一題多解欣賞
——第30屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第2題評(píng)析

陳東波

(紹興市上虞中學(xué)浙江 紹興312300)

收稿日期：(2014-06-10)

【題目】質(zhì)量均為m的小球1和2，由一質(zhì)量可忽略、長(zhǎng)度為l的剛性輕桿連接，豎直地靠在墻角，小球1在桿的上端，如圖1所示．假設(shè)墻和地面都是光滑的，初始時(shí)給小球2一個(gè)微小的向右的初速度．問在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)桿和豎直墻之間的夾角等于何值時(shí)，小球1開始離開豎直墻面？

圖1

參考解答：如圖2，在小球1未離開豎直墻面之前，桿與豎直墻之間的夾角為θ時(shí)，小球1的坐標(biāo)為

x1=0y1=lcosθ

(1)

小球2的坐標(biāo)為

x2=lsinθy2=0

(2)

圖2

小球1 的速度為

(3)

(4)

由機(jī)械能守恒定律，有

(5)

由式(5)得

(6)

這里考慮到隨著時(shí)間t的增加，θ變大，因此

ω>0．

系統(tǒng)質(zhì)心C的x坐標(biāo)為

(7)

質(zhì)心速度的x分量為

(8)

質(zhì)心加速度的x分量為

(9)

由式(6)得

(10)

在得到上述結(jié)果時(shí)又利用了式(6)，把式(6)、(10)代入式(9)，得

(11)

設(shè)豎直墻面對(duì)小球1的正壓力為T，質(zhì)心C在x方向上的運(yùn)動(dòng)滿足

T=2maCx

(12)

由式(12)可知，當(dāng)aCx=0時(shí)，T=0.

此時(shí)，小球1開始離開豎直墻面，且θ=0為運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻，即可得

此即小球1離開豎直墻面時(shí)，桿與墻面的夾角．

另解1

假設(shè)小球1被某種水平外力T束縛，使其只能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)桿與豎直墻面夾角為θ時(shí)，小球1與小球2的速度在沿桿方向的分速度必然有

v1cosθ=v2sinθ

由機(jī)械能守恒定律可得

由系統(tǒng)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，小球1在水平方向所受合外力為零，則系統(tǒng)在水平方向所受合外力為

另解2

現(xiàn)假設(shè)墻面對(duì)小球1的彈力為T1，此時(shí)小球1沿豎直平面運(yùn)動(dòng)，水平方向合力為零，輕桿彈力必為

小球2沿水平平面運(yùn)動(dòng)，則水平地面對(duì)小球2的支持力為

圖3

可得系統(tǒng)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為

上式整理可得

左右都乘以ω

考慮到在零時(shí)刻，ω和θ都為零，則有

在小球1離開墻面之前，考慮到直角三角形的中線性質(zhì)，OP與豎直墻面的夾角始終等于輕桿與豎直墻面的夾角，則O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度與角加速度大小都等于輕桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與角加速度的大小，則可以得到O的法向加速度與切向加速度分別為

當(dāng)小球1離開墻面時(shí)，系統(tǒng)在水平方向不受外力，O點(diǎn)在水平方向加速度為零，即

a//=ansinθ-atcosθ=

化簡(jiǎn)可得

另解3

如另解2分析，O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度大小等于輕桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω，則有機(jī)械能守恒定律及柯尼系定律可得

可得O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所需向心力為

這個(gè)力等于系統(tǒng)所受重力、墻面彈力、地面彈力在沿OP方向分力的矢量和．再利用另解2中墻面彈力、地面彈力的關(guān)系可得

即

因?yàn)閴γ鎻椓1取負(fù)值不合題意，故可得答案．