蘇　勇，范東明，游　為

西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 610031

Various Approaches for Gravity Field Recovery by Using the GOCE Satellite Orbits

SU Yong,FAN Dongming,YOU Wei

Faculty of Geosciences and Environmental Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031，China

Foundation support： The Fundamental Research Funds for the Central Universities(Nos.SWJTU10ZT02; SWJTU12BR012);The Doctoral Innovation Funds of Southwest Jiaotong University;The Research Funds for the Doctoral Program of Higher Education of China(No.2012018412006)

利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)地球重力場模型的方法

蘇勇，范東明，游為

西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 610031

Various Approaches for Gravity Field Recovery by Using the GOCE Satellite Orbits

SU Yong,FAN Dongming,YOU Wei

Faculty of Geosciences and Environmental Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031，China

Foundation support： The Fundamental Research Funds for the Central Universities(Nos.SWJTU10ZT02; SWJTU12BR012);The Doctoral Innovation Funds of Southwest Jiaotong University;The Research Funds for the Doctoral Program of Higher Education of China(No.2012018412006)

摘要：歐空局早期公布的時域法和空域法解算的GOCE模型均采用能量守恒法處理軌道數(shù)據(jù)，但恢復(fù)的長波重力場信號精度較低，而且GOCE衛(wèi)星在兩極存在數(shù)據(jù)空白，利用其觀測數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型是一個不適定問題，導(dǎo)致解算的模型帶諧項精度較低，需進(jìn)行正則化處理。本文分析了基于軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型的方法用于處理GOCE數(shù)據(jù)的精度，對最優(yōu)正則化方法和參數(shù)的選擇進(jìn)行了研究。利用GOCE衛(wèi)星2009-11-01—2010-01-31共92d的精密軌道數(shù)據(jù)，采用不依賴先驗信息的能量守恒法、短弧積分法和平均加速度法恢復(fù)GOCE重力場模型，利用Tikhonov正則化技術(shù)處理病態(tài)問題。結(jié)果表明，平均加速度法恢復(fù)模型的精度最高，能量守恒法的精度最低，短弧積分法的精度稍差于平均加速度法。未來聯(lián)合處理軌道和梯度數(shù)據(jù)時，建議采用平均加速度法或短弧積分法處理軌道數(shù)據(jù)，并且軌道數(shù)據(jù)可有效恢復(fù)120階次左右的模型。Kaula正則化和SOT處理GOCE病態(tài)問題的效果最好，并且兩者對應(yīng)的最優(yōu)正則化參數(shù)基本一致，但利用正則化技術(shù)不能完全抑制極空白問題的影響，需要聯(lián)合GRACE等其他數(shù)據(jù)才能獲得理想的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：GOCE衛(wèi)星；地球重力場模型；能量守恒法；短弧長積分法；平均加速度法；正則化技術(shù)

1引言

GOCE(Gravity Field and Steady-state Ocean Circulation Explorer)于2009年3月成功發(fā)射，其任務(wù)目標(biāo)是在空間分辨率優(yōu)于100km的尺度上測定重力異常的精度優(yōu)于1~2mGal，大地水準(zhǔn)面的精度優(yōu)于1cm[1]。GOCE衛(wèi)星采用衛(wèi)星高低跟蹤和重力梯度測量相結(jié)合的模式，可以恢復(fù)高精度高分辨率的靜態(tài)全球重力場模型。利用低軌衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)恢復(fù)地球重力場模型的方法有很多鐘，歸納起來主要有Kaula線性攝動法[2]、動力學(xué)積分法[3]、短弧積分法[4-6]、點加速度法[7-8]、平均加速度法[9-10]、能量守恒法[11-12]和天體力學(xué)法[13-14]等。

