張朗明

摘 要：《兩個變量的線性相關(guān)》是高中新教材人教A版必修3第二章2。3節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課主要探討如何利用線性回歸思想對實際問題進(jìn)行分析與預(yù)測.同時為以后更好地研究選修2-3第三章3。1節(jié)《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性相關(guān)；散點圖；最小二乘法；回歸分析

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）01-101-03

一、教學(xué)內(nèi)容

（1）會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；（2）了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）通過實例和類比的方法來認(rèn)識現(xiàn)實生活中變量間存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系。

（2）了解最小二乘法的思想及回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過程，利用圖形計算器求出回歸直線的方程并對實際問題進(jìn)行分析和預(yù)測，通過實例加強(qiáng)對回歸直線方程含義的理解。

（3）通過自主探究體會數(shù)形結(jié)合、類比、及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法。

（4）通過動手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力，引出利用計算機(jī)等現(xiàn)代化教學(xué)工具的必要性，合作交流激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、教學(xué)過程

導(dǎo)入新課：在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題?！?我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

這種說法有沒有根據(jù)呢？

好 中 差

你的數(shù)學(xué)成績

你的物理成績

請同學(xué)們?nèi)鐚嵦顚懴卤恚ㄔ诳崭裰写颉啊獭?）：

設(shè)計意圖：學(xué)生通過填表和討論，體會到不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準(zhǔn)確地斷定他的物理成績能達(dá)到多少。但這兩個變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系。如何通過數(shù)學(xué)成績的結(jié)果對物理成績進(jìn)行合理估計有非常重要的現(xiàn)實意義。為很好地說明上述問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個變量的線性相關(guān)。

[問題1]下列兩個變量之間具有怎樣的關(guān)系？

①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系

②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系

③人的身高與年齡之間的關(guān)系

④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系，進(jìn)一步明確相關(guān)關(guān)系的概念，即“自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系”。并為后面用學(xué)生較為熟悉的函數(shù)關(guān)系來處理相對陌生的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行鋪墊。

師生活動：學(xué)生思考，然后討論交流，教師及時評價。

[問題2]在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：

（1）對某一個人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性。觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？

（2）為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象。其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)。以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？

（3）觀察人的年齡的與人體脂肪含量散點圖的大致趨勢，有什么樣的特點？閱讀課本

P85-86，這種相關(guān)關(guān)系我們稱為什么？還有沒有其他的相關(guān)關(guān)系？它又有怎樣的特點？

設(shè)計意圖：這個問題分解成三個小問題進(jìn)行。問題（1）通過研究“人體脂肪含量和年齡關(guān)系”的樣本數(shù)據(jù)，讓學(xué)生明確兩個變量具有相關(guān)關(guān)系，但這種關(guān)系的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度還不得而知；問題（2）可讓學(xué)生通過作圖得出散點圖，得到散點圖的概念，并讓學(xué)生觀察散點圖來初步體會變量間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱程度；問題（3）讓學(xué)生進(jìn)一步研究散點圖中兩個變量的圖形變化趨勢，引出正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的概念。學(xué)生通過閱讀教材、分析概念，還能培養(yǎng)自學(xué)能力和數(shù)學(xué)閱讀能力。

[問題3]甲同學(xué)判斷某人年齡在65歲時體內(nèi)脂肪含量百分比可能為34，乙同學(xué)判斷可能為25，而丙同學(xué)則判斷可能為37，你對甲、乙、丙三個同學(xué)的判斷有什么看法？

設(shè)計意圖：該問題具有探究性、啟發(fā)性和開放性。鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)自己的看法。通過設(shè)計該問題，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，注意到散點圖中點的分布具有一定規(guī)律，體會觀測點與回歸直線的關(guān)系；進(jìn)而引起學(xué)生的對本節(jié)課內(nèi)容的興趣。

[問題4] 反思[問題3]，你還可以提出哪些問題嗎？小組討論，看哪個小組提出的問題多。進(jìn)一步提問：再看看散點圖中點的分布有什么規(guī)律嗎？ 設(shè)計意圖：通過小組討論比較，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣，活躍課堂氣氛，達(dá)到學(xué)生自己提出問題并自己想辦法解決的效果，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)生創(chuàng)新思維和問題意識。

[問題5] 如果用一次函數(shù)來近似地表示人體脂肪含量和年齡關(guān)系，你會選擇一個怎樣的一次函數(shù)？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生運用圖形計算器畫出這條直線，并得到這個一次函數(shù)的表達(dá)式，然后通過觀察圖像引出線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線和回歸方程的概念。

[問題6] 那么，我們該怎樣來求出這個回歸方程？請同學(xué)們展開討論，能得出哪些具體的方案？

設(shè)計意圖：引出下面求回歸方程的方法，體會如何選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ń⒒貧w方程的過程。

[問題7] 怎樣用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各點與此直線的距離最小”？設(shè)計意圖：學(xué)生探索得出回歸直線的系數(shù)公式和最小二乘法的定義，強(qiáng)調(diào)最小二乘法的思想在統(tǒng)計學(xué)中具有非常重要的地位。

[問題8] 從圖象和回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關(guān)關(guān)系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量？設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)習(xí)用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，會用兩個變量相關(guān)系數(shù)計算公式進(jìn)行計算。

進(jìn)一步總結(jié)：我們利用回歸直線對年齡與脂肪的關(guān)系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回歸分析。利用這種分析方法可以對生活中的很多問題進(jìn)行分析與預(yù)測。通過回顧和梳理，得出求回歸直線方程的步驟

[問題9] 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的飲料杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：

（1）畫出散點圖；

（2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；

（3）求回歸方程；

（4）如果某天的氣溫是2 ℃，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。

設(shè)計意圖：進(jìn)一步熟悉回歸分析的過程，深化對回歸分析思想的理解和觀測數(shù)據(jù)與回歸直線關(guān)系的理解。發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的重要理念之一。在教學(xué)中以具體問題為載體，加深學(xué)生對回歸方程的理解，體驗數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用。

四、目標(biāo)檢測設(shè)計

1、完成教材P94 第2題。設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會線性回歸思想在實際中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會、關(guān)注生活。

2、實習(xí)作業(yè)：收集本班男生的身高和體重的數(shù)據(jù)，并利用統(tǒng)計知識對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測。設(shè)計意圖：作業(yè)是學(xué)生學(xué)習(xí)信息反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的不足。作業(yè)設(shè)計不僅注重對教材重點知識的復(fù)習(xí)，也應(yīng)對一些學(xué)有余力的同學(xué)提出一些深入學(xué)習(xí)的建議和途徑，關(guān)注學(xué)生個體差異。