☉南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 曹思齊

美國加州初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容設(shè)置的特點(diǎn)
——與我國蘇科版比較

☉南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 曹思齊

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源［1］由于全美數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會（NCTM）推出的課程標(biāo)準(zhǔn)并不具有強(qiáng)制性，各州可以制定自己的課程標(biāo)準(zhǔn)并對各公司的教材進(jìn)行審核、推薦，這也導(dǎo)致美國的教材種類繁多.加利福尼亞是美國教育事業(yè)較為發(fā)達(dá)的大州，McGraw—Hill公司按照加州公立學(xué)校數(shù)學(xué)課程框架（Mathematics Framework for California Public Schools）出版的系列教科書《概念、技能與問題解決》［2］［3］（美國初中一般分為六、七、八三個(gè)年級，該套教材適合六、七年級的學(xué)生，相當(dāng)于我國的初一、初二）也是較為經(jīng)典的教材之一（以下簡稱加州版）.本文對該套教材和我國江蘇科學(xué)技術(shù)出版社出版的江蘇省初中數(shù)學(xué)教科書（三個(gè)年級共六冊，以下簡稱蘇科版）［4］［5］［6］在內(nèi)容設(shè)置方面進(jìn)行初步的比較分析并提出一些思考.

一、兩套教材內(nèi)容設(shè)置情況介紹

1.加州版教材內(nèi)容設(shè)置

加州版教材每年級一本，不分上下冊.每冊內(nèi)容按照單元、章、節(jié)的結(jié)構(gòu)展開，現(xiàn)將六年級內(nèi)容的大致設(shè)置情況在表1中列出.

表1：加州版六年級教材內(nèi)容設(shè)置情況

七年級教材內(nèi)容設(shè)置情況如表2所示.

表2：加州版七年級教材內(nèi)容設(shè)置情況

注：表1、表2中“文字題閱讀”原文為“reading word problems”，即在問題中用文字而非數(shù)學(xué)符號來描述一些關(guān)鍵信息.［7］

除了表1、表2中所列的各項(xiàng)，和蘇科版教材相比，加州版教材還有一些富有“特色”的內(nèi)容，限于篇幅，列舉一二：Correlation，教材在目錄后列出了加州課程標(biāo)準(zhǔn)與教材相應(yīng)之間的聯(lián)系，并標(biāo)示出相應(yīng)的頁碼，供學(xué)生對照；Start Smart，在正文前借助例子介紹解決問題的一般步驟和策略、技術(shù)上的支持（圖形計(jì)算器等）、如何使用本教材等；California Date File，用數(shù)學(xué)語言、圖表呈現(xiàn)加州的各種信息（大到人口變化，小到某一公園的面積）；章前部分列出了本章內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)、關(guān)鍵詞、章頭圖蘊(yùn)含的現(xiàn)實(shí)背景、預(yù)備知識的練習(xí)指導(dǎo)；在各小節(jié)中列出本小節(jié)的學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)、相關(guān)的現(xiàn)實(shí)實(shí)例、各種網(wǎng)絡(luò)資源的鏈接等；習(xí)題設(shè)置上，除與我國教材相同的課堂練習(xí)、課后作業(yè)外還有前面學(xué)過知識的循環(huán)復(fù)習(xí)及學(xué)習(xí)下節(jié)內(nèi)容必備的基本知識和技能，在所有的應(yīng)用題前都列出本題關(guān)鍵詞（如音樂、體育、科學(xué)等），以及大量的數(shù)學(xué)寫作、交流的問題.教材的這些特點(diǎn)，都值得我們關(guān)注、研究、參考.

2.蘇科版教材內(nèi)容設(shè)置

該套教材為江蘇省九年義務(wù)教育初中教科書，現(xiàn)僅在表3中列出各章大致內(nèi)容，具體情況可以參考文4、5、6.

表3：蘇科版初中教材內(nèi)容設(shè)置總體情況

二、加州版教材內(nèi)容設(shè)置特點(diǎn)

所參考的加州版教材為2008年出版，主要內(nèi)容涉及美國《課程標(biāo)準(zhǔn)（2000年版）》中提到的“數(shù)和運(yùn)算”，“模式、函數(shù)和代數(shù)”，“幾何與空間感”，“度量”和“數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)與概率”五個(gè)方面.［8］從表1、2與表3的比較，可以發(fā)現(xiàn)加州版教材有如下特點(diǎn).

1.內(nèi)容廣且較早學(xué)習(xí)、細(xì)致而反復(fù)性強(qiáng)

內(nèi)容上，加州版教材既包括了我國小學(xué)階段的內(nèi)容（如比、比例、分?jǐn)?shù)等），也有我們初中階段不學(xué)習(xí)的數(shù)列、三次函數(shù)、箱線圖及立體幾何的一些問題等，同時(shí)，該教材中如函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等各大模塊也是讓學(xué)生較早地進(jìn)行學(xué)習(xí).以函數(shù)為例，蘇科版（包括國內(nèi)其他版本教材）在初二學(xué)習(xí)函數(shù)及一次函數(shù)，初三學(xué)習(xí)二次函數(shù)；而加州版則在初一就開始接觸函數(shù)概念（用輸入輸出的對應(yīng)關(guān)系解釋），初二再進(jìn)行較為系統(tǒng)的“線性函數(shù)”、“非線性函數(shù)”的學(xué)習(xí)（初二也學(xué)習(xí)函數(shù)概念，相比初一更多地是鞏固、加深與提高）.由于學(xué)生開始學(xué)習(xí)的內(nèi)容比較廣，新知識多，即使內(nèi)容難度不高，學(xué)生要進(jìn)行初步的掌握也需要逐漸積累的過程，因此，一方面，教材各小節(jié)和內(nèi)容上分得較為細(xì)致；另一方面，隨著學(xué)習(xí)的深入，舊內(nèi)容需要加深理解，新知識需要與舊知識建立內(nèi)在聯(lián)系，因此，我們可以看到教材中有很多內(nèi)容都有所反復(fù)，比如上面提到的函數(shù)概念，以及比例、分?jǐn)?shù)、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，導(dǎo)致教材中“小循環(huán)”較多.

