0 引言

OFDM 是一種典型的多載波調(diào)制技術(shù)，將高速數(shù)據(jù)流串并轉(zhuǎn)換成多路低速數(shù)據(jù)流后調(diào)制到相應(yīng)的多載波上即可得到頻率展寬的多載波信號，在通信和通信對抗領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如OFDM 通信系統(tǒng)、JTIDS干擾系統(tǒng)。

多載波在某個時刻沿同一方向進行累加，當多個載波信號相位一致恰好均以峰值相加時，OFDM 信號會產(chǎn)生最大的尖峰幅度，信號的瞬時功率就會遠遠大于信號的平均功率，將導(dǎo)致較高的峰均功率比（PAPR）。這就要求系統(tǒng)中的D／A 轉(zhuǎn)換器、功率放大器等部件有足夠大的動態(tài)范圍，這也將導(dǎo)致這些部件的低效率。OFDM 多載波干擾信號的產(chǎn)生同樣會帶來PAPR 較高的問題。當產(chǎn)生的OFDM 多載波干擾信號PAPR 較高時，將會嚴重影響多載波干擾信號的干擾輸出功率，而對于干擾系統(tǒng)最需要考慮的因素就是干擾輸出功率。

根據(jù)相位組合優(yōu)化法，通過帶通濾波器添加傳遞函數(shù)的方法直接對噪聲序列信號進行相移，能夠生成帶有初始相位的相位序列，對其進行多載波調(diào)制即可得到低PAPR 的OFDM 干擾信號。本文提出了一種低PAPR 的OFDM 干擾系統(tǒng)的硬件實現(xiàn)方案，通過基于CORDIC的基-4FFT 算法設(shè)計實現(xiàn)了多載波調(diào)制單元，以此完成對相位序列的多載波調(diào)制。

1 OFDM 基本原理

OFDM 信號的產(chǎn)生：高速數(shù)據(jù)流經(jīng)串并轉(zhuǎn)換成N路速率較低的并行子數(shù)據(jù)流，將這N 路并行的子數(shù)據(jù)流分別調(diào)制到對應(yīng)的子載波上經(jīng)并串轉(zhuǎn)換后發(fā)射出去。

設(shè)一個OFDM 信號包含N個子載波，則其輸出的復(fù)數(shù)基帶信號可以表示為：

式中， （）X i 為數(shù)據(jù)符號，N 為子載波的個數(shù)，fi＝f0＋i／T，f0為最低子載波頻率，T 為OFDM 符號的持續(xù)時間（周期）。 （）s t 的實部對應(yīng)OFDM 符號的同相分量，虛部對應(yīng)OFDM 的正交分量。對信號 （）s t 以T／N 的 采 樣 速 率 進 行 采 樣，令t ＝kT／T（k＝0，1，…，N-1） ，即可得：

分析式（2）可得，sk等效為對di進行IDFT 變換，由這N個子載波信號疊加而生成。同樣，接收端則可通過對sk進行DFT 變換來恢復(fù)出數(shù)據(jù)符號di。

根據(jù)以上分析可得：可以分別利用IDFT 和DFT運算快速有效地實現(xiàn)OFDM 系統(tǒng)多載波的調(diào)制與解調(diào)。實際應(yīng)用OFDM 系統(tǒng)通常采用更加便捷的IFFT／FFT 實現(xiàn)。

2 低PAPR的相位序列

OFDM 多載波信號的PAPR 定義為：信號的峰值功率與均值功率的比值。數(shù)學(xué)表達式為：

現(xiàn)有的降低多載波干擾信號峰均功率比的方法中，相位優(yōu)化法即給多載波干擾信號添加合適的相位擾動，得到含有初始相位信息的相位序列，可以在信號無損的情況下降低多載波干擾信號的峰均功率比。1965年Newman提出了著名的Newman相位，多載波信號的PAPR 可以保持在2.6dB 左右。1994年Narahashi和Nojima給出了另一種近似二次解Narahashi相位［1］。

通過帶通濾波器添加傳遞函數(shù)的方法可以直接對噪聲序列信號進行相移，生成帶有初始相位的噪聲序列經(jīng)多載波調(diào)制后得到OFDM 干擾信號。以Newman相位為例，帶通濾波器法［2］獲得Newman相位的原理框圖如圖1所示。

