(中國人民解放軍92785部隊,河北秦皇島066200)

0 引言

共形陣列是一種與載體表面共形的天線陣列,由于其具有安裝簡化、波束掃描范圍廣、RCS小等優(yōu)點[1-3],在現(xiàn)代飛機、導(dǎo)彈、衛(wèi)星等設(shè)備均有重要的應(yīng)用。共形陣列信號的二維角度估計問題是共形陣列信號處理中的重要內(nèi)容,其在民用和軍事上都有重要意義,已受到廣泛關(guān)注。目前,國內(nèi)外學(xué)者在共形陣列信號波達方向估計(Direction of Arrival,DOA)方面已經(jīng)做了大量研究工作[3-10]。比如文獻[3]以圓柱共形陣列為例,采用多維MUSIC譜估計方法實現(xiàn)了DOA估計,但其需要二維譜峰搜索,運算量大,不適用于工程實際;文獻[4-7]通過合理劃分陣列使其滿足旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu),從而實現(xiàn)柱面陣列和錐面共形陣列的DOA估計。但其方法對陣列形狀要求高,并不能適用于其他共形陣列?？梢哉f,關(guān)于共形陣列信號DOA估計問題還有許多值得進一步研究的工作。本文給出了一種利用虛擬陣列變換的思想,采用ESPRIT算法和MUSIC算法相結(jié)合的方法實現(xiàn)了共形陣列信號二維角度估計。算法對陣列形狀限制小,估計性能良好。以圓柱共形陣列為例,對算法性能作了仿真驗證。

1 虛擬陣列變換方法

虛擬陣列變換方法[8]是將空間區(qū)域進行劃分,針對某個感興趣區(qū)域,在保證盡量小的變換誤差下,將原始陣列接收數(shù)據(jù)變換為虛擬陣列接收數(shù)據(jù)。其主要是利用兩個陣列導(dǎo)向矢量的變換關(guān)系獲得陣列數(shù)據(jù)變換關(guān)系。由于經(jīng)虛擬變換得到虛擬陣列是預(yù)先期望的,因此,可以使用一些經(jīng)典的參數(shù)估計方法。從虛擬變陣列變換的原理上看,虛擬陣列變換方法適用于任意陣列。下面介紹一下虛擬陣列變換的實現(xiàn)過程。

對布置于三維空間中幾何結(jié)構(gòu)任意的陣列,如圖1所示,假設(shè)感興趣的區(qū)域為Θ=[θ1,θr],且信號位于此區(qū)域。

圖1 布置于三維空間的任意陣列

將區(qū)域以間隔Δθ作均勻分割,即Θ=[θ1θ1+Δθθ1+2Δθ…θr-Δθθr],那么原始陣列的陣列流型矢量矩陣為

假設(shè)希望經(jīng)過虛擬變換得到虛擬陣列的流型矢量矩陣為ˉA,則在同樣的空間區(qū)間內(nèi),有

那么,原始陣列和虛擬陣列之間可以通過虛擬變換關(guān)系實現(xiàn)近似變換,即滿足

同理,原始陣列和虛擬陣列的導(dǎo)向矢量之間存在如下關(guān)系:

顯然,由原始陣列到虛擬陣列的變換過程中,會存在變換誤差。因此,求取變換矩陣B,可以看作如下計算:

式中,‖·‖F(xiàn)為Frobenius模。

由式(3)～(5)可以求得虛擬陣列變換矩陣:

那么,變換誤差可以定義為

顯然,理想情況下,變換誤差為零,此時虛擬變換過程是一個完全等價過程。但實際中,限于區(qū)域劃分、區(qū)域劃分間隔和虛擬變換陣列結(jié)構(gòu)等限制,不可避免地存在誤差。因此,在實際計算中,一般會設(shè)置一個誤差允許范圍。

下面看一下,通過虛擬陣列變換,數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣是否有變化。假設(shè)原始陣列的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為背景噪聲為高斯白噪聲,其功率為σ2I,則有

