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        計算數(shù)學(xué)研究中理論分析與實踐的辯證關(guān)系

        2016-01-05 18:49:15黃海洋關(guān)宏波劉澤
        黑龍江教育·理論與實踐 2016年2期
        關(guān)鍵詞:辯證關(guān)系

        黃海洋+關(guān)宏波+劉澤

        摘要:從計算數(shù)學(xué)研究出發(fā),闡述計算數(shù)學(xué)與實踐相結(jié)合的辯證關(guān)系,分為“計算數(shù)學(xué)源于實踐” “計算數(shù)學(xué)必須要接受實踐的檢驗”和“計算數(shù)學(xué)能夠應(yīng)用于實踐”三個部分,強調(diào)數(shù)學(xué)不能做假大空的研究,必須與實踐相結(jié)合,才能成為真正有用的科學(xué)。

        關(guān)鍵詞:計算數(shù)學(xué);實踐檢驗;辯證關(guān)系

        哲學(xué)是一些科學(xué)研究的根源,其思想具有宏觀性,而數(shù)學(xué)的研究具有高度的抽象性,是一種文化體系,是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的自然科學(xué),是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論,并進行廣泛應(yīng)用的過程。哲學(xué)是自然知識、社會知識和思維知識的概括和總結(jié),是研究世界觀的學(xué)問,是世界觀和方法論的統(tǒng)一,是人類思維的結(jié)晶與提煉。正如文獻[1]中論述,數(shù)學(xué)和哲學(xué)同為兩門最古老的學(xué)科,在人們不斷認識大自然,認識自我的過程中都發(fā)揮了重要的作用,也都得到了極大的發(fā)展。數(shù)學(xué)與哲學(xué)都具有高度的抽象性,他們之間存在著密切的聯(lián)系。從古至今,數(shù)學(xué)都始終影響著哲學(xué)。數(shù)學(xué)的發(fā)展,加深了對哲學(xué)基本規(guī)律的理解,豐富了哲學(xué)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)有嚴(yán)密的邏輯性,這使得哲學(xué)家都重視對邏輯的研究和運用,哲學(xué)家經(jīng)常用數(shù)學(xué)的研究成果來論證他們的哲學(xué)思想,或者是對數(shù)學(xué)的一些研究成果進行抽象概括,建立哲學(xué)理論,推動哲學(xué)的發(fā)展。反言之,數(shù)學(xué)歷來都是哲學(xué)研究的對象,哲學(xué)作為世界觀,對數(shù)學(xué)發(fā)展起著指導(dǎo)和推動作用。從古代常量數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的形成過程中,哲學(xué)在揭示其內(nèi)涵方面都起到了重要的作用。例如,柏拉圖的理念論哲學(xué)、馬克思主義哲學(xué)等都對數(shù)學(xué)的發(fā)展有非常大的影響。

        R. Murawski在文獻[2]中對哲學(xué)家Bornstein的邏輯與數(shù)學(xué)品質(zhì)的一些主要觀點進行了重述,如集合論的一些概念原理,以及歐式幾何與非歐幾何中的一些區(qū)別進行了闡述。文獻 [3] 和 [4] 都是從數(shù)學(xué)史的角度介紹了數(shù)學(xué)與實踐的關(guān)系。文獻 [5] 對數(shù)學(xué)工作者提出加強數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求,注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用,不做偽科學(xué)。文獻 [6] 主要突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究與工科專業(yè)知識之間的聯(lián)系,特別強調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的講授與教研一定要與工科應(yīng)用結(jié)合起來,注重其在實踐中的應(yīng)用。

        在日常的計算數(shù)學(xué)研究中,針對不同的實際模型問題,要給出相應(yīng)數(shù)值算法的同時,須嚴(yán)格按照因果關(guān)系導(dǎo)出該數(shù)值解與精確解之間的誤差,并找出計算網(wǎng)格剖分加密時,所增加的工作量與誤差之間的關(guān)系。也就是說,當(dāng)工作量增加時,所得到的誤差精度也應(yīng)該指數(shù)倍的提高,如果工作量增加了很多,誤差雖然有所減少,但是減小得不夠劇烈,這說明算法也是不成功的。工作成本與誤差精度之間的關(guān)系,稱之為收斂階,當(dāng)收斂階越高,說明我們的算法就越優(yōu)越。另一方面,在實際研究中,必須利用一個或多個現(xiàn)實中的例子,按照給出的理論算法,編寫程序驗證該算法是否有效可行,與理論分析是否吻合。如果與理論分析不吻合。那就要檢查是程序編寫是否有誤,理論分析是否嚴(yán)禁,并說明相互之間的辯證關(guān)系。直到數(shù)值計算與理論分析的誤差在容許范圍之內(nèi)時,才能夠說明該方法是可以被實踐檢驗的,誠如“實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”。實踐實際上是認識的起點,最終也必將是認識的歸宿所在?,F(xiàn)將計算數(shù)學(xué)與實踐的論證關(guān)系分三個方面闡述如下:

