聶志喜，王振杰，歐吉坤，姬生月

1. 中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 山東 青島 266580; 2. 中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430077

On the Effect of Linearization and Approximation of Nonlinear Baseline Length Constraint for Ambiguity Resolution

NIE Zhixi1,WANG Zhenjie1,OU Jikun2,JI Shengyue1

1. School of Geosciences， China University of Petroleum， Qingdao 266580， China; 2. State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,Institute of Geodesy & Geophysics of CAS， Wuhan 430077， China

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China(Nos.41174015;41231064;41374008);The Fundamental Research Funds for the Central Universities(No.14CX06073A)

非線性基線長約束條件線性化近似對模糊度解算的影響

聶志喜1，王振杰1，歐吉坤2，姬生月1

1. 中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 山東 青島 266580; 2. 中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430077

OntheEffectofLinearizationandApproximationofNonlinearBaselineLengthConstraintforAmbiguityResolution

NIEZhixi1,WANG Zhenjie1,OU Jikun2,JI Shengyue1

1.SchoolofGeosciences，ChinaUniversityofPetroleum，Qingdao266580，China; 2.StateKeyLaboratoryofGeodesyandEarth’sDynamics,InstituteofGeodesy&GeophysicsofCAS，Wuhan430077，China

Foundationsupport：TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(Nos.41174015;41231064;41374008);TheFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(No.14CX06073A)

摘要：GNSS動態(tài)相對定位中常附加非線性的基線長約束進(jìn)行解算，而LAMBDA方法只能處理無約束或者線性約束的模型，為了應(yīng)用LAMBDA方法，應(yīng)對非線性約束條件進(jìn)行線性化近似。通常附加該約束后，模糊度固定成功率會提高，但對于超短基線有時(shí)反而會降低。何種條件下附加線性化近似的基線長約束條件可以提高模糊度固定成功率尚未有定論。本文基于附加基線長約束的GNSS相對定位數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)基線長約束條件線性化近似余項(xiàng)對浮點(diǎn)解的最大影響值公式，給出基線長約束能否線性化近似的診斷條件。當(dāng)該條件滿足時(shí)，線性化近似余項(xiàng)影響可以忽略，附加線性化近似的基線長約束可以改善浮點(diǎn)解解算精度，提高模糊度固定成功率；若不滿足，則線性化近似余項(xiàng)影響可能不可以忽略，附加約束會因浮點(diǎn)解有偏不能固定為正確的模糊度，并通過算例驗(yàn)證了相關(guān)結(jié)論。

關(guān)鍵詞：動態(tài)相對定位;基線長約束;線性化近似;余項(xiàng)影響;診斷條件

GNSS動態(tài)相對定位應(yīng)用越來越廣泛，典型的領(lǐng)域有姿態(tài)測量[1-4]、衛(wèi)星編隊(duì)飛行[5-7]、變形監(jiān)測[8-9]等。對于動態(tài)相對定位，特別是單歷元的動態(tài)相對定位，由于模型誤差大、觀測信息少以及觀測質(zhì)量差之類的原因，單純利用GNSS觀測數(shù)據(jù)難以固定整周模糊度。國內(nèi)外研究者常通過附加約束條件或者額外的觀測量(本文中統(tǒng)稱為約束條件)來輔助定位，基線長是常用的約束條件[1-4，10-11]。

LAMBDA方法只能處理無約束或者線性約束的模型，而基線長是非線性約束條件，為了應(yīng)用傳統(tǒng)的LAMBDA方法進(jìn)行解算，必須將非線性約束條件進(jìn)行線性化近似。文獻(xiàn)[10]將基線長約束條件線性化近似后參與模糊度浮點(diǎn)解的解算，同時(shí)在模糊度固定解的搜索中也將基線長作為檢核條件。文獻(xiàn)[12]在浮點(diǎn)解的解算中也引入了基線長線性化的約束方程，并認(rèn)為對坐標(biāo)的約束可以提高浮點(diǎn)解的精度，而對模糊度的約束可以縮小模糊度搜索空間。文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn)若將基線長約束直接線性化近似參與解算，由于基線長約束條件存在固有曲率問題，只有較長的基線長約束才能提高模糊度固定成功率的效果，而且指出當(dāng)GNSS偽距觀測值精度提高時(shí)，基線長的限制可以更短，但文中沒有給出具體的理論說明。在實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)有時(shí)將基線長條件線性化以后參與解算，固定模糊度成功率反而不如不加約束。原因何在？何時(shí)附加線性化的基線長約束有利于解算模糊度？本文將圍繞這些問題展開探討，首先從附加基線長約束的GNSS相對定位數(shù)學(xué)模型出發(fā)，推導(dǎo)了基線長約束條件線性化近似余項(xiàng)對浮點(diǎn)解的最大影響值公式，據(jù)此給出了一個(gè)基線長約束條件能否線性化近似的診斷條件，然后用算例驗(yàn)證了本文提出的相關(guān)結(jié)論。

