楊樹(shù)樹(shù)，寧 勇

（中國(guó)航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京210007）

0 引言

傳統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理是以奈奎斯特（Nyquist）采樣定理為基礎(chǔ)的，在該框架下，數(shù)字系統(tǒng)采樣速率必須達(dá)到模擬信號(hào)帶寬的兩倍才能無(wú)失真地恢復(fù)原始模擬信號(hào)［1］。然而，隨著信息需求量的日益增加，信號(hào)帶寬越來(lái)越寬，在信息獲取中對(duì)采樣速率和處理速度提出了越來(lái)越高的要求，人們迫切需要去尋求新的數(shù)據(jù)采集和處理的方法。在這種情況下，針對(duì)具有稀疏特性信號(hào)的采樣和處理技術(shù)的壓縮感知（CS）［2-3］理論應(yīng)運(yùn)而生。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器（MWC）是一種典型的多通道壓縮采樣系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以在不需要任何先驗(yàn)信息的條件下全盲恢復(fù)原始信號(hào)［4-6］。然而實(shí)際應(yīng)用中由于通道間的失配問(wèn)題，導(dǎo)致恢復(fù)出的信號(hào)存在嚴(yán)重失真。針對(duì)上述問(wèn)題，本文首先介紹MWC 壓縮采樣系統(tǒng)的工作原理，然后在信號(hào)重構(gòu)恢復(fù)理論模型的基礎(chǔ)上提出了校正模型，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)和性能分析，驗(yàn)證了該校正模型的有效性。

1 采樣系統(tǒng)與數(shù)字子信道分離

1.1 采樣系統(tǒng)

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器是一種針對(duì)稀疏多頻帶信號(hào)的壓縮采樣系統(tǒng)，由m個(gè)通道組成。在第i個(gè)通道，將輸入信號(hào)x（t）與周期為Tp＝1／fp的混頻信號(hào)pi（t）相乘進(jìn)行混頻，然后將混頻后的信號(hào)通過(guò)截止頻率為1／（2Ts）的低通濾波器h（t）進(jìn)行濾波，最后對(duì)濾波器輸出信號(hào)以遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Nyquist采樣速率（fs＝1／Ts）進(jìn)行采樣獲得yi［n］，m個(gè)通道的采樣序列送給信號(hào)處理部分進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)［4-6］，其原理框圖如圖1所示。

若濾波器h（t）為理想的低通濾波器，則序列yi［n］的離散傅里葉變換為：

圖1 采樣系統(tǒng)原理框圖

為了便于進(jìn)一步分析，將式（1）表示成矩陣形式為：

式中，m 維 向 量y（f）的 第i個(gè) 元 素 為yi（f）＝L 維向量z（）f 的第l個(gè)元素為zl（）f ＝L ＝2L0＋1；矩陣A 為m×L 維矩陣，其第i行第l列元素為Ail＝ci，-l＝。

1.2 數(shù)字子信道分離過(guò)程

為了減少M(fèi)WC 壓縮采樣系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)的負(fù)擔(dān)，可采用一種數(shù)字子信道分離的方法，對(duì)每個(gè)物理通道的采樣輸出序列進(jìn)行數(shù)字處理，得到多個(gè)新序列，則可達(dá)到以較高的采樣率換取較少的通道個(gè)數(shù)的效果，該數(shù)字處理過(guò)程如圖2所示。

圖2 某一物理通道的數(shù)字子信道分離原理框圖

數(shù)字子信道分離輸出序列為：

其離散傅里葉變換為：

將式（4）轉(zhuǎn)換為時(shí)域并寫(xiě)為矩陣形式有：

因此，對(duì)于整個(gè)MWC 系統(tǒng)而言，有：

2 通道失配分析與校正

2.1 問(wèn)題分析

實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)并不如理論分析中那么理想，由于模擬低通濾波器的群延時(shí)、A／D 轉(zhuǎn)換器的孔徑抖動(dòng)及各通道增益的不一致性，實(shí)際的采樣輸出序列中存在未知的增益與延時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的實(shí)際模型為：

式中，M 為由系統(tǒng)通道增益和延時(shí)引起的未知對(duì)角矩陣。然而若系統(tǒng)各通道延時(shí)之間存在一定差異，則系統(tǒng)模型為：

2.2 解決方案

對(duì)于某一包含數(shù)字子信道分離模塊的系統(tǒng)而言，實(shí)際情況下的乘性因子M 是固定不變的對(duì)角矩陣，即系統(tǒng)各物理通道的延時(shí)與增益是固定的，則只需分別輸入幾個(gè)已知稀疏信號(hào)，即可根據(jù)的系統(tǒng)輸出序列對(duì)M 進(jìn)行估算。