文獻(xiàn)[15]認(rèn)為基于軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型可以從3個層次進(jìn)行分析，基于軌道的Fredholm形式的積分、基于速度的運(yùn)動方程積分和基于加速度的運(yùn)動方程，分別可以采用短弧積分法、能量守恒法和加速度法處理觀測數(shù)據(jù)，只有軌道數(shù)據(jù)是直接觀測量，速度和加速度均是對軌道數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值微分而獲得。需要指出的是，Kaula線性攝動法、動力學(xué)積分法和天體力學(xué)法所采用的思想與前面所述有所不同，這3種方法均是基于衛(wèi)星軌道擾動原理建立位系數(shù)和衛(wèi)星星歷擾動的關(guān)系，需要采用先驗信息，并且計算量大。本文主要分析短弧積分法、能量守恒法和平均加速度法，這3種方法均不需要先驗信息，可以獨立評價GOCE觀測數(shù)據(jù)恢復(fù)模型的精度。短弧積分法是基于牛頓運(yùn)動方程將衛(wèi)星軌道表示成Fredholm積分方程形式的邊值問題，不需要初始參考信息，文獻(xiàn)[4]對其進(jìn)行了深入研究，文獻(xiàn)[6]對短弧積分法進(jìn)行力模型梯度改正，取得了較好的效果。能量守恒法是將衛(wèi)星的狀態(tài)矢量與受力情況同引力位系數(shù)聯(lián)系起來，建立能量守恒方程來恢復(fù)位系數(shù)，文獻(xiàn)[11]首次將該方法用于實測低軌衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星的數(shù)據(jù)處理。加速度法又分為點加速度法和平均加速度法，直接利用牛頓第二定律建立衛(wèi)星加速度和位系數(shù)的函數(shù)關(guān)系，該方法直觀簡單，但衛(wèi)星加速度是通過數(shù)值微分或差分方法獲得，在微分或差分的過程中會放大高頻誤差，本文主要對平均加速度法進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[16—17]對這些方法進(jìn)行了簡單的綜合分析，均認(rèn)為能量守恒法的精度最差，而加速度法的精度較高。

利用GOCE衛(wèi)星實測數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場的研究是物理大地測量學(xué)的一個熱點，文獻(xiàn)[18]利用能量守恒法處理軌道數(shù)據(jù)，結(jié)合梯度數(shù)據(jù)采用最小二乘法恢復(fù)了210階地球重力場模型。文獻(xiàn)[19]比較了時域法、空域法和直接法恢復(fù)重力場模型的差別，同時采用短弧積分法和能量守恒法處理軌道數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[20]對短弧長積分法進(jìn)行了模擬分析，并將其用于恢復(fù)GOCE重力場模型。文獻(xiàn)[6]將其用于GOCE重力場的恢復(fù)，并聯(lián)合GRACE數(shù)據(jù)分析了有無梯度改正對模型精度的影響。文獻(xiàn)[21]研究了聯(lián)合GOCE軌道和梯度數(shù)據(jù)的譜組合法，并利用實測數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗證，文獻(xiàn)[22]通過分析認(rèn)為利用加速度法恢復(fù)GOCE重力場的長波部分精度最好。目前ESA(European Space Agency)公布的官方GOCE模型中，早期模型采用能量守恒法處理軌道數(shù)據(jù)，后期模型部分采用短弧積分法。

哪種方法最適合處理GOCE軌道數(shù)據(jù)，目前還沒有比較完整的研究。本文利用GOCE衛(wèi)星精密軌道觀測數(shù)據(jù)，分別采用短弧積分法、能量守恒法和平均加速度法恢復(fù)重力場模型，分析3種方法用于恢復(fù)GOCE重力場模型的精度和特點，同時分析了GOCE軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型的最優(yōu)正則化方法和參數(shù)的選擇。

2利用軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型的觀測方程

2.1能量守恒法的觀測方程

GOCE衛(wèi)星在慣性系下的能量守恒觀測方程可以表示為[12]

(1)

2.2短弧積分法的觀測方程

基于牛頓運(yùn)動方程將衛(wèi)星軌道表示成Fredholm積分方程形式的邊值問題，可以得到短弧積分法的觀測方程[4]

(2)

2.3平均加速度法的觀測方程

(3)

2.4誤差方程建立與求解

fNC=a0+b0sinν+c0cosν

(4)