1數(shù)學(xué)模型及其解算

1.1數(shù)學(xué)模型

GPS雙差誤差方程[13]

(1)

式中，VP、VL分別為碼偽距和相位偽距雙差觀測方程誤差向量；dX∈R為基線分量改正數(shù)向量；N∈Z為雙差模糊度向量；A1、BL為對應(yīng)的系數(shù)矩陣；LP、LL分別為碼偽距和相位偽距雙差觀測向量。

V=AdX+BN-L,P

(2)

設(shè)基線長約束條件的方程為

(3)

式(2)和式(3)構(gòu)成了基線長約束條件下GNSS相對定位的數(shù)學(xué)模型。

1.2模型解算

(4)

余項(xiàng)表達(dá)式如下

(5)

vx=CdX-Lxpx

(6)

(7)

在如下準(zhǔn)則下解算

(8)

對式(8)進(jìn)行正交分解[14]

(9)

(10)

(11)

式(1)中相位雙差觀測方程消除參數(shù)N的等價(jià)方程為[19]

UL=A2dX-LLPL

(12)

A2可由式(13)計(jì)算

(13)

式(12)和(13)中，E為單位矩陣；UL為新的殘差向量，且與式(1)中的VL有相同特性。

V′=A′dX-LP

(14)

綜合式(6)、式(14)，可得附加約束條件的基線改正數(shù)浮點(diǎn)解

(15)

式中

(16)

代入原始相位雙差觀測方程，可得到雙差模糊度的浮點(diǎn)解

(17)

(18)

單位權(quán)中誤差計(jì)算式如下

(19)

r為數(shù)學(xué)模型式(7)的自由度。

估計(jì)參數(shù)協(xié)方差陣為

(20)

2余項(xiàng)影響及診斷條件

令

(21)

R2為式(5)所表示的余項(xiàng)，將式(21)代入式(3)、式(4)，并顧及估計(jì)準(zhǔn)則，可得到考慮余項(xiàng)的基線浮點(diǎn)解

(22)

約束條件方程線性化近似得到的基線浮點(diǎn)解是有偏的，偏差即基線浮點(diǎn)解的余項(xiàng)影響為

(23)

結(jié)合式(1)的相位偽距雙差觀測方程，可知雙差模糊度浮點(diǎn)解的余項(xiàng)影響

(24)

令

(25)

(26)

(27)

根據(jù)瑞利商的性質(zhì)[20]可知

r≤λmax

(28)

式中，λmax為H的最大特征值。

結(jié)合式(5)，可得

(29)

(30)

令

(31)

G滿足

(32)

則

(33)

再利用瑞利商的性質(zhì)，可得到

(34)

從式(31)可知，Y為以0向量為均值，單位陣為協(xié)方差陣的隨機(jī)量，因此YTY是以3為自由度的卡方分布[21]，取置信水平為1-α，有

(35)

在余項(xiàng)影響可以忽略的前提下，余項(xiàng)滿足下式

(36)

則基線浮點(diǎn)解最大余項(xiàng)影響(maxinfluenceofbaseline’sfloatsolution，MIB)為

(37)

雙差模糊度浮點(diǎn)解最大余項(xiàng)影響(maxinfluenceofdouble-differenceambiguity’sfloatsolution，MIA)為

MN=

(38)

上式表明最大余項(xiàng)影響不僅與基線長、基線的方向有關(guān)，而且受GNSS觀測結(jié)構(gòu)和精度影響。

下面討論什么情況下根據(jù)模糊度浮點(diǎn)解來固定模糊度時(shí)不受余項(xiàng)影響，假定采用降相關(guān)處理(Z變換)的LAMBDA方法[15-18]來固定整周模糊度，令T=ZTMN，若T中每個(gè)元素的絕對值都小于0.1周，余項(xiàng)影響對模糊度取整一般就不會造成偏差，故可取診斷條件

(39)

(40)