        一、 計算數(shù)學(xué)源于實踐

        目前,計算數(shù)學(xué)中經(jīng)常針對一些重要的數(shù)學(xué)物理方程或模型進行數(shù)值計算和數(shù)值模擬,如計算數(shù)學(xué)中經(jīng)常處理的二階膜問題、四階板問題、拋物方程、Maxwell方程、磁流體方程和最優(yōu)控制問題等都是源于現(xiàn)實生活、工程領(lǐng)域及物理現(xiàn)象的,都有其實際的應(yīng)用背景,即我們的研究是源于實踐的。

        關(guān)于數(shù)學(xué)演變的數(shù)學(xué)故事及數(shù)學(xué)研究已有很多,被數(shù)學(xué)教師經(jīng)常用于課堂上的是關(guān)于數(shù)論的進化過程,由最初原始人用于對所獲得獵物計數(shù)的自然數(shù),到整數(shù)、分?jǐn)?shù),一直到現(xiàn)代文明中出現(xiàn)的無理數(shù)、虛數(shù),還有近年來出現(xiàn)的四元數(shù)研究等等。而高等數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容微積分,是由數(shù)學(xué)家牛頓和萊布尼茨分別獨立完成的,他們的出發(fā)點分別是物理學(xué)和數(shù)學(xué),所給出的引例和定理也是分別針對物理和數(shù)學(xué)的,但是框架和內(nèi)容幾乎是完全相同的,算法也一樣,到目前為止,這也是科學(xué)界公認的奇跡之一。微積分最初給出的數(shù)學(xué)模型是導(dǎo)數(shù),主要是由變化率導(dǎo)出的,源于物理中的速度和加速度問題以及平面幾何中的切線斜率問題,給出導(dǎo)數(shù)的極限定義,進一步得出導(dǎo)數(shù)的運算方法和性質(zhì)后,不僅可以求解上述問題,還可用來求其它變化率的問題,另一方面是積分知識,也是有其現(xiàn)實應(yīng)用背景的。

        上面提到的計算數(shù)學(xué)中針對的各類方程其實都有其理論背景,以最簡單的二階膜問題為例,模型方程為:

        其經(jīng)典研究背景是有一張邊緣被固定的膜,當(dāng)在其表面施加外力f時,求解其振動幅度u。由于膜的邊緣被固定,故u在區(qū)域■的邊緣■處的振幅都是0,也就是所謂的零邊界條件。另外我們知道拉普拉斯算子■,這正是物理運動中的一個原理:“位移的變化率為速率,速率的變化率為加速度?!奔铀俣日桥c外界受力f有關(guān)的,拉普拉斯算子前面的負號“-”也正說明了薄膜的最大振幅正是與受力方向相反的。而用有限元方法進行數(shù)值計算時,也是強制令邊界單元部分取值為0,進而根據(jù)外力f來求解出u的近似解的,在有限元方法中經(jīng)常是一個分片的多項式。理論上說來,多項式的次數(shù)越高,逼近的誤差也就越小,但實際上,當(dāng)多項式的次數(shù)增加過多時,必然給實際應(yīng)用時的計算機工作量增加,我們在這里稱之為自由度。當(dāng)自由度增加過快時,由于計算機的硬件是有限制的,計算機可能無法承受,甚至死機,也就宣告了該算法是失敗的。在實際計算中,有時會發(fā)現(xiàn),當(dāng)多項式的次數(shù)增加時,計算機能夠正常運行計算,但誤差卻沒有按照理論分析中那樣減少的那么快,經(jīng)常性的一個原因就是原問題解的正則性達不到多項式次數(shù)的要求。也就是說,增加多項式的次數(shù)也不是任意的,需要根據(jù)解的正則性確定合適的多項式空間,按照Sobolev插值定理,當(dāng)精確解屬于■時,最多只能選取k-1階多項式空間即可,次數(shù)再高,也不會提高計算精度。