頻率信號X（N）在IFFT 之前添加一個帶通濾波器H（W）。其傳輸函數(shù)如下：

圖1 帶通濾波器法添加Newman相位原理框圖

將α、w1、w＝2πf 代入H（w），可得：

在基帶信號中，由于子載波的頻率f＝（i-1）／T，代入式（6）可得：

則：

即Newman相位序列。

3 OFDM 干擾系統(tǒng)多載波調(diào)制單元設(shè)計

本文設(shè)計的低PAPR 的OFDM 干擾系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。噪聲序列信號經(jīng)串并轉(zhuǎn)換后，經(jīng)帶通濾波器對序列進行初始相位的添加，帶有初始相位信息的相位序列經(jīng)多載波調(diào)制單元生成低PAPR的OFDM 干擾信號。多載波調(diào)制單元是系統(tǒng)的核心模塊，可通過IFFT 來實現(xiàn)，傳統(tǒng)的IFFT／FFT 模塊需要消耗較大的硬件量，為減小運算量和硬件復(fù)雜度，本文通過基于CORDIC 的基-4FFT 算法來完成系統(tǒng)的多載波調(diào)制單元。

圖2 低PAPR 的OFDM 干擾系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)框圖

3.1 基-4FFT算法原理

FFT 和IFFT 實現(xiàn)上僅僅相差一個旋轉(zhuǎn)因子相位符號，結(jié)構(gòu)上具有完全的等效性。所以FFT 的實現(xiàn)方法同樣適應(yīng)于IFFT。FFT 實現(xiàn)方案通常采用基2、基4、基8等算法，選用的基數(shù)越大，運算量越小，但是控制邏輯也就越復(fù)雜，硬件實現(xiàn)難度大。在減小運算量和降低硬件量的前提下，方案選用基-4FFT 算法來實現(xiàn)。

設(shè)x（n）為N 點有限長序列，其DFT 為：

式中，WN＝exp（-j2π／N），稱為蝶形因子或旋轉(zhuǎn)因子，由于它具有周期與對稱性，計算N 點DFT，只需要N2次乘法和N N（ ）-1 次加法運算。

基4 算法是在時域上把 x（n） 分解抽取，即將x （n） 分 為x （4m ）、x （4m ＋1） 、x （4m ＋2） 、x 4m（ ）＋3 ，則式（9）可寫為：

令A(yù)′＝ X （k） ，B′＝X （k ＋N／4） ，C′＝X（k ＋2 N／4） ，D′＝X （k ＋3 N／4） ，得：

則式（13）即為基-4FFT 蝶形運算公式?？梢?個基4蝶形單元只需進行3次復(fù)數(shù)乘法和8次復(fù)數(shù)加運算。N 點基-4FFT 算法只需（3／8）Nlb N（ ）-2 次復(fù)數(shù)乘法和NlbN 次復(fù)數(shù)加法運算?；?4FFT 蝶形運算結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3.2 CORDIC算法原理

圖3 基-4FFT 蝶形運算結(jié)構(gòu)圖

1959年CORDIC算法由Volder等人在美國航空控制系統(tǒng)的設(shè)計中首先提出，1971年Walter將其推廣到初等函數(shù)的運算中。CORDIC 算法采用加減與左移右移的方法來實現(xiàn)復(fù)雜的算法，有利于硬件的實現(xiàn)，非常適合作為信號處理的模塊單元。其基本思想是：將要旋轉(zhuǎn)的目標角度分解成一系列微旋轉(zhuǎn)角度后，以這些微旋轉(zhuǎn)角度不停地旋轉(zhuǎn)，最終逼近目標角度θ［3］。其原理圖如圖4所示。

圖4 CORDIC算法原理圖

可以看出將點（x0，y0）旋轉(zhuǎn)一個角度θ，得到點（x1，y1），那么有旋轉(zhuǎn)方程：

旋轉(zhuǎn)的角度θ 由多個微旋轉(zhuǎn)角度（θ＝θ1＋θ2＋…＋θi＋… ）組成，令第i次旋轉(zhuǎn)的角度為θi，則第i次旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)方程為：

由式（15）可以得出其矩陣運算只需要3次乘法運算，令tanθi＝si2-i，則cosθi＝（1＋2-2i）-1／2。其中，si＝±1表示旋轉(zhuǎn)角度的方向，si＝1表示角度順時針轉(zhuǎn)動，si＝-1 表示角度逆時針轉(zhuǎn)動。式（15）中有關(guān)tanθi的乘法操作就可以轉(zhuǎn)化成簡單的移位操作，整個乘法只剩下系數(shù)項cosθi。由于cosθi的值與未旋轉(zhuǎn)角度θi無關(guān)，隨著迭代次數(shù)的增加，cosθi將收斂于1個常數(shù)K，即：

令θi為第i次旋轉(zhuǎn)后未旋轉(zhuǎn)角度，則：

式中，θi為第i次旋轉(zhuǎn)后未旋轉(zhuǎn)角度，θi＋1為第i＋1次旋轉(zhuǎn)后未旋轉(zhuǎn)角度，siarctan2-i為第i 次旋轉(zhuǎn)的角度。當θi＋1趨近于0 時，表示所需旋轉(zhuǎn)的角度旋轉(zhuǎn)完畢。整個過程只需進行移位和加減運算。