3算例分析

3.1較長基線算例

基線GP01—GP02，長約1200m，采樣率為5s，截取2013-5-11 2∶21∶50至2013-5-11 2∶51∶45(GPS時(shí)間)的觀測數(shù)據(jù)，該時(shí)間段內(nèi)G12、G14、G18、G22、G24、G25、G31一直可見，相位觀測值也沒有發(fā)生周跳。選取G22(高度角最大)為參考星，利用靜態(tài)解算得到的基線長1226.009m，L1上的雙差模糊度依次為6、1、-2、-4、11、-49，L2上的雙差模糊度依次為6、3、0、-4、11、44。以靜態(tài)解算得到的基線長為約束條件，碼偽距觀測值、相位偽距觀測值、基線長約束的先驗(yàn)精度分別取3dm、3mm和3mm，根據(jù)初始值計(jì)算的雙差模糊度最大余項(xiàng)影響隨歷元變化見圖1，由圖可知雙差模糊度最大余項(xiàng)影響都小于0.01周；診斷值隨歷元變化見圖2，顯然均滿足診斷條件。

設(shè)計(jì)兩種浮點(diǎn)解解算方案。

方案1：單純利用GPS雙頻雙碼觀測值解算。

方案2：利用GPS雙頻雙碼觀測值附加基線長約束。

兩種方案都采用LAMBDA方法固定模糊度，固定正確率分別為96.3%、100.0%，可見如果滿足診斷條件，余項(xiàng)影響就可以忽略，將基線長約束條件線性化近似參與浮點(diǎn)解解算可以改善浮點(diǎn)解解算的精度，提高模糊度固定的成功率。

圖1　GP01—GP02雙差模糊度最大余項(xiàng)影響歷元變化曲線Fig.1　The change of GP01—GP02’s MIAs over epoch

圖2　GP01—GP02余項(xiàng)影響診斷值歷元變化曲線Fig.2　The change of GP01—GP02’s TEVs over epoch

3.2超短基線算例

實(shí)測基線P391-P416，長約4.5m，采樣率為5s，時(shí)間段(GPS時(shí))：2013-3-11 7:22:40至2013-3-11 7:52:35，該時(shí)間段內(nèi)可見衛(wèi)星一直有G12、G14、G18、G22、G25、G31，沒有發(fā)生周跳。選取G14為參考星，利用靜態(tài)解算得到的基線長4.488m，L1上的雙差模糊度依次為1、-1、0、1、15，L2上的雙差模糊度依次為-8、-9、-5、0、15。同樣以基線長為約束條件，觀測值和基線長約束的先驗(yàn)精度與前面一樣，雙差模糊度最大余項(xiàng)影響隨歷元變化見圖3，大致在周的量級，診斷值隨歷元變化見圖4，顯然都不滿足診斷條件。

圖3　P391—P416雙差模糊度最大余項(xiàng)影響歷元變化曲線Fig.3　The change of P391—P416 MIAs over epoch

圖4　P391—P416余項(xiàng)影響診斷值歷元變化曲線Fig.4　The change of P391—P416 TEVs over epoch

采用與算例1相同的兩種浮點(diǎn)解解算方案，模糊度固定正確率分別為100.0%、39.9%。如果診斷條件不滿足時(shí)，余項(xiàng)影響可能會比較大，不能忽略，將基線長約束條件線性化近似參與浮點(diǎn)解解算會因?yàn)楦↑c(diǎn)解有偏而不能固定為正確模糊度。

3.3基線長與診斷值的關(guān)系

為了認(rèn)識雙差模糊度最大余項(xiàng)影響及診斷值隨基線長單一因素的變化情況，利用GP01—GP02第1個(gè)歷元的數(shù)據(jù)算出式(38)右邊除λmax之外的其他參數(shù)，固定參考站至定位站的方向(也即C，C實(shí)際上是參考站至定位站的單位向量，該處理旨在可以利用前面計(jì)算的參數(shù))，用不同基線長度算出的雙差模糊度最大余項(xiàng)影響及余項(xiàng)影響診斷值變化情況分別見圖5、圖6。可以看出，基線長從1m到20m，相應(yīng)計(jì)算出來的雙差模糊度最大余項(xiàng)影響下降很快，大約到60m時(shí)，各雙差模糊度最大余項(xiàng)影響都已在±0.1周以內(nèi)，大致在78m時(shí)，余項(xiàng)影響診斷值已滿足了診斷條件。由于最大余項(xiàng)影響不僅與基線長、基線的方向有關(guān)，而且受GNSS觀測結(jié)構(gòu)和精度影響，因此其他算例中的具體數(shù)值可能會與本算例有細(xì)微差別，但總趨勢應(yīng)一致。

