李兆旸,劉崇新,燕并男
(西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院,陜西 西安 710049)
電網(wǎng)中的諧波問題對電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行構(gòu)成了極大的潛在威脅,為了能把注入公網(wǎng)的諧波電流以及諧波電壓控制到安全范圍內(nèi),首要解決的問題就是諧波檢測。諧波檢測的傳統(tǒng)方法主要有模擬濾波器測量諧波法,基于瞬時(shí)無功功率理論的諧波檢測法,基于傅里葉變換的諧波檢測法以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的諧波檢測法等[1]。但是上述傳統(tǒng)方法中,由于信號中常常包含噪聲,其直接增大了仿真結(jié)果的誤差,影響了精確性。為此,通過混沌系統(tǒng)來檢測電力系統(tǒng)諧波信號,利用其對小信號極強(qiáng)的敏感性以及對噪聲的強(qiáng)免疫能力來解決傳統(tǒng)檢測方法中對噪聲抑制不徹底的不足之處,作為對現(xiàn)有諧波信號檢測方法中的一個(gè)補(bǔ)充是很有必要的。
混沌檢測不同于現(xiàn)有傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)諧波檢測方法,它利用了混沌系統(tǒng)對于初值的極度敏感性,即我們可以考慮將h次諧波視為微擾信號,通過檢測系統(tǒng)狀態(tài)就可以根據(jù)其是否發(fā)生極大的變化來判定該諧波信號是否存在,若系統(tǒng)狀態(tài)變化時(shí),還可以通過觀察系統(tǒng)狀態(tài)變化的特征,并對信號做出適當(dāng)?shù)奶幚硪约斑\(yùn)算,求出被測信號的各種參數(shù)[2-4]。
目前,Duffing振子[5]因其間歇混沌現(xiàn)象的特性常被用來作為檢測諧波信號的模型。具體來說,在Duffing方程右側(cè)加入與內(nèi)置信號頻率差較小的待測信號時(shí),內(nèi)置信號幅值會出現(xiàn)相應(yīng)變化,系統(tǒng)由于幅值的逐漸增大,會出現(xiàn)相應(yīng)的間歇性混沌現(xiàn)象。即時(shí)而周期,時(shí)而混沌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)幅值的變化到達(dá)某一臨界值時(shí)(即系統(tǒng)出現(xiàn)臨界混沌狀態(tài)時(shí)),系統(tǒng)將在大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)兩者之間振蕩,即會出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象,當(dāng)幅值繼續(xù)增大時(shí),系統(tǒng)將由間歇性混沌發(fā)展為混沌。
本文對Duffing振子方程進(jìn)行了改進(jìn),分析了其產(chǎn)生的間歇混沌現(xiàn)象。通過仿真實(shí)驗(yàn)證明:它對噪聲和與內(nèi)置信號頻差較大的周期干擾信號具有較強(qiáng)的免疫力,并根據(jù)產(chǎn)生這種現(xiàn)象的機(jī)理,提出了一種新的有效檢測電力系統(tǒng)諧波信號的方法。
Duffing方程在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有重要的地位,根據(jù)其方程形式確定的混沌系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性。其具體形式如下:
式中,x(t)為狀態(tài)變量;k為阻尼比;f為周期策動(dòng)力幅值;-x(t)+x3(t)為非線性恢復(fù)力。
以往對Duffing方程檢測的研究中[6-11],使用的均是式(1)的方程形式。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn),若將方程中的非線性恢復(fù)力項(xiàng)x冪項(xiàng)的系數(shù)增加,將顯著提升系統(tǒng)檢測信號的靈敏度以及工作穩(wěn)定性。改正后的方程形式如下:
改寫為動(dòng)力學(xué)方程:
對Duffing振子進(jìn)行仿真分析,觀察其動(dòng)力學(xué)行為。
若振子方程中的阻尼比k固定,則系統(tǒng)狀態(tài)隨著f 的變化如下:
f=0時(shí),系統(tǒng)相軌跡圖中鞍點(diǎn)為(0,0),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(1,0)和(-1,0),而點(diǎn)(x,x.)最終停在兩焦點(diǎn)之一,如圖1所示。