虛擬陣列的協(xié)方差矩陣可表示為

顯然,從式(8)可以看出BHB≠I,即原始陣列白噪聲被污染為色噪聲。因此,要想利用虛擬陣列的協(xié)方差矩陣ˉR,必須預(yù)白化色噪聲。那么可以將變換矩陣B修改為

那么,有THT=I成立。此時,式(3)和式(4)所表示的原始陣列和虛擬陣列的變換關(guān)系變?yōu)?/p>

此時,虛擬陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可寫為

那么,利用式(13)得到的虛擬陣列協(xié)方差數(shù)據(jù)即可采用參數(shù)估計方法。需要注意的是,此時所對應(yīng)的流性矢量矩陣ˉA′是經(jīng)虛擬變換后的虛擬陣列的流行矢量矩陣。至此,對虛擬陣列變換方法作了簡單的介紹。下面將介紹具體的參數(shù)估計方法。

2 基于虛擬陣列變換的角度估計方法

針對共形陣列,利用虛擬陣列變換思想,采用ESPRIT算法和MUSIC算法相結(jié)合的方法實現(xiàn)二維角度估計。

空間任意M元陣列如圖2所示,第m個陣元的位置為p m=(x m,y m,z m)。假設(shè)有K個已知頻率為f0的空間窄帶信號源s1(t),s2(t),…,s K(t)入射到陣列,其入射角分別為{(θ1,?1),(θ2,?2),…,(θk,?k),…,(θK,?K)}。假設(shè)各陣元輻射方向圖均為g(θ,?)。當(dāng)陣列存在較大曲率時,各陣元會受曲率影響,造成各陣元接收的信號強度不同。因此,這里將第m個陣元的真實接收方向圖記為g′m(θ,?)。

圖2 空間任意M元陣列

首先確定希望虛擬變換后的虛擬陣列結(jié)構(gòu)?？紤]到實際共形陣列的幾何結(jié)構(gòu)可能多樣,因此采用一種普適的方法。假設(shè)虛擬陣列的幾何結(jié)構(gòu)與原始陣列相同,只是沿著Z軸方向作了平移d z,令d z=λ/4。設(shè)虛擬變換的觀察區(qū)域俯仰向為Θ=[θ1,θr],方位向為Φ=[φ1,φr],其中{θk∈Θ,?k∈Φ}。那么,原始陣列流型矢量矩陣A(θ,φ)和虛擬陣列流型矢量矩陣ˉA(θ,φ)有如下關(guān)系:

則虛擬陣列變換矩陣為

在獲得虛擬變換陣列后,可以近似獲得虛擬陣列接收數(shù)據(jù)。這樣,相當(dāng)于擁有了原始陣列和虛擬陣列兩組接收數(shù)據(jù)。由于虛擬陣列與原始陣列存在固定的位置關(guān)系,可以采用ESPRIT算法[7]進行參數(shù)估計。這里僅是以沿Z軸方向作了平移,實際上只要保證虛擬陣列與原始陣列幾何結(jié)構(gòu)相同,同樣可以將原始陣列沿著X軸或者Y軸方向作平移。

由于陣元方向圖對算法無影響,這里將陣元輻射方向圖認為是全向,則原始陣列和虛擬陣列的接收數(shù)據(jù)可以寫成:

式中:S(t)=[s1(t),s2(t),…,s K(t)]T;N(t)為陣列接收噪聲矩陣;

如果將兩個陣列的數(shù)據(jù)模型合并,可得

由旋轉(zhuǎn)不變子空間原理,可知

由于原始陣列和虛擬陣列幾何結(jié)構(gòu)完全相同,由其旋轉(zhuǎn)不變性,可以利用最小二乘的方法求出旋轉(zhuǎn)不變矩陣Ψ:

對Ψ進行特征值分解,得到的K個特征值即對應(yīng)著Ψz中對角元素,這樣就可以求出K個入射信號的俯仰角。如果將原始陣列分別沿著X軸或者Y軸平移,作類似處理,就可以求出空間入射角的俯仰角和方位角。這里只利用沿著Z軸平移,求出空間入射信號的俯仰角度。設(shè)為對Ψ特征分解得到的第k個特征值,則信號的俯仰角可以通過下式求得:

為了提高參數(shù)估計精度,這里采用文獻[8]的方法,在獲得信號俯仰角估計后,利用MUSIC算法作方位向的估計。由于采用虛擬陣列變換的方法,因此方位角搜索范圍為Φ=[φ1,φr]。這是在小區(qū)間內(nèi)的一維譜峰搜索,相比于全空間二維譜峰搜索,其運算量較小。

M USIC算法的譜估計公式為

至此,可以通過式(24)和式(25)對空間二維入射角進行估計。

下面給出算法主要步驟:

5)計算旋轉(zhuǎn)不變矩陣Ψ,對Ψ進行特征分解;

6)由式(24)估計信號源俯仰角度;

7)根據(jù)估計出的俯仰角度和虛擬變換觀察區(qū)域Φ=[φ1,φr]確定參數(shù)范圍,對式(25)進行譜峰搜索,找到極大值即對應(yīng)信號源入射方向。

3 仿真實驗

圓柱共形陣列其幾何結(jié)構(gòu)是中心對稱旋轉(zhuǎn)體,根據(jù)文獻[1]提出的子陣分割思想,將圓柱共形陣列進行分割,這樣只需研究子陣性能即可。仿真采用如圖3所示的3×3圓柱陣共形陣列,圓柱半徑R=λ,信號波長λ=c/f0。共分3層,兩層陣元間距d z=λ/4。每層陣元等角度分布,其相鄰陣元夾角α=15°。陣元采用非極化全向陣元,即g(θ,?)=|J2(πεsinθ)-J0(πεsinθ)|。根據(jù)陣列結(jié)構(gòu)將觀察區(qū)域作如下劃分,俯仰向為80°～100°,間隔0.1°;方位向為5°～25°,間隔0.1°。虛擬陣列設(shè)置為原陣列沿Z軸正向平移λ/4。

圖3 圓柱共形陣列

設(shè)有2個頻率為f0的空間窄帶信號源入射到陣列,信噪比(SNR)均為20 dB,其二維角度參數(shù)(θ,φ)(其中,θ代表俯仰角,φ代表方位角)為(85°,15°)和(95°,20°),采樣快拍數(shù)為500,偽快拍數(shù)為50,做50次蒙特卡羅仿真實驗。圖4是角度估計結(jié)果。

從圖中可以看出,算法可以估計出信源的二維入射角度。同時看到估計存有偏差。定義信源k的角度估計均方根誤差(RMSE)為

圖4 角度估計結(jié)果

圖5是角度估計誤差隨信噪比的變化曲線,可以看出,隨著信噪比的增加,估計性能逐漸提高。在信噪比為25 dB開始趨于穩(wěn)定。在仿真時發(fā)現(xiàn),算法在低信噪比時性能較差,所以信噪比選擇從10 dB開始。其誤差主要受到虛擬變換誤差和算法誤差兩個方面的影響。因此,兩種算法均對信噪比存在約束。

圖5 角度估計結(jié)果的RMSE隨信噪比變化曲線

圖6是角度估計誤差隨采樣快拍數(shù)的變化曲線。可以看出,當(dāng)快拍數(shù)增加到900時,算法估計性能逐漸趨于穩(wěn)定。

圖6 角度估計結(jié)果的RMSE隨采樣快拍數(shù)變化曲線

4 結(jié)束語

本文利用虛擬陣列變換思想,采用ESPRIT算法和MUSIC算法相結(jié)合的方法實現(xiàn)了共形陣列信號二維角度估計。以圓柱共形陣列,通過仿真實驗對算法有效性進行了驗證。算法對陣列形狀限制小,性能良好。關(guān)于共形陣列信號參數(shù)估計還有許多值得繼續(xù)深入研究的工作,比如共形陣列信號極化、頻率參數(shù)估計問題等。

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