式中，a0、b0、c0分別表示加速度的偏差和振幅參數(shù)，文中稱為局部未知參數(shù)；ν表示真近點角，本文采用ν=2πt/ta，ta=5400s表示GOCE衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的周期，需要注意的是,式(4)只有在局部軌道坐標(biāo)系中才成立，使用時需要將其轉(zhuǎn)換至慣性系中。

最后，采用Helmert-Wolf參數(shù)估計方法建立誤差方程并采用消局部參數(shù)的最小二乘法建立法方程進(jìn)行求解

V=AX+BY-L

(5)

式中，V為觀測值改正向量；X為位系數(shù)向量，稱為全局未知參數(shù)；Y為殘差加速度的偏差、振幅向量，稱為局部未知參數(shù)；A和B為兩類未知參數(shù)的系數(shù)矩陣；L為常數(shù)陣。

3利用GOCE軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型

3.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

ESA提供了GOCE衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù)SST_PSO_2，本文采用2009-11-01—2010-01-31共92d的軌道數(shù)據(jù)，主要利用其中的約化動力學(xué)軌道數(shù)據(jù)(SST_PKI_2)、幾何學(xué)軌道數(shù)據(jù)(SST_PRD_2) 和四元素數(shù)據(jù)(SST_PRM_2)。約化動力學(xué)軌道是通過對力模型積分得到，受到先驗重力場模型的影響，而幾何學(xué)軌道數(shù)據(jù)由GPS跟蹤數(shù)據(jù)直接解算得到，不受先驗信息的影響[23]。幾何學(xué)軌道數(shù)據(jù)包含粗差，并且存在大量的數(shù)據(jù)間斷，而約化動力學(xué)軌道比較平滑且一般不存在間斷，因此本文采用約化動力學(xué)軌道作為參考，對幾何學(xué)軌道進(jìn)行粗差和間斷探測。為了完全避免先驗重力場的影響，對探測出來的粗差和間斷只進(jìn)行標(biāo)記而不處理，恢復(fù)重力場模型時跳過標(biāo)記數(shù)據(jù)，只利用不含粗差和間斷的數(shù)據(jù)。因此本文實際用于重力場恢復(fù)的數(shù)據(jù)為幾何學(xué)軌道數(shù)據(jù)和四元素數(shù)據(jù)，其中四元素數(shù)據(jù)用來獲得地固系(ERF)至慣性系(IRF)的轉(zhuǎn)換矩陣。

3.2精度評定

采用不同重力場模型位系數(shù)差的階誤差評定本文解算出的重力場模型精度

(6)

本文采用的參考模型為EIGEN-5C，同時選取GO-CONS-GCF-2-TIM(后文簡稱TIM)系列模型作為對比模型，主要是原因是TIM系列模型是GOCE的官方公布的模型之一，其主要特點是該系列模型未采用先驗信息，完全利用GOCE數(shù)據(jù)解算得到，該系列模型處理軌道數(shù)據(jù)時采用的方法不完全一樣，其中R1至R3均采用能量守恒法，而R4采用短弧積分法。

3.3實測數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型

本文的計算工作在Intel Core i7-3930K 6核12線程的計算機(jī)上進(jìn)行，主頻為3.20GHz，內(nèi)存為24GB；采用Intel Fortran Compiler XE 13.1編譯器和MKL 11.0(Math Kernel Library)數(shù)學(xué)函數(shù)庫，并利用OpenMP對程序進(jìn)行并行化處理?；謴?fù)重力場模型時，本文將92d的數(shù)據(jù)分為若干弧段，然后將每個弧段形成的法方程累加后求解位系數(shù)，這樣可以減少內(nèi)存的開銷。根據(jù)試驗分析，能量守恒法的最佳弧段長度選擇45min；短弧積分法的最佳弧長選擇20min，多項式階數(shù)選擇9階；平均加速度法的最佳弧段長度選擇40min，多項式階數(shù)選擇12階。分別采用能量守恒法(文中以EBA表示)、短弧積分法(文中以SAIA表示)和平均加速度法(文中以AAA表示)各恢復(fù)120階和130階兩組重力場模型，并比較各模型與TIM系列模型的階方差(見圖1)，在力模型提前計算完成的情況下，能量守恒法恢復(fù)重力場模型的效率最高，短弧積分法次之，平均加速度法的效率最低。