圖5　雙差模糊度最大余項(xiàng)影響隨基線長變化曲線Fig.5　The change of MIAs with baseline’s length

圖6　余項(xiàng)影響診斷值隨基線長變化曲線Fig.6　The change of TEVs with baseline’s length

4結(jié)束語

本文基于附加基線長約束的GNSS相對定位數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了基線長約束條件線性化近似余項(xiàng)對浮點(diǎn)解的最大影響值公式，從公式可以看出最大余項(xiàng)影響不僅與基線長、基線方向有關(guān)，而且受GNSS觀測結(jié)構(gòu)和精度影響。然后給出了一個(gè)基線長約束能否線性化近似的診斷條件，該條件是充分條件，但非必要條件。滿足該條件時(shí)，線性化近似余項(xiàng)影響可以忽略，附加線性化近似的基線長約束可以提高浮點(diǎn)解解算的精度，加快模糊度的固定；若不滿足，則線性化近似余項(xiàng)影響可能不可以忽略，附加約束會因浮點(diǎn)解偏差較大不能固定為正確的模糊度。文中通過相關(guān)算例驗(yàn)證了前述結(jié)論，此外還結(jié)合實(shí)例探究了線性化余項(xiàng)最大影響與基線長的變化關(guān)系，算例結(jié)果顯示基線長從1m到20m，雙差模糊度最大余項(xiàng)影響隨之下降很快；大約到60m時(shí)，各雙差模糊度最大余項(xiàng)影響都已在±0.1周以內(nèi)；大于78m時(shí)均滿足診斷條件，可以線性化處理基線長條件。

參考文獻(xiàn)：

[1]WANGB,MIAOL,WANGS,etal.AConstrainedLAMBDAMethodforGPSAttitudeDetermination[J].GPSSolutions, 2009, 13(2): 97-107.

[2]TEUNISSENPJG.IntegerLeast-SquaresTheoryfortheGNSSCompass[J].JournalofGeodesy, 2010, 84(7): 433-447.

[3]TEUNISSENPJ,GIORGIG,BUISTPJ.TestingofaNewSingle-frequencyGNSSCarrierPhaseAttitudeDeterminationMethod:Land,ShipandAircraftExperiments[J].GPSSolutions,2011, 15(1): 15-28.

[4]CHENW,QINH.NewMethodforSingleEpoch,SingleFrequencyLandVehicleAttitudeDeterminationUsingLow-endGPSReceiver[J].GPSSolutions, 2012, 16(3): 329-338.

[5]KROESR,MONTENBRUCKO,BERTIGERW,etal.PreciseGRACEBaselineDeterminationUsingGPS[J].GPSSolutions, 2005, 9(1): 21-31.

[6]ARDAENSJS,D’AMICOS,MONTENBRUCKO.FlightResultsfromthePRISMAGPS-basedNavigation[C]∥Proceedingsofthe5thESAWorkshoponSatelliteNavigationTechnologies.Noordwijk:[s.n.],2010：8-10.

[7]MONTENBRUCKO,WERMUTHM,KAHLER.GPSBasedRelativeNavigationfortheTanDEM-XMissionFirstFightResults[J].Navigation, 2011, 58(4): 293-304.

[8]HANBaoming，OUJikun.AGPSSingleEpochPhaseProcessingAlgorithmwithConstraintsforSingle-frequencyReceivers[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica, 2002, 31(4):300-304. (韓保明, 歐吉坤. 一種附約束的單頻單歷元GPS雙差相位解算方法[J]. 測繪學(xué)報(bào), 2002, 31(4) : 300 - 304.)

[9]YUXuexiang,XUShaoquan,LUWeicai.TheResearchofSingleEpochAlgorithmforGPSDeformationMonitorInformation[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica, 2002, 31(2): 123-127.(余學(xué)祥, 徐紹銓, 呂偉才.GPS變形監(jiān)測信息的單歷元解算方法研究[J]. 測繪學(xué)報(bào), 2002, 31(2): 123-127.)

[10]TANGWeiming,SUNHongxing,LIUJingnan.AmbiguityResolutionofSingleEpochSingleFrequencyDatawithBaselineLengthConstraintUsingLAMBDAAlgorithm[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2005, 30(5): 444-446.(唐衛(wèi)明, 孫紅星, 劉經(jīng)南. 附有基線長度約束的單頻數(shù)據(jù)單歷元LAMBDA方法整周模糊度確定[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版, 2005, 30(5): 444-446.)

[11]LIZhenghang,LIUWanke,LOUYidong,etal.HeadingDeterminationAlgorithmwithSingleEpochDual-frequencyGPSData[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2007, 32(9): 753-756.(李征航, 劉萬科, 樓益棟, 等. 基于雙頻GPS數(shù)據(jù)的單歷元定向算法研究[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào): 信息科學(xué)版, 2007, 32(9): 753-756.)

