舒巨

最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中永恒的話(huà)題，也是歷年高考的熱門(mén)考點(diǎn).由于高中教材上沒(méi)有明確系統(tǒng)地研究這類(lèi)問(wèn)題，使得求多元函數(shù)（即多變量函數(shù)）的最值成為高考中的難點(diǎn)問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題需要具有較強(qiáng)的技巧，且方法靈活性多變，本文主要通過(guò)線(xiàn)性規(guī)劃、均值不等式法、減少變量、分類(lèi)集中變量等策略進(jìn)行處理.

策略一：利用線(xiàn)性規(guī)劃

例1若變量x、y滿(mǎn)足約束條件y≤xx+y≤1y≤-1，且z=2x+y的最大值和最小值分別為M和m，則M-m=.

解法探究：本題是一道典型的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題（二元變量問(wèn)題），通過(guò)畫(huà)出可行域，很容易得到，當(dāng)直線(xiàn)z=2x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1）時(shí)，M=3，當(dāng)直線(xiàn)z=2x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1）時(shí)，m=-3，故M-m=6.

教材上線(xiàn)性規(guī)劃的本質(zhì)就是研究受不等式組條件約束的二元函數(shù)的最值問(wèn)題。由于題目呈現(xiàn)形式的多樣性，往往需要對(duì)題設(shè)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，若能將題設(shè)化為不等式組得到可行域，大多利用此策略求解.

策略二：利用均值不等式

例2 在△ABC中，∠A=，a=3， 則△ABC的面積的最大值為 .

利用均值不等式求最值問(wèn)題的要點(diǎn)是“和定積最大，積定和最小”，即當(dāng)題目是已知和（積）的形式，求積（和）的最值的形式時(shí)，往往可以聯(lián)想到使用均值不等式等等進(jìn)行求解.

策略三：減少變?cè)?/p>

例3 設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足x-2y+3z=0，則的最小值是 .

轉(zhuǎn)化的一個(gè)原則是將未知轉(zhuǎn)化為已知，例題主要是有x-2y+3z=0，這三個(gè)變量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了由三元變量轉(zhuǎn)化為二元變量進(jìn)行研究.

策略四：分類(lèi)集中變量

例4設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.

（1）設(shè)bn=Sn-3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.（2）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍.

在多變量問(wèn)題中，可以將變量分類(lèi)集中，做法就是將題中一個(gè)字母用另一個(gè)字母進(jìn)行表示，這樣就變成了熟悉一元函數(shù)的問(wèn)題.高考?jí)狠S題中很多的最值問(wèn)題都可以采用此想法來(lái)解決.

不等式（基本不等式及變式、柯西不等式等）、線(xiàn)性規(guī)劃及相關(guān)知識(shí)、減少變量、分類(lèi)集中變量是解決高中數(shù)學(xué)多變量最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略，更多時(shí)候往往綜合靈活運(yùn)用上述策略以順利求解.

責(zé)任編輯羅峰