李兆旸，劉崇新，燕并男

（西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710049）

電網(wǎng)中的諧波問(wèn)題對(duì)電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行構(gòu)成了極大的潛在威脅，為了能把注入公網(wǎng)的諧波電流以及諧波電壓控制到安全范圍內(nèi)，首要解決的問(wèn)題就是諧波檢測(cè)。諧波檢測(cè)的傳統(tǒng)方法主要有模擬濾波器測(cè)量諧波法，基于瞬時(shí)無(wú)功功率理論的諧波檢測(cè)法，基于傅里葉變換的諧波檢測(cè)法以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的諧波檢測(cè)法等[1]。但是上述傳統(tǒng)方法中，由于信號(hào)中常常包含噪聲，其直接增大了仿真結(jié)果的誤差，影響了精確性。為此，通過(guò)混沌系統(tǒng)來(lái)檢測(cè)電力系統(tǒng)諧波信號(hào)，利用其對(duì)小信號(hào)極強(qiáng)的敏感性以及對(duì)噪聲的強(qiáng)免疫能力來(lái)解決傳統(tǒng)檢測(cè)方法中對(duì)噪聲抑制不徹底的不足之處，作為對(duì)現(xiàn)有諧波信號(hào)檢測(cè)方法中的一個(gè)補(bǔ)充是很有必要的。

混沌檢測(cè)不同于現(xiàn)有傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)方法，它利用了混沌系統(tǒng)對(duì)于初值的極度敏感性，即我們可以考慮將h次諧波視為微擾信號(hào)，通過(guò)檢測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)就可以根據(jù)其是否發(fā)生極大的變化來(lái)判定該諧波信號(hào)是否存在，若系統(tǒng)狀態(tài)變化時(shí)，還可以通過(guò)觀察系統(tǒng)狀態(tài)變化的特征，并對(duì)信號(hào)做出適當(dāng)?shù)奶幚硪约斑\(yùn)算，求出被測(cè)信號(hào)的各種參數(shù)[2-4]。

目前，Duffing振子[5]因其間歇混沌現(xiàn)象的特性常被用來(lái)作為檢測(cè)諧波信號(hào)的模型。具體來(lái)說(shuō)，在Duffing方程右側(cè)加入與內(nèi)置信號(hào)頻率差較小的待測(cè)信號(hào)時(shí)，內(nèi)置信號(hào)幅值會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)變化，系統(tǒng)由于幅值的逐漸增大，會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的間歇性混沌現(xiàn)象。即時(shí)而周期，時(shí)而混沌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)幅值的變化到達(dá)某一臨界值時(shí)（即系統(tǒng)出現(xiàn)臨界混沌狀態(tài)時(shí)），系統(tǒng)將在大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)兩者之間振蕩，即會(huì)出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象，當(dāng)幅值繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)將由間歇性混沌發(fā)展為混沌。

本文對(duì)Duffing振子方程進(jìn)行了改進(jìn)，分析了其產(chǎn)生的間歇混沌現(xiàn)象。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證明：它對(duì)噪聲和與內(nèi)置信號(hào)頻差較大的周期干擾信號(hào)具有較強(qiáng)的免疫力，并根據(jù)產(chǎn)生這種現(xiàn)象的機(jī)理，提出了一種新的有效檢測(cè)電力系統(tǒng)諧波信號(hào)的方法。

1 利用混沌性質(zhì)檢測(cè)信號(hào)的原理

Duffing方程在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有重要的地位，根據(jù)其方程形式確定的混沌系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性。其具體形式如下：

式中，x（t）為狀態(tài)變量；k為阻尼比；f為周期策動(dòng)力幅值；－x（t）+x3（t）為非線性恢復(fù)力。

以往對(duì)Duffing方程檢測(cè)的研究中[6-11]，使用的均是式（1）的方程形式。經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，若將方程中的非線性恢復(fù)力項(xiàng)x冪項(xiàng)的系數(shù)增加，將顯著提升系統(tǒng)檢測(cè)信號(hào)的靈敏度以及工作穩(wěn)定性。改正后的方程形式如下：

改寫為動(dòng)力學(xué)方程：

對(duì)Duffing振子進(jìn)行仿真分析，觀察其動(dòng)力學(xué)行為。

若振子方程中的阻尼比k固定，則系統(tǒng)狀態(tài)隨著f 的變化如下：

f=0時(shí)，系統(tǒng)相軌跡圖中鞍點(diǎn)為（0，0），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（1，0）和（－1，0），而點(diǎn)（x，x.）最終停在兩焦點(diǎn)之一，如圖1所示。

當(dāng)f≠0時(shí)，系統(tǒng)隨f 取值的不同而呈現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)形態(tài)。當(dāng)f 較小時(shí)，相軌跡表現(xiàn)為小周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，相點(diǎn)只圍繞一個(gè)焦點(diǎn)做周期振蕩。f 逐漸增大的同時(shí)，系統(tǒng)會(huì)依次呈現(xiàn)出同宿軌道狀態(tài)（如圖2所示）和分叉狀態(tài)（如圖3所示），直到達(dá)到混沌狀態(tài)（如圖4所示），上述過(guò)程中f 的變化非常迅速。而在系統(tǒng)達(dá)到混沌狀態(tài)以后，調(diào)節(jié)策動(dòng)力幅值時(shí)發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在較大的一個(gè)區(qū)間內(nèi)都將呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)。繼續(xù)增大f，當(dāng)其達(dá)到某個(gè)分叉閾值fd時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)處于由混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)（又稱臨界混沌狀態(tài)），如圖5所示。這時(shí)只需極小地增加f，使其值僅僅大于分叉閾值fd時(shí)，系統(tǒng)就進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，如圖6所示，此時(shí)相軌跡將焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)統(tǒng)統(tǒng)圍住。