3.3 CORDIC算法在多載波調(diào)制中的應(yīng)用

數(shù)據(jù)X0的離散傅里葉變換（DFT）為：

設(shè)X0＝x0＋j y0，Xk＝xk＋j yk，將＝exp（-j2π／Nnk）代入得：

xk的實部和虛部分別為：

式（18）中數(shù)據(jù)X0與旋轉(zhuǎn)因子的相乘可用向量的旋轉(zhuǎn)表示，即將X0旋轉(zhuǎn)了θ＝-2nkπ／N。因此在硬件實現(xiàn)FFT（即OFDM 系統(tǒng)的多載波調(diào)制）時，只需要將θ＝-2nkπ／N 的值存儲到存儲器RAM 中，多載波調(diào)制中的旋轉(zhuǎn)因子單元即可利用CORDIC 算法的旋轉(zhuǎn)移位來實現(xiàn)。

CORDIC算法實現(xiàn)多載波調(diào)制單元的CORDIC基-4FFT 蝶形運算結(jié)構(gòu)如圖5所示。

5 多載波調(diào)制單元的CORDIC基-4FFT 蝶形運算結(jié)構(gòu)圖

CORDIC 算法所能旋轉(zhuǎn)的最大角度為θmax＝無法覆蓋整個周期，將旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)范圍定位為［0 ，π／2］，當所需旋轉(zhuǎn)的角度不在這個范圍時，可通過預(yù)旋轉(zhuǎn)來處理［4］。具體操作如表1所示。

表1 旋轉(zhuǎn)角度的預(yù)旋轉(zhuǎn)操作

4 仿真分析與實現(xiàn)

本文所用FPGA 為Altera公司的Stratix II系列的EP2S90F1020C3 器件，時鐘頻率為100MHz。在Quartus II環(huán)境下進行仿真實現(xiàn)了OFDM 干擾系統(tǒng)的多載波調(diào)制單元，仿真結(jié)果如圖6 所示。運用CORDIC算法的旋轉(zhuǎn)移位代替了FFT 算法的復(fù)數(shù)乘法運算，僅占用了1499個邏輯塊、991個專用寄存器和0個加法器，運算量和運算復(fù)雜度都大為降低。

圖6 CORDIC算法實現(xiàn)多載波調(diào)制單元時序仿真波形圖

系統(tǒng)中采用Newman相位序列和Narahashi相位序列經(jīng)多載波調(diào)制后，得到的OFDM 多載波干擾信號PAPR 的值如圖7 所示。傳統(tǒng)的降低OFDM 信號PAPR 的方法會帶來信號非線性失真、頻譜擴展干擾、帶內(nèi)信號畸變、硬件實現(xiàn)難度及計算量大等問題。相位組合優(yōu)化法只是改變噪聲序列信號相位，能夠動態(tài)優(yōu)化系統(tǒng)PAPR 且硬件實現(xiàn)復(fù)雜度低，不會帶來上述問題。IFFT 變換需要較多次復(fù)雜的復(fù)數(shù)乘法運算，運算量和硬件量較大?；贑ORDIC 的基-4FFT 算法利用CORDIC算法的移位、加減運算代替復(fù)雜的復(fù)數(shù)乘法運算，來實現(xiàn)對相位序列的多載波調(diào)制，能夠有效降低系統(tǒng)的運算量和硬件量。

圖7 不同初始相位序列對應(yīng)PAPR 的值

5 結(jié)束語

本文根據(jù)OFDM 可以產(chǎn)生頻率擴展的多載波干擾信號的原理，給出了一種低PAPR的OFDM干擾系統(tǒng)，并通過基于CORDIC的基-4FFT 算法設(shè)計實現(xiàn)了系統(tǒng)的多載波調(diào)制單元。在生成低PAPR 的OFDM 干擾信號的同時減少了運算量和硬件復(fù)雜度，降低了系統(tǒng)對D／A 轉(zhuǎn)換器、功率放大器等其他器件參數(shù)的要求，有較好的應(yīng)用前景?！?/p>

［1］Narahashi S，Nojima T.New phasing scheme of N-multiple carriers for reducing peak-to-average power ratio［J］.Electronics Letters，1994，30（17）：1382-1383.

［2］孫銘揚.降低峰均比的方法和具有低峰均比的正交頻分復(fù)用系統(tǒng)：中國，200610076003.9［P］.2007-06-20.

［3］Yang J，Ding HW.Design and implementation of OFDM baseband transmission system based on CORDIC algorithm and pipeline FFT［C］∥Proceeding of International Conference on Digital Manufacturing ＆ Automation（ICDMA2012），2012：962-967.

［4］蔚接鎖.基于FPGA 與流水線CORDIC算法的FFT 處理器的實現(xiàn)［D］.天津：天津大學(xué)，2009.