圖1　階方差對比Fig.1　Comparison of degree variances

從圖1可以看出，能量守恒法恢復(fù)的模型精度最低，平均加速度法的精度最高，主要是由于能量守恒法只與衛(wèi)星沿軌方向的分量有關(guān)，而不能充分利用軌道垂向和徑向分量的觀測信息。平均加速度法和短弧積分法在60階以前的精度優(yōu)于TIM前兩代模型R1和R2，在30階以前的精度優(yōu)于R3模型，而與R4模型相比，在20階以前部分階次精度互有優(yōu)劣。因此本文建議未來聯(lián)合處理GOCE軌道和梯度數(shù)據(jù)時，最好采用平均加速度法或短弧積分法處理軌道數(shù)據(jù)。利用GOCE軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)的重力場模型的階方差出現(xiàn)鋸齒狀的振蕩現(xiàn)象，主要原因是受數(shù)據(jù)極空白的影響，利用GOCE數(shù)據(jù)恢復(fù)模型的帶諧項精度較低。

同時發(fā)現(xiàn)，利用92d的數(shù)據(jù)恢復(fù)130階的重力場模型，在120階以后精度出現(xiàn)驟降，是否可以確定利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)只能有效恢復(fù)120階的重力場模型呢？為了說明這個問題，分別采用92d(2009-11-01—2010-01-31)、185d(2011-02-28—2011-08-31)和372d(2011-02-28—2012-03-05)的GOCE軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)130階的重力場模型(見圖2)，可以看出，在120階以后精度均出現(xiàn)驟降，只是隨著觀測數(shù)據(jù)量的增多，位系數(shù)的精度略有提高而已，因此本文認(rèn)為利用GOCE軌道數(shù)據(jù)只能有效恢復(fù)120階左右的重力場模型，在120階后精度驟降的原因主要是混疊誤差而不是截斷誤差，如果是截斷誤差，那么隨著恢復(fù)模型的階數(shù)增加，模型的精度出現(xiàn)驟降的現(xiàn)象會不斷減弱，但事實并非如此，出現(xiàn)此現(xiàn)象的具體原因還有待進(jìn)一步分析。ESA官方發(fā)布的TIM系列模型的前3代利用軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)的最大階數(shù)均為100階次，而R4恢復(fù)了130階次的模型，從本文的結(jié)果來看，聯(lián)合軌道和梯度數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型時，軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)的模型階數(shù)最好不要超過120階次。

圖2　不同數(shù)據(jù)量恢復(fù)模型的階方差對比Fig.2　Comparison of degree variances among models by different amount of data

3.4正則化方法和參數(shù)的選擇

由于GOCE衛(wèi)星軌道為近圓形太陽同步晨昏傾斜軌道，軌道傾角約為96.7°，在兩極附近各有約6.7°的軌道覆蓋空白區(qū)域，利用GOCE觀測數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型將是一個不適定問題，采用最小二乘法解算時形成的法方程矩陣是病態(tài)的。許多學(xué)者對病態(tài)問題進(jìn)行了深入研究，本文采用目前使用最廣泛的Tikhonov正則化方法。根據(jù)式(5)可以得求解位系數(shù)的正則化解為

(7)

確定正則化矩陣K后還要確定合適的正則化參數(shù)α，正則化參數(shù)主要起到平衡觀測誤差和正則化誤差對參數(shù)估計影響的作用，目前確定最優(yōu)正則化參數(shù)的方法主要有L曲線法、廣義交叉檢驗法GCV、廣義不符原理和方差分量估計法等[24]，但這些方法在確定最優(yōu)正則化參數(shù)的過程中均需重復(fù)形成設(shè)計矩陣來計算觀測值殘差，計算過程相當(dāng)耗時，因此本文采用文獻(xiàn)[25]中的方法，基于恢復(fù)的大地水準(zhǔn)面誤差RMS最小的準(zhǔn)則來確定最優(yōu)正則化參數(shù)。特別指出的是，真實參考重力場模型無法獲得，因此以大地水準(zhǔn)面誤差RMS最小準(zhǔn)則來確定最優(yōu)正則化參數(shù)在理論上是有缺陷的，實際處理時只能選擇精度較高的模型作為參考，得到的最優(yōu)正則化參數(shù)是近似值，處理高采樣率的GOCE數(shù)據(jù)時采用這種解算方法是硬件條件受限制時的一種折中方案。