[12]LIBofeng,SHENYunzhong.FastGPSAmbiguityResolutionConstrainttoAvailableConditions[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity,2009, 34(1): 117-121.(李博峰, 沈云中. 附有約束條件的GPS模糊度快速解算[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào): 信息科學(xué)版, 2009, 34(1): 117-121.)

[13]HOFMANN-WELLENHOFB,LICHTENEGGERH,WASLEE.GNSS:GlobalNavigationSatelliteSystems:GPS,GLONASS,Galileo,andMore[M].Berlin:Springer, 2007.

[14]SUYucai,JIANGCuibo,ZHANGYuehui.MatrixTheory[M].Beijing:SciencePress, 2006. (蘇育才,姜翠波,張躍輝.矩陣?yán)碚揫M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2006.)

[15]TEUNISSENPJG.TheLeast-squaresAmbiguityDecorrelationAdjustment:AMethodforFastGPSIntegerAmbiguityEstimation[J].JournalofGeodesy, 1995, 70(2): 65-82.

[16]TEUNISSENPJG,DEJONGEPJ，TIBERIUSCCJM.PerformanceoftheLAMBDAMethodforFastGPSAmbiguityResolution[J].Navigation, 1997,44(3): 373-383.

[17]TEUNISSENPJG.AnOptimalityPropertyoftheIntegerLeast-squaresEstimator[J].JournalofGeodesy, 1999,73(11):587-593.

[18]CHANGXW,YANGX,ZHOUT.MLAMBDA:AModifiedLAMBDAMethodforIntegerLeast-squaresEstimation[J].JournalofGeodesy, 2005, 79(9): 552-565.

[19]XU Guochang. GPS Theory,Algorithms and Application[M].LI Qiang,LIU Guangjun,YU Hailiang,et al, trans. 2nd ed. Beijing: Tsinghua University Press, 2011.(許國昌.GPS理論、算法與應(yīng)用[M]. 李強(qiáng), 劉廣軍, 于海亮, 等，譯.第2版.北京: 清華大學(xué)出版社, 2011.)

[20]WANG Songgui, WU Mixia, JIA Zhongzhen. Matric Inequalities[M]. 2nd ed.Beijing: Science Press, 2006. (王松桂, 吳密霞, 賈忠貞. 矩陣不等式[M]. 第2版.北京: 科學(xué)出版社, 2006.)

[21]SHENG Zhou, XIE Shiqian, PAN Chengyi. Probability Theory and Mathematical Statistics[M].4th ed. Hangzhou:Zhejiang University Press, 2008. (盛驟, 謝式千, 潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].第4版.杭州: 浙江大學(xué)出版社, 2008.)

(責(zé)任編輯：陳品馨)

---------------------

修回日期： 2014-10-26

First author： NIE Zhixi(1988—), male，PhD candidate，majors in GNSS positioning technology.

E-mail： niezhixilib@126.com

中圖分類號：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-1595(2015)02-0168-06

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(41174015；41231064；41374008);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(14CX06073A)

收稿日期：2014-02-24

第一作者簡介：聶志喜(1988—)，男，博士生，研究方向?yàn)镚NSS定位技術(shù)。

Abstract：Additional nonlinear baseline length constraint is often used for GNSS dynamic relative positioning, but the LAMBDA method can only deal with linear constraint model. So, it is necessary to linearize and approximate nonlinear constraint conditions. Linearized approximate constraint usually increases the success rate of fixing integer ambiguity, but for the ultra-short baseline, the opposite results may be derived. When will the linearized approximate baseline length constraint can improve the success rate of fixing ambiguity? This article attempts to answer these questions. Firstly, the float solution’s maximum influence value formula is derived when using linearized approximate baseline length constraint, based on GNSS relative positioning model; Secondly, a discriminant condition is given to determine whether baseline length constraint can be linear approximation. When the condition is met, the influence can be ignored, linearized approximate baseline length constraint can improve the accuracy of float solution and increase the success rate of fixing ambiguity,on the contrast, the influence may not be ignored, linear approximation will result in a biased float solution and the ambiguity cannot be fixed correctly; At last, the foregoing conclusions are verified with some numerical example in this paper.

Key words：dynamic relative positioning；baseline length constraint；linear approximation；remainder term’s influence; discriminant condition

引文格式：NIEZhixi,WANGZhenjie,OUJikun,etal.OntheEffectofLinearizationandApproximationofNonlinearBaselineLengthConstraintforAmbiguityResolution[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2015,44(2):168-173.(聶志喜，王振杰，歐吉坤,等. 非線性基線長約束條件線性化近似對模糊度解算的影響[J].測繪學(xué)報(bào)，2015,44(2)：168-173.)DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20130491