當(dāng)f≠0時(shí),系統(tǒng)隨f 取值的不同而呈現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)形態(tài)。當(dāng)f 較小時(shí),相軌跡表現(xiàn)為小周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),相點(diǎn)只圍繞一個(gè)焦點(diǎn)做周期振蕩。f 逐漸增大的同時(shí),系統(tǒng)會依次呈現(xiàn)出同宿軌道狀態(tài)(如圖2所示)和分叉狀態(tài)(如圖3所示),直到達(dá)到混沌狀態(tài)(如圖4所示),上述過程中f 的變化非常迅速。而在系統(tǒng)達(dá)到混沌狀態(tài)以后,調(diào)節(jié)策動(dòng)力幅值時(shí)發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)在較大的一個(gè)區(qū)間內(nèi)都將呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)。繼續(xù)增大f,當(dāng)其達(dá)到某個(gè)分叉閾值fd時(shí),系統(tǒng)將會處于由混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)(又稱臨界混沌狀態(tài)),如圖5所示。這時(shí)只需極小地增加f,使其值僅僅大于分叉閾值fd時(shí),系統(tǒng)就進(jìn)入大尺度周期狀態(tài),如圖6所示,此時(shí)相軌跡將焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)統(tǒng)統(tǒng)圍住。
圖1 f=0,[x(0),x′(0)]=[1,1]Fig. 1 f=0,[x(0),x′(0)]=[1,1]
圖2 f=0.2,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s同宿軌道狀態(tài)Fig. 2 f=0.2,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s homoclinic orbit state
取阻尼比k=0.5,將策動(dòng)力幅值從0逐漸增大,采用變步長ode45數(shù)值算法,即龍格庫塔方法進(jìn)行仿真。各個(gè)狀態(tài)的時(shí)域波形圖以及相軌跡圖如圖1—6所示。
仿真結(jié)果表明了Duffing振子的動(dòng)力學(xué)行為,并且從圖5到圖6的變化中可以看出,策動(dòng)力幅值極其微小的變化(10-8)就能引起系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生質(zhì)的變化。由以上分析可以得知,我們可以利用相軌跡由周期振蕩到混沌運(yùn)動(dòng)或者由混沌運(yùn)動(dòng)到周期振蕩的顯著變化來檢測信號,可以發(fā)現(xiàn),這種變化對策動(dòng)力信號幅值極具敏感性且對噪聲具有較強(qiáng)的免疫力等特點(diǎn)可以作為我們檢測諧波的基礎(chǔ)。據(jù)此,首先調(diào)節(jié)策動(dòng)力幅值f,使Duffing振子系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)過渡中的臨界混沌狀態(tài),將諧波信號也就是待測信號作為Duffing振子周期策動(dòng)力的擾動(dòng),將其相加從而作為驅(qū)動(dòng)力。由于該系統(tǒng)對策動(dòng)力的擾動(dòng)極其敏感,通過觀察系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變與否,可以檢測出諧波信號是否存在,從而測定出該信號的參數(shù)。
圖3 f=0.4,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s分叉狀態(tài)Fig. 3 f=0.4,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s bifurcation state
圖4 f=0.6,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s混沌狀態(tài)Fig. 4 f=0.6,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s chaotic state
令t=ωτ,f=F0,式(1)可以改為:
圖5 f=0.736 882 42,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s臨界混沌狀態(tài)Fig. 5 f=0.736 882 42,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s the critical state of chaos
圖6 f=0.736 882 43,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s大尺度周期狀態(tài)Fig. 6 f=0.736 882 43,[x(0),x′(0)]=[0,0],w=1 rad/s large-scale periodic state
在式(4)中右側(cè)加入頻率在ω附近的待測信號f′(t)=Acos[ω(1+Δω)t+φ],(Δω為待測信號與原有周期信號之間的相對頻差),得到:
等號兩邊同時(shí)乘以ω2并對右側(cè)簡化,得到:
上式中
式中,F(xiàn)(τ)為驅(qū)動(dòng)力的幅值;θ(τ)為驅(qū)動(dòng)力的初相角。由于A塏F0,所以θ(τ)的影響可以忽略。
觀察式(6)與式(2)發(fā)現(xiàn),二者差除了系數(shù)ω之外,前者比后者還多出了一個(gè)相位角參數(shù)。
據(jù)此,可得以下結(jié)論:
1)當(dāng)Δω=0時(shí),它表示此時(shí)待測信號頻率與周期策動(dòng)力信號頻率相同。
2)當(dāng)Δω≠0時(shí),策動(dòng)力信號頻率與振動(dòng)信號頻率之間會有一個(gè)微小的頻差。此時(shí)總策動(dòng)力F(τ)的幅值會在F(τ)∈(F0-A,F(xiàn)0+A)區(qū)間內(nèi)周期性地交替變化,由于參考信號矢徑與外加信號矢徑方向趨于一致或方向相反時(shí)直接影響總驅(qū)動(dòng)力F(τ)的幅值,即系統(tǒng)受F(τ)值的影響,時(shí)而大于fd而進(jìn)入周期狀態(tài),時(shí)而小于fd而進(jìn)入混沌狀態(tài),從而出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象。在微小的角頻差情況下,系統(tǒng)將以T=2π/Δω為周期,進(jìn)行間歇性混沌運(yùn)動(dòng)。因此可以通過測量T,間接得到外界待測信號的頻率值。
取F0=0.72,A=0.04,ω=1.00,Δω=0.05,觀察系統(tǒng)變化情況。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)處于時(shí)而混沌運(yùn)動(dòng),時(shí)而大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),即出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象,如圖7所示。
圖7 Δω=0.05的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 7 Intermittent chaos in Δω=0.05
由圖7、圖8對比觀察,當(dāng)待測信號與原有周期信號的相對頻率差值Δω過大時(shí),間歇性混沌現(xiàn)象逐漸變得不明顯或者消失,因?yàn)橄到y(tǒng)完成狀態(tài)變化通常需要1個(gè)周期以上的時(shí)間,當(dāng)Δω過大時(shí),由式(7)決定的F(τ)變化過快,激勵(lì)不足以持續(xù)足夠長的時(shí)間,使得系統(tǒng)無法在狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)響應(yīng)驅(qū)動(dòng)力值F(τ)快速的變化,導(dǎo)致間歇性混沌現(xiàn)象不再規(guī)律性地出現(xiàn)。另外,當(dāng)Δω過小時(shí),F(xiàn)(τ)在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)變化很小,導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)變化所需要的時(shí)間很長,即在一段長時(shí)間內(nèi)維持周期狀態(tài)或混沌狀態(tài)。通過仿真實(shí)驗(yàn),我們一般取Δω∈(0.02,0.06)才能產(chǎn)生明顯的間歇性混沌現(xiàn)象。
圖8 Δω=0.1的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 8 Intermittent chaos in Δω=0.1
考慮到算法效率的問題,這里用統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)變量過零時(shí)間點(diǎn)的間距方法來判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。因?yàn)橄到y(tǒng)處于周期狀態(tài)時(shí),過零時(shí)間點(diǎn)必然呈等差數(shù)列排列即間距相等,而處于混沌狀態(tài)時(shí),則不具有這樣的特征。
圖8的仿真和結(jié)論已經(jīng)說明:當(dāng)待測信號與周期策動(dòng)力間的相對頻率差過大時(shí),間歇性混沌現(xiàn)象消失。基于這一結(jié)論,要想測定某一已知頻率附近的擾動(dòng)信號頻率,可以把周期信號設(shè)為該已知頻率,再來搜索確定該頻率附近是否存在小的擾動(dòng)信號,即監(jiān)測間歇性混沌現(xiàn)象是否發(fā)生。需要注意的是搜索區(qū)間大小一定要適中,過大或者過小都會導(dǎo)致無法監(jiān)測到明顯的間歇性混沌現(xiàn)象。
例如要檢測頻率ω′∈(ω1,ω2)的待測信號,先選取合適的公比q=1+Δω,從ω1開始取ω′,ω′q,ω′q2等作為周期策動(dòng)力的頻率,若發(fā)生間歇性混沌現(xiàn)象,就用上述方法算出ω′,若沒有發(fā)生間歇性混沌現(xiàn)象,則說明待測信號的頻率不屬于該預(yù)估區(qū)間內(nèi)。