沈志博，董春曦，黃 龍，趙國慶

（西安電子科技大學(xué)電子信息攻防對抗與仿真技術(shù)教育部重點實驗室，陜西 西安710071）

0 引言

信號的波達方向（DOA）是電子偵察中需要獲取的一個重要參數(shù)［1-2］，也是信號分選、輻射源識別以及定位跟蹤的重要依據(jù)［3］。與雷達信號的DOA 估計不同，電子偵察中的DOA 估計沒有信號的先驗信息，并且日益復(fù)雜的電磁環(huán)境也對現(xiàn)有的DOA 估計方法提出了新的挑戰(zhàn)［4］。傳統(tǒng)的測向方法如最大信號法、比幅法等原理簡單、易于實現(xiàn)，但是精度低、分辨力較差［5-6］，而干涉儀測向法雖然精度較高，但是現(xiàn)代電子對抗環(huán)境中輻射源數(shù)量多、分布密度大，同時多信號問題嚴重影響了其性能［7］。子空間分解算法，如MUISC算 法［8］、ESPRIT 算 法［9］以 及 其 推 廣 和 改 進 算 法 由 于其超分辨能力以及良好的估計精度而得到了廣泛的應(yīng)用，但是這類方法是以預(yù)知信源的數(shù)量等先驗信息為前提的，不正確的信源數(shù)估計將可能導(dǎo)致算法的失效，而且有效的陣列孔徑也限制其能夠同時處理的信源個數(shù)，因此應(yīng)用到電子偵察系統(tǒng)中具有一定的局限性。文獻［10］提出的嵌套陣列和文獻［11］的互質(zhì)陣列雖然有效地擴展了陣列孔徑，但是仍需要較多的信號先驗信息；文獻［12］提出了一種未知信源個數(shù)的DOA 估計方法，陣列孔徑損失較大，當信源數(shù)較多時，需要陣元數(shù)也較多，不易在電子偵察系統(tǒng)中工程實現(xiàn)。

針對上述問題，本文提出了一種基于2級嵌套陣列的DOA 估計方法。首先將協(xié)方差矩陣向量化作為新的陣列接收數(shù)據(jù)，并構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣；然后對新的協(xié)方差矩陣的每一行構(gòu)造Toeplitz矩陣，并利用其聯(lián)合對角結(jié)構(gòu)生成代價函數(shù)；最后通過一維搜索求解出各信源的DOA。該方法能夠在信源數(shù)量未知的情況下進行高精度的DOA 估計，并且有效地擴展了陣列孔徑，節(jié)省了陣元的數(shù)量。

1 陣列模型

2級嵌套陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，陣元數(shù)為N 。其中第一級陣元數(shù)為N1，陣元間距為d1；第二級陣元數(shù)為N2，陣元間距為d2，且滿足d2＝（N1＋1）d1，則第一級陣列陣元位置為｛n1d1，n1＝0，1，…，N1-1｝；第二級陣列陣元位置為｛n2d2-d1，n2＝1，2，…，N2｝。

圖1 2級嵌套陣列結(jié)構(gòu)

假設(shè)空間中有K個不相關(guān)的窄帶遠場信號分別以方向角θk（k＝1，2，…，K）入射到陣列上，且滿足θk∈（-90°，90°），d1≤λmin／2，λmin為最小信號波長。因此第k個信源的導(dǎo)向矢量可以表示為：

則相應(yīng)的陣列流形為：

進而得到t時刻的陣列接收數(shù)據(jù)x（t）為：

式中，s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sK（t）］為K×1 維向量；A 為N×K 維矩陣；n（t）為N×1維高斯白噪聲。

2 算法原理

2.1 陣列孔徑擴展

按照式（3）給出的陣列模型得到T（T ＝M×L）次快拍數(shù)據(jù)，并將其分為M 段，每段的數(shù)據(jù)長度為L。假設(shè)各信源每段的數(shù)據(jù)滿足近似平穩(wěn)條件，即：

則第m 段數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

進而得到新的陣列接收數(shù)據(jù)：

式中，Y ＝［y′1，y′2，…，y′M］為2 Ni×M 維陣列接收數(shù)據(jù)矩陣，P ＝［p1，p2，…，pM］為K×M 維信號矩陣，E ＝［I′1，I′2，…，I′M］為2 Ni×M 維噪聲矩陣。

2.2 信源數(shù)未知情況下DOA估計

利用式（9）得到的新的陣列接收數(shù)據(jù)在信源數(shù)未知的情況下進行DOA 估計。首先計算新的陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣：

對協(xié)方差矩陣的第n 行進行Toeplitz變換，生成Toeplitz矩陣：

根據(jù)文獻［15～16］推導(dǎo)，可得最終的空間譜估計表達式為：

其中：

式中，max eig｛·｝表示矩陣的最大特征值?？梢钥闯?，算法是通過一維搜索的方式確定譜峰的位置，Ns為搜索次數(shù)；且只需要求取最大特征值即可，故不需要知道確切的信源個數(shù)就可以得到所有信號的DOA估計。