基于3種方法分別恢復(fù)120階重力場模型，以全球范圍內(nèi)1.0°×1.0°的大地水準(zhǔn)面格網(wǎng)值計算的大地水準(zhǔn)面誤差RMS作為評價正則化方法和參數(shù)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)(見圖3(a)—(c))，可以看出，平均加速度法的最優(yōu)正則化方法為Kaula正則化和SOT，最優(yōu)正則化參數(shù)均為1×10-1；能量守恒法的最優(yōu)正則化方法為Kaula正則化和SOT，最優(yōu)正則化參數(shù)分別為5×108和4×108；短弧積分法的最優(yōu)正則化方法為FOT，最優(yōu)正則化參數(shù)為6×107，但Kaula正則化和SOT也能達(dá)到相近的效果。總體來看，Kaula正則化和SOT處理GOCE病態(tài)問題的效果基本一樣，F(xiàn)OT的效果次之，ZOT的效果最差。能量守恒法受極空白的影響較大，病態(tài)性較嚴(yán)重，而平均加速度法和短弧積分法受極空白的影響較小，其中平均加速度法受極空白的影響最小。同時從圖3(d)可以看出經(jīng)過正則化處理之后，利用3種方法恢復(fù)的模型在80階以前的精度優(yōu)于TIM前兩代模型R1和R2，其中平均加速度法和短弧積分法恢復(fù)的模型在80階以前的精度優(yōu)于R3，并與R4的精度較為接近。

圖3　正則化方法和參數(shù)比較Fig.3　Comparison of regularization techniques and parameters

基于前面的分析，采用最優(yōu)正則化方法和參數(shù)分別利用3種方法恢復(fù)重力場模型，并計算其在南極地區(qū)0.5°×0.5°的大地水準(zhǔn)面誤差，與未正則化模型的計算值進(jìn)行比較(見圖4)，圖4(a)—(c)分別表示平均加速度法、短弧積分法和能量守恒法解算的結(jié)果；圖4(d)—(f)為對應(yīng)的正則化后的結(jié)果?？梢钥闯?，3種方法恢復(fù)的模型在極區(qū)的精度較差，特別是能量守恒法恢復(fù)的模型、平均加速度法和短弧積分法恢復(fù)的模型精度基本相當(dāng)。經(jīng)正則化處理后，3種方法恢復(fù)模型在極區(qū)的精度均有明顯改善，說明正則化方法對PG問題有明顯的抑制效果，但卻不能完全消除PG問題帶來的影響，因此為了恢復(fù)高精度、全波段的重力場信號，單獨采用GOCE數(shù)據(jù)和正則化技術(shù)難以滿足要求，還需要聯(lián)合其他數(shù)據(jù)(如GRACE數(shù)據(jù))進(jìn)行分析處理。

4結(jié)論

本文利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)，基于能量守恒法、短弧積分法和平均加速度法恢復(fù)重力場模型，比較了3種方法處理GOCE軌道數(shù)據(jù)的精度，分析了正則化方法和參數(shù)的選擇問題，得出了一些有益的結(jié)論，為進(jìn)一步聯(lián)合GOCE軌道和梯度數(shù)據(jù)以及GRACE數(shù)據(jù)恢復(fù)高精度高分辨率重力場模型提供重要的參考和借鑒。

