3:124-144.

[22]Dixit A K, Pindyck R S. Investment under uncertainty[M]. New Jersey: Princeton university press, 1994: 172-173.

[23]Dias M A G. Real options theory for real asset portfolios: the oil exploration case[C].10th Annual International Conference on Real Options. New York, USA: 2006.