        另外類似地,四階板問題,研究的是薄板的彎曲幅度,原理與上面提到的二階問題的類似;拋物問題加入了時間t的影響,稱之為發(fā)展方程或非定常問題;Maxwell方程是針對電磁場給出的模型;我的博士論文研究的是最優(yōu)控制問題。實際上,最優(yōu)控制問題在工程中有著非常廣泛的應(yīng)用,其中一個典型的應(yīng)用就來源于大氣污染控制問題。目前對于大氣污染的控制,一種思路是以控制污染源排放量為手段,使得大氣污染物濃度在特定區(qū)域和特定時間段內(nèi)保持在一個容許范圍之內(nèi),同時又使得付出的代價最小。這個問題的數(shù)學(xué)模型是一個典型的偏微分方程控制問題。此外,一些大型撓性空間結(jié)構(gòu)的設(shè)計與制造、大型柔性結(jié)構(gòu)的波動控制研究、低溫超導(dǎo)激光能量爆破的控制研究等都可以歸結(jié)為偏微分方程描述的最優(yōu)控制問題的研究。最優(yōu)控制問題在工程中的應(yīng)用還包括復(fù)合材料設(shè)計問題,須要考慮怎樣合理的配置具有不同結(jié)構(gòu)和屬性的材料使得得到的復(fù)合材料滿足我們的需求。還有石油開采過程優(yōu)化,在石油開采過程中,須要通過注水使得油田的油往出油口流動,而在很多情況下,二次污染問題以及珍貴的水資源也是必須考慮的因素,因此需要合理的注水來達到最大的收益。此外還包括在溫度控制、交通信號控制、系數(shù)控制(即參數(shù)辨識)、材料設(shè)計、形狀設(shè)計、流體控制以及航空航天中的應(yīng)用等等,都是針對控制系統(tǒng)給出的。即我們在計算數(shù)學(xué)中所研究的模型問題都是有其應(yīng)用背景的,所給出的數(shù)值算法都是有意義可循的。

        事實上,很多著名的大數(shù)學(xué)家,如牛頓、笛卡爾、龐加萊等同時也是物理學(xué)家、力學(xué)家等,他們將現(xiàn)實生活中的一些現(xiàn)象和規(guī)律總結(jié)為一類數(shù)學(xué)模型,只需將該數(shù)學(xué)模型處理好,它所對應(yīng)的實際問題也被規(guī)范地解決完畢,并且能夠形成統(tǒng)一模式去處理,提高工作效率。無論是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué),如果他所研究的模型根本就找不到合適的物理背景,或者找不到實際例子,更不要提其所給出的研究方法和研究結(jié)論了,他所研究的內(nèi)容就是假大空的內(nèi)容,其研究可稱為毫無意義的研究。

        二、 計算數(shù)學(xué)必須要接受實踐的檢驗

        對于現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型,或者通過總結(jié)規(guī)律得到的數(shù)學(xué)模型,須要采用合適的方法去解決它。如果能夠找到精確解(如歐式期權(quán)問題),就可以直接利用該精確解去處理相應(yīng)問題,得到一些結(jié)果。

        然而很多模型(如美式期權(quán)問題)只能證明其存在唯一精確解,但是求解其精確解非常困難,甚至根本就不解析,那么就要采用數(shù)值方法找到其數(shù)值解,有時稱為近似解,這也是計算數(shù)學(xué)專業(yè)工作者的主要研究內(nèi)容。然而,要想使得該求解方法可行,就必須接受實踐的檢驗,在數(shù)值試驗中,根據(jù)所設(shè)計的算法編制出能夠直接處理問題的程序,對某一個或一類特定問題進行計算,檢驗結(jié)果是否有效。主要指的是在某一范數(shù)(模)意義下,所計算出來的數(shù)值解與精確解之間是否存在逼近關(guān)系,如果相差甚大,那么該計算方法顯然是不適用的,沒有通過實踐的檢驗。而如果該數(shù)值解確實是與精確解比較接近的,那說明該方法是可行的。特別是當(dāng)要求所給出數(shù)值解與精確解之間的誤差足夠小時,計算機運算能力是否能夠達到,也就是說須要不斷地改進算法,使得計算方法能夠處理現(xiàn)實生活中足夠大規(guī)模的問題,讓工程界工作者能夠直接利用該算法去解決問題。

