從開普勒三定律談?wù)勑行菣E圓軌道運動的基本參數(shù)

史東升

(徐州市第一中學江蘇 徐州221000)

摘 要：17世紀初德國天文學家開普勒總結(jié)出了行星運動的三大定律，在高中物理教學中為了簡化把行星的橢圓軌道當成是圓軌道來處理．為了還原行星真實的運動規(guī)律，有必要把行星運動橢圓軌道運動的基本參數(shù)系統(tǒng)地總結(jié)一下．

關(guān)鍵詞：開普勒三定律橢圓軌道面積速度周期速度曲率半徑

收稿日期：(2014-11-19)

在競賽試題中，學生經(jīng)常會接觸到物體按照橢圓軌道運動的情況，顯然橢圓軌道比圓軌道要復(fù)雜一些，物體的速度如何變化，周期公式和圓軌道有什么異同，在不同位置的曲率半徑如何計算等等.掌握了這些規(guī)律，可使考生高效準確地解題．首先來回顧一下開普勒行星運動三大定律．

1開普勒定律

1．1開普勒第一定律

1．2開普勒第二定律

1．3開普勒第三定律

2行星橢圓軌道運動的基本參數(shù)

2．1面積速度

又由行星的機械能守恒

可得

所以面積速度

可見面積速度與中心天體的質(zhì)量以及橢圓軌道的a和b有關(guān)，不同的行星軌道面積速度并不相同．

圖1

2．2公轉(zhuǎn)周期

我們知道橢圓的面積為πab，面積速度S與公轉(zhuǎn)周期T的乘積等于橢圓面積，即

則公轉(zhuǎn)周期

開普勒第三定律中的

可見定律中的k是一個只與中心天體有關(guān)的值，而與環(huán)繞天體無關(guān)．

2．3機械能

這個結(jié)果告訴我們?nèi)绻x無窮遠處引力勢能為零，行星繞太陽做橢圓軌道運動的機械能

2．4速度大小

如果行星在橢圓軌道運動時到太陽的距離為r，太陽和行星的質(zhì)量分別為M和m，引力勢能

由機械能守恒

可以得到行星在任一位置的速度公式

可得在近日點速度

遠日點速度

2．5曲率半徑

(1)

其中ρ為行星橢圓軌道在該點的曲率半徑．因為行星繞太陽的角動量

L=mvrsinθ

(2)

在近日點A，角動量

L=mvA(a-c) =

代入(2)式得到

將結(jié)果代入(1)式，結(jié)合

得到行星橢圓軌道在任一位置的曲率半徑

3實例分析

解：原來行星圍繞恒星做勻速圓周運動

得到

所以此后行星將做以這顆恒星為一個焦點的橢圓軌道運動．行星原來的能量為

恒星質(zhì)量突變后的能量為

根據(jù)前文所述，其面積速度

公轉(zhuǎn)周期

在任一位置的速度大小

曲率半徑

其中r為行星在橢圓軌道上運動時到恒星的距離．

【例2】如圖2(a)所示，半徑為R的空心圓環(huán)固定在滑塊上，滑塊放置在光滑的水平面上，滑塊與圓環(huán)的總質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的小球(視作質(zhì)點)可在環(huán)內(nèi)做無摩擦運動．開始時小球位于圓環(huán)最高點，環(huán)與小球均靜止．在微小擾動下小球沿環(huán)下滑．

(1)試求小球相對地面的軌跡方程；

(2)求小球軌跡在圖中A和B兩處的曲率半徑．

(a)　　　　　　　　　　　　(b)

解：(1)建立如圖2(b)所示的坐標，設(shè)m的水平位移為x，m相對M的水平位移為s，由動量守恒得

0=mx+M(x-s)

其中

整理得到

(2)A點為橢圓“長軸”的端點，曲率半徑為

B點為橢圓“短軸”端點，曲率半徑為

可見從行星橢圓軌道運動得到的結(jié)果也可以應(yīng)用到一般橢圓軌道上去，不過要特別注意條件上的一些變化．

4小結(jié)

本文從開普勒三定律出發(fā)，在機械能守恒和角動量守恒基本規(guī)律的指引下，借助于數(shù)學的手段系統(tǒng)地總結(jié)了行星繞太陽沿橢圓軌道運動的基本參數(shù)，希望在以后的解題中能對大家有所幫助．

參 考 文 獻

1范小輝編著．新編高中物理奧賽實用題典．南京：南京師范大學出版社，2010