3 算法分析

經(jīng)過上述分析可以得出算法的基本步驟如下：

1）將T 次快拍數(shù)據(jù)分為M 段，每段長度為L，分別計算協(xié)方差矩陣Rm，m ＝1，2，…，M ；

2）向量化協(xié)方差矩陣，并去掉冗余的元素，形成新的陣列接收數(shù)據(jù)y′m，m ＝1，2，…，M ；

3）計算y′m的協(xié)方差矩陣；

4）選取R 中的前Ni＋1 行，對每個行向量進行Toeplitz變換，構(gòu)造Toeplitz矩陣；

5）利用式（13）和式（14）構(gòu)造矩陣F 和G（θ）；

6）利用式（12）進行譜峰搜索，確定譜峰的位置，進而得到各信源的DOA 估計。

該算法的運算包括陣列擴展前后的協(xié)方差矩陣的計算以及矩陣F 和G（θ）的構(gòu)造，因此其計算量約為該算法不需要預(yù)知信源的個數(shù)，并且能夠在欠定的條件下進行有效的估計，即能夠同時估計的信源個數(shù)大于實際的陣元數(shù)。文獻［12］的算法中雖然不需要預(yù)知信源數(shù)，但是N個陣元最多只能估計（N ＋1）／2個信源，而本文提出的算法利用嵌套陣列有效地擴展了陣列孔徑，因此，N個陣元最多能夠估計的信源個數(shù)為：

陣列孔徑擴展后，角度分辨能力和估計精度也得到了相應(yīng)的提高，與文獻［12］中的算法相比，該算法具有更高的估計精度和分辨力。另外，該算法進行譜峰搜索時選取的是最大特征值，因此對于噪聲具有一定的魯棒性，在低信噪比的情況下也能夠進行正確的估計。

4 仿真分析

本節(jié)通過仿真實驗對本文所提出的算法進行分析與驗證。選用角度均方根誤差（RMSE）來描述算法的估計性能，其定義為：

1）仿真實驗1

假設(shè)陣元數(shù)N ＝5，采用2級嵌套結(jié)構(gòu)，即N1＝2，N2＝3。快拍數(shù)T＝8192，數(shù)據(jù)分為16段（M ＝16），每段長度L ＝512。4個信源分別以到達角-15°、5°、30°和45°入射到陣列上，信噪比為15dB。圖2分別給出文獻［12］算法（虛線）和本文算法（實線）的DOA 估計結(jié)果。

圖2 DOA 估計結(jié)果（信源數(shù)K＝4）

從圖2的結(jié)果中可以看出，在5個陣元的情況下，文獻［12］中的算法只能估計出3個信源，而本文算法能夠?qū)?個信源進行正確的估計。由于算法進行了陣列孔徑擴展，增加了自由度，因此能夠在欠定的情況下（信源數(shù)大于實際陣元數(shù)）進行DOA 估計。

為了進一步驗證算法能夠估計的信源數(shù)量，選取8個信源，到達角分別為-55°、-35°、-20°、-5°、5°、20°、30°和45°。圖3給出了信源數(shù)K ＝8時的估計結(jié)果。

圖3 DOA 估計結(jié)果（信源數(shù)K＝8）

根據(jù)公式（15）所示，5個陣元最多可以估計的信源數(shù)為（52-1）／4＋（5-1）／2＝8。而從圖3的結(jié)果可以看出，算法能夠?qū)θ?個信源的DOA 進行正確的估計，與理論分析結(jié)果一致，從而驗證了算法的正確性。

2）仿真實驗2

針對算法的估計精度進行實驗，選取3個信源，到達角分別為-15°、5°和30°，令信噪比SNR 從-5dB變化到20dB，其它實驗條件與仿真實驗1相同。每個信噪比下進行500次蒙特卡羅實驗，并對文獻［12］和本文算法的均方根誤差與信噪比的關(guān)系曲線分別進行描繪，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同信噪比下的估計均方誤差比較

文獻［12］算法在SNR低于2.5dB時已無法正確估計3個信源，因此圖中未標出。從圖4可以看出，在陣元數(shù)N 相同的條件下，本文算法具有更高的估計精度。

為了進一步驗證算法的DOA 估計精度，圖5 給出了不同信噪比下的估計均方誤差與克拉美羅界（CRB）［17］進行比較的結(jié)果，其中CRB（N）表示陣元數(shù)為N 的克拉美羅界。

不同信噪比下的的估計均方誤差與CRB比較

從圖5 的仿真結(jié)果可以看出，算法的DOA 估計均方誤差隨信噪比變化曲線在CRB（5）和CRB（17）之間。由于算法進行了陣列孔徑擴展，N個陣元擴展后形成一個（N2-1）／2＋N 的虛擬均勻線陣，因此算法的估計精度要優(yōu)于5個陣元的線陣，而低于17個陣元的線陣的估計精度。

3）仿真實驗3

針對算法分辨力進行實驗，選取2個到達角度相近的信源（15°和16°），陣元數(shù)N ＝9，其它實驗條件與仿真實驗1相同，文獻［12］算法（虛線）和本文算法（實線）的DOA 估計結(jié)果如圖6所示。

圖6 DOA 分辨力比較

從圖6的仿真結(jié)果可以看出，當2個信源角度相近時，文獻［12］算法已經(jīng)無法區(qū)分，而本文算法仍然能夠正確地估計出2個信源的角度，分辨能力更優(yōu)。由于算法進行了陣列擴展，有效孔徑變大，因此具有更高的DOA 分辨力。

5 結(jié)束語

輻射源的DOA 估計在電子偵察中有著重要的研究意義。本文針對信源數(shù)未知情況下的DOA 估計問題，提出了一種基于2級嵌套陣列的DOA 估計算法。理論分析和仿真實驗表明，該方法擴展了陣列孔徑，能夠利用較少的陣元個數(shù)同時估計多個信源的DOA，并且具有較高的估計精度和分辨力，對信噪比要求也不高。因此，該算法能夠滿足當前電子偵察測向系統(tǒng)的要求?！?/p>

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