        三、計算數(shù)學(xué)能夠應(yīng)用于實踐

        計算數(shù)學(xué)方法所給出的理論分析以及計算方法,還要能夠應(yīng)用于實踐,在實踐中確實有其獨道之處。數(shù)學(xué)給人的第一感覺就是嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強,甚至讓人窒息。然而,也正是有了這些優(yōu)勢,數(shù)學(xué)在目前科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展的今天,才有其一席之地。

        在文化大革命剛剛結(jié)束之時,鄧小平同志就派人四處尋找華羅庚先生,希望從基礎(chǔ)學(xué)科抓起,給以后的科學(xué)發(fā)展提供前期保障和理論支撐,以免走錯路、走彎路?,F(xiàn)在看來,鄧小平同志的決定是英明的,是有先見之明的。如果基礎(chǔ)理論不扎實,那么在具體的實踐科學(xué)技術(shù)中,就容易出紕漏、出差錯,保證不了其正確性,甚至造成難以預(yù)料的損失和災(zāi)難。

        從另一方面來說,為了避免這么嚴(yán)重的災(zāi)難和后果的發(fā)生,前提就必須要求基礎(chǔ)學(xué)科的知識是完備的,經(jīng)受住考驗的,是能夠應(yīng)用于實踐的。如果所提出的一些理論都是假大空的,根本就不能應(yīng)用于實踐,完全是自娛自樂、自圓其說,那么可以肯定的是,這樣的研究不是我們需要的,完全可以稱之為偽科學(xué)。計算數(shù)學(xué)所要求的,必須包括模型假設(shè)的合理性、理論分析的正確性和設(shè)計算法的應(yīng)用性等方面,這也正是當(dāng)今科研工作所必備的。

        實際上,國際上也對我們國家的科研有著質(zhì)疑,認為很多科學(xué)研究實際上是偽科學(xué),盡管沒有學(xué)術(shù)造假行為,但是所給出的方法只能存在于理論研究,根本走不出實驗室。曾經(jīng)發(fā)生過這樣一個故事,一個西南某高校的數(shù)學(xué)教授,根據(jù)自己的理論推導(dǎo),證明了某種映射是具有不動點的,并據(jù)此發(fā)表了數(shù)十篇論文。幾年以后,一個數(shù)學(xué)專業(yè)大二的一個本科生。在國內(nèi)一個一般性期刊上發(fā)表了僅僅兩頁的論文,說明這種假設(shè)下的映射只能針對只有一個點的集合,根本就不可能應(yīng)用于實踐。至此,說明該教授的系列研究就沒有任何意義可言。所以,我們的研究應(yīng)該找到實際應(yīng)用背景,并能夠接受現(xiàn)實實踐的檢驗,才能有長遠的、可持續(xù)的發(fā)展。實驗室的研究也應(yīng)該向著能夠用于生產(chǎn)的方向研究,不能僅限于促成偶然出現(xiàn)的小概率事件而沾沾自喜。

        四、結(jié)束語

        從上述論述過程中可以看出,其實不僅僅是計算數(shù)學(xué),乃至整個數(shù)學(xué)專業(yè)甚至于其他理工科的科學(xué)研究工作,都要理論與實踐相結(jié)合,才能成為真正的科學(xué)。研究內(nèi)容必須有意義,研究過程必須科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn),研究結(jié)果必須能夠接受實踐的檢驗。在我們?nèi)粘5目蒲泄ぷ髦?,從一篇科研論文的選題,經(jīng)過理論分析與數(shù)值試驗,一直到論文的定稿不斷修改和錄用,都必須與實踐高度結(jié)合,這也正是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科與實踐之間的必然聯(lián)系。

        參考文獻:

        [1]郭翠花.淺議數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系[J].中山大學(xué)研究生學(xué)刊(自然科學(xué)版),2005,26(3):107-111.

        [2]Roman Murawski. Benedykt Bornsteins Philosophy of Logic and Mathematics,Axiomathes[J],2014,(4): 549-558.

        [3]董駿.從數(shù)學(xué)哲學(xué)看數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)之友, 2014,(16): 76-77.

        [4]李衛(wèi).論數(shù)學(xué)的哲學(xué)思辨和社會實踐[J],速讀(教學(xué)研討), 2014,(2): 54-55.

        [5]杜其奎,寧連華,周興和.淺談數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)素質(zhì)[J].中國大學(xué)教學(xué),2011,(5) :11-14.

        [6]關(guān)宏波,黃海洋. 高等數(shù)學(xué)與工科專業(yè)課程有機結(jié)合的若干思考[J],高等函授學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,(1): 5-6.

        編輯/宋 宇

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