(1) 利用平均加速度法恢復(fù)GOCE重力場模型的精度最高，主要原因是該方法受數(shù)據(jù)極空白的影響較小，利用該方法恢復(fù)模型的精度在60階以內(nèi)優(yōu)于R1和R2模型，在30階以內(nèi)優(yōu)于R3模型，在20階以內(nèi)與R4模型的精度相當(dāng)，短弧積分法的精度稍差于平均加速度法，能量守恒法的精度最低。因此，建議未來聯(lián)合GOCE軌道和梯度數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場模型時，最好采用平均加速度法或短弧積分法處理軌道數(shù)據(jù)。

(2) 利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)可有效恢復(fù)120階左右的模型，超過120階以后位系數(shù)的精度較低。

(3) Kaula正則化和SOT處理GOCE病態(tài)問題的效果最好，并且兩者對應(yīng)的最優(yōu)正則化參數(shù)基本一致，對于能量守恒法、短弧積分法和平均加速度法的最優(yōu)正則化方法分別為Kaula正則化、FOT和Kaula正則化或SOT，對應(yīng)的最優(yōu)正則化參數(shù)分別為5×109、6×107和1×10-1，正則化技術(shù)對PG問題有明顯的抑制效果，聯(lián)合GRACE等其他數(shù)據(jù)可望進(jìn)一步減小PG問題的影響。

致謝：感謝ESA提供所需GOCE衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù)。

圖4　3種方法正則化前后解算的模型在南極地區(qū)的大地水準(zhǔn)面誤差比較Fig.4　Comparison of geoid error in south pole among regularization by three methods

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

修回日期： 2014-09-17

Firstauthor：SUYong(1987—),male,PhDcandidate,majorsinsatellitegravitytechnique.

E-mail：suyongme@foxmail.com

中圖分類號：P223

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-1595(2015)02-0142-08

基金項目：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項(SWJTU10ZT02；SWJTU12BR012)；西南交通大學(xué)博士研究生創(chuàng)新基金；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(2012018412006)

收稿日期：2013-12-03

第一作者簡介：蘇勇(1987—)，男，博士生，主要研究方向為衛(wèi)星重力測量。

Abstract：The energy conservation approach has been adopted to exploit GOCE orbit information in earlier GOCE time-wise and space-wise gravity field models which are two kinds of official ESA products, but the accuracy of long-wavelength gravity signal is low. Gravity field recovery with GOCE satellite data is an ill-posed problem and the precision of zonal coefficients is low due to the polar gaps, which needs be processed by regularization technique. This paper analyzes the accuracy of existing approaches for gravity field recovery in processing GOCE data and the selection of optimal regularization techniques and parameters. Several gravity field models were recovered based on GOCE precise orbits of 92-days from 2009-11-01 to 2010-01-31 with the energy conservation approach, short-arc integral approach and average acceleration approach. These approaches do not require any initial values of unknown parameters and reference gravity models. Besides, the Tikhonov regularization technique was applied to tackle the ill-posed problem. The results show that the highest accuracy of the model is recovered by the average acceleration approach, the lowest accuracy is the energy conservation approach, and the accuracy of short-arc integral approach is slightly worse than average acceleration approach. Therefore, such methods as the average acceleration approach or short-arc integral approach should be recommended to be applied when processing the GOCE orbit data. Gravity field models can effectively recovered by GOCE orbit data with the order and degree 120 when orbit and gradiometer data are combined to processes in the future. Kaula regularization and second-order Tikhonov (SOT) are superior to other regularization techniques in dealing with ill-posed problem of GOCE, and the corresponding optimal regularization parameters of both techniques are consistent. However, the effects of polar gaps could not be completely inhibited by regularization technique; it should be combined with other data, such as GRACE satellite data, to get the desired results.

Key words：GOCE satellite; gravity field model; energy conservation approach; short-arc integral approach; average acceleration approach; regularization technique

引文格式：SU Yong, FAN Dongming, YOU Wei.Various Approaches for Gravity Field Recovery by Using the GOCE Satellite Orbits[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2015,44(2):142-149.(蘇勇，范東明，游為. 利用GOCE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)地球重力場模型的方法[J].測繪學(xué)報，2015,44(2)：142-149.) DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20130412