為了計(jì)算方便，發(fā)送幾個(gè)頻率不同的余弦信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)，相位可隨機(jī)選擇，則測(cè)試信號(hào)的系統(tǒng)輸出為：

將式（9）中的序列表示為矩陣形式：

由于對(duì)角矩陣M 為非奇異矩陣，則存在對(duì)角矩陣Δ 滿足Δ ＝M-1。因此，式（10）可以表示為：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)計(jì)一個(gè)包含信道分離模塊的MWC系統(tǒng)，以捕獲在頻譜范圍F＝ ［-fNYQ／2，fNYQ／2］，fNYQ＝62.5 MHz內(nèi)的多頻帶信號(hào)。其通道個(gè)數(shù)m ＝6，每個(gè)通道的采樣輸出被分離為q ＝5組序列，即相當(dāng)于通道個(gè)數(shù)為mq＝30的系統(tǒng)。選擇混頻信號(hào)pi（t）周期Tp＝4μs，每個(gè)周期內(nèi)變換M ＝500次符號(hào)，符號(hào)αik隨機(jī)產(chǎn)生。

首先針對(duì)系統(tǒng)各通道延時(shí)一致和系統(tǒng)各通道延時(shí)不一致兩種情況進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)矩陣M 進(jìn)行估計(jì)。兩種情況下系統(tǒng)各通道的增益與延時(shí)如表1所示。

表1 系統(tǒng)各通道的增益與延時(shí)

將n0個(gè)頻率不同的余弦信號(hào)x1（t）、…、xn0（t）分別作為系統(tǒng)的測(cè)試信號(hào)，并在信號(hào)中加入高斯白噪聲，記錄信號(hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后得到的長(zhǎng)度為N0＝500的n0組輸出序列。根據(jù)式（12）對(duì)矩陣Δ 進(jìn)行估計(jì)，并根據(jù)其估計(jì)值求得矩陣 的 估 計(jì)。定 義 矩 陣的 估 計(jì) 誤差為：

式中，mi為mq×mq 維對(duì)角矩陣M 的第i個(gè)元素，而為對(duì)角矩陣＾M 的第i個(gè)元素。

圖3 的歸一化均方根誤差與測(cè)試信號(hào)個(gè)數(shù)n0 的關(guān)系

接下來(lái)為了驗(yàn)證校正后系統(tǒng)模型的重構(gòu)精度，選用一個(gè)N ＝6的多頻帶信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其模型為：

式中，sinc（x）＝sin（πx）／（πx）。射頻信號(hào)的能量系數(shù)為Ei＝ ｛1，107，102｝，載波頻率fi在［-（fNYQ-B）／2，（fNYQ-B）／2］內(nèi)隨機(jī)選擇?？紤]到實(shí)際干擾的情況，在信號(hào)上加入與能量最小信號(hào)之間的信噪比SNR 為10dB的高斯白噪聲w（t），即系統(tǒng)輸入信號(hào)為x（t）＝x0（t）＋w（t）。該信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜如圖4所示。

圖4 多頻帶輸入信號(hào)波形及頻譜

圖5 根據(jù)理論模型恢復(fù)的信號(hào)波形及頻譜

圖6 根據(jù)校正模型恢復(fù)的信號(hào)波形及頻譜

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了MWC 壓縮采樣系統(tǒng)的工作原理，在信號(hào)重構(gòu)恢復(fù)理論模型的基礎(chǔ)上提出了校正模型，并對(duì)這兩種方法進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果表明，本文提出的校正模型與原有的理論模型相比，在信號(hào)重構(gòu)精度上有大幅提高，具有較好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值?！?/p>

［1］楊真真，楊震，孫林慧.信號(hào)壓縮重構(gòu)的正交匹配追蹤類算法綜述［J］.信號(hào)處理，2013，29（4）：486-496.

［2］Donoho DL，Tsaig Y.Extensions of compressed sensing［J］.Signal Processing，2006，86（3）：533-548.

［3］Candes EJ，Wakin M B.An introduction to compressive sampling［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2008，25（2）：21-30.

［4］Mishali M，Eldar YC.From theory to practice：Sub-Nyquist sampling of sparse wideband analog signals［J］.IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2010，4（2）：375-391.

［5］Mishali M，Eldar YC.Xampling：analog to digital at sub-Nyquist rates［J］.Circuits Devices ＆Systems，IET，2011，5（1）：8-20.

［6］Mishali M，Eldar YC.Wideband spectrum sensing at sub-Nyquist rates［J］.Signal Processing Magazine，2011，28（4）：102-135.