2.數(shù)學(xué)知識的安排呈現(xiàn)出整體性與聯(lián)系性

這一點(diǎn)，我們的教材還有很多可改善的地方.以加州版六年級教材第六章“比和比例”為例，教材通過“比”讓學(xué)生學(xué)習(xí)各種單位之間的換算；與方程建立聯(lián)系，學(xué)習(xí)求解“比例方程”；與統(tǒng)計(jì)建立聯(lián)系，通過比例感受抽樣過程；與幾何建立聯(lián)系，學(xué)習(xí)比例尺、比例圖等.再如七年級教材第三章“實(shí)數(shù)與畢達(dá)哥拉斯定理”，教材通過平方根讓學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)系；通過幾何實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)勾股定理；借助幾何實(shí)驗(yàn)操作繪制無理數(shù)；通過平面直角坐標(biāo)系體現(xiàn)該定理在代數(shù)和幾何間的聯(lián)系……可以看到，加州版教材十分注重溝通某一知識點(diǎn)在代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等各個(gè)方面的聯(lián)系和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識的整體性與聯(lián)系性.這也是前面所說“內(nèi)容較早學(xué)習(xí)、有重復(fù)性”的原因：讓學(xué)生掌握工具性和基礎(chǔ)性的內(nèi)容、構(gòu)造一個(gè)廣闊的知識基礎(chǔ)，更有利于在后續(xù)階段體會數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，而內(nèi)容的適當(dāng)重復(fù)也有利于加深對知識間關(guān)系的理解.

3.重視操作實(shí)驗(yàn)與問題解決，關(guān)注基本概念與技能

加州版教材每章都有篇幅約1～2頁的Problem-Solving Investigation欄目，該欄目結(jié)合本章內(nèi)容，具體介紹某一種解決問題的方法.如在六年級第一章中，教材給出“校園劇共賣出255元的票，成人票7元，學(xué)生票4元，并且買學(xué)生票的人數(shù)是成人票的兩倍”的問題，讓學(xué)生體會通過猜想、驗(yàn)證去解決問題的過程.每章還有2～3次的探索（explore）或拓展（extend）學(xué)習(xí)，分布在一些重要小節(jié)之前后，通過操作實(shí)驗(yàn)、圖形計(jì)算器及電子表格等方法的運(yùn)用幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容.事實(shí)上，這些欄目的設(shè)置同前面提到的教材內(nèi)容安排上的細(xì)致、反復(fù)、聯(lián)系性較強(qiáng)的特點(diǎn)一起，都指向了學(xué)生基本概念和技能的理解與掌握，指向該套教材的主題——概念、技能與問題解決.

總的來說，加州版教材充分體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)（2000年版）》中強(qiáng)調(diào)的三個(gè)重點(diǎn)：關(guān)注數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵概念，盡量探討概念間的聯(lián)系，提高復(fù)雜概念的理解水平；加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流，分享和促進(jìn)學(xué)生的理解；鼓勵(lì)開展探究性思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析等多種方法理解數(shù)學(xué)概念.［9］

三、進(jìn)一步需要思考的一些問題

加州版教材內(nèi)容設(shè)置上的特點(diǎn)可以對我們產(chǎn)生一些啟示.教材的編寫如何根據(jù)我國學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)來安排數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)和順序？加州版的教材反復(fù)性較強(qiáng)，對于我們來說，有沒有必要？或者，“直線式”地一次學(xué)完某一部分的內(nèi)容與“螺旋式”地上升哪種更合適？“螺旋式”地安排教材內(nèi)容，又到底怎樣才算是“適當(dāng)”的？加州版教材強(qiáng)調(diào)基本概念、基本技能和問題解決，注重知識的內(nèi)在聯(lián)系，我們?nèi)绾卧趽P(yáng)自己之長時(shí)充分吸收他人之長等，都是可以討論的問題.

另外，由于該套教材是2008年出版的，參考的是美國的“舊課標(biāo)”八年級的教材（但從表2看，至少還會有概率等其他內(nèi)容），不免遺憾.2010年，美國又推出了《共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（CCSSM），至今已被包括加利福尼亞州在內(nèi)的四十三個(gè)大州所采納，［10］美國新標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教材有何改變？又有何特點(diǎn)？也是值得研究的問題.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.Day，F(xiàn)rey.California Mathematics：Concepts，Skills，and Problem Solving-Grade 6.The McGraw-Hill Company，2008.

3.Day，F(xiàn)rey.California Mathematics：Concepts，Skills，and Problem Solving-Grade 7.The McGraw-Hill Company，2008.

4.楊裕前，董林偉，編著.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·七年級上、下（第三版）［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

5.楊裕前，董林偉，編著.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·八年級上、下（第三版）［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

6.楊裕前，董林偉，編著.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·九年級上、下（第三版）［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

7.Verschaffel，Lieven.Making Sense of Word Problems［M］.Taylor&Francis，2000.

8.鄭毓信.美國《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2000年版）》簡介［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1999（7）.

9.章建躍，著.中學(xué)數(shù)學(xué)課程論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

10.Standards in Your State［EB/OL］.http：//www. corestandards.org/standards-in-your-state.Z