圖1 f=0，[x（0），x′（0）]=[1，1]Fig. 1 f=0，[x（0），x′（0）]=[1，1]

圖2 f=0.2，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s同宿軌道狀態(tài)Fig. 2 f=0.2，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s homoclinic orbit state

取阻尼比k=0.5，將策動(dòng)力幅值從0逐漸增大，采用變步長(zhǎng)ode45數(shù)值算法，即龍格庫(kù)塔方法進(jìn)行仿真。各個(gè)狀態(tài)的時(shí)域波形圖以及相軌跡圖如圖1—6所示。

仿真結(jié)果表明了Duffing振子的動(dòng)力學(xué)行為，并且從圖5到圖6的變化中可以看出，策動(dòng)力幅值極其微小的變化（10－8）就能引起系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生質(zhì)的變化。由以上分析可以得知，我們可以利用相軌跡由周期振蕩到混沌運(yùn)動(dòng)或者由混沌運(yùn)動(dòng)到周期振蕩的顯著變化來(lái)檢測(cè)信號(hào)，可以發(fā)現(xiàn)，這種變化對(duì)策動(dòng)力信號(hào)幅值極具敏感性且對(duì)噪聲具有較強(qiáng)的免疫力等特點(diǎn)可以作為我們檢測(cè)諧波的基礎(chǔ)。據(jù)此，首先調(diào)節(jié)策動(dòng)力幅值f，使Duffing振子系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)過(guò)渡中的臨界混沌狀態(tài)，將諧波信號(hào)也就是待測(cè)信號(hào)作為Duffing振子周期策動(dòng)力的擾動(dòng)，將其相加從而作為驅(qū)動(dòng)力。由于該系統(tǒng)對(duì)策動(dòng)力的擾動(dòng)極其敏感，通過(guò)觀察系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變與否，可以檢測(cè)出諧波信號(hào)是否存在，從而測(cè)定出該信號(hào)的參數(shù)。

圖3 f=0.4，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s分叉狀態(tài)Fig. 3 f=0.4，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s bifurcation state

圖4 f=0.6，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s混沌狀態(tài)Fig. 4 f=0.6，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s chaotic state

2 測(cè)定信號(hào)參數(shù)

令t=ωτ，f=F0，式（1）可以改為：

圖5 f=0.736 882 42，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s臨界混沌狀態(tài)Fig. 5 f=0.736 882 42，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s the critical state of chaos

圖6 f=0.736 882 43，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s大尺度周期狀態(tài)Fig. 6 f=0.736 882 43，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s large-scale periodic state

在式（4）中右側(cè)加入頻率在ω附近的待測(cè)信號(hào)f′（t）=Acos[ω（1+Δω）t+φ]，（Δω為待測(cè)信號(hào)與原有周期信號(hào)之間的相對(duì)頻差），得到：

等號(hào)兩邊同時(shí)乘以ω2并對(duì)右側(cè)簡(jiǎn)化，得到：

上式中

式中，F(xiàn)（τ）為驅(qū)動(dòng)力的幅值；θ（τ）為驅(qū)動(dòng)力的初相角。由于A塏F0，所以θ（τ）的影響可以忽略。

觀察式（6）與式（2）發(fā)現(xiàn)，二者差除了系數(shù)ω之外，前者比后者還多出了一個(gè)相位角參數(shù)。

據(jù)此，可得以下結(jié)論：

1）當(dāng)Δω=0時(shí)，它表示此時(shí)待測(cè)信號(hào)頻率與周期策動(dòng)力信號(hào)頻率相同。

2）當(dāng)Δω≠0時(shí)，策動(dòng)力信號(hào)頻率與振動(dòng)信號(hào)頻率之間會(huì)有一個(gè)微小的頻差。此時(shí)總策動(dòng)力F（τ）的幅值會(huì)在F（τ）∈（F0－A，F(xiàn)0+A）區(qū)間內(nèi)周期性地交替變化，由于參考信號(hào)矢徑與外加信號(hào)矢徑方向趨于一致或方向相反時(shí)直接影響總驅(qū)動(dòng)力F（τ）的幅值，即系統(tǒng)受F（τ）值的影響，時(shí)而大于fd而進(jìn)入周期狀態(tài)，時(shí)而小于fd而進(jìn)入混沌狀態(tài)，從而出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象。在微小的角頻差情況下，系統(tǒng)將以T=2π/Δω為周期，進(jìn)行間歇性混沌運(yùn)動(dòng)。因此可以通過(guò)測(cè)量T，間接得到外界待測(cè)信號(hào)的頻率值。

取F0=0.72，A=0.04，ω=1.00，Δω=0.05，觀察系統(tǒng)變化情況。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)處于時(shí)而混沌運(yùn)動(dòng)，時(shí)而大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象，如圖7所示。

圖7 Δω=0.05的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 7 Intermittent chaos in Δω=0.05

由圖7、圖8對(duì)比觀察，當(dāng)待測(cè)信號(hào)與原有周期信號(hào)的相對(duì)頻率差值Δω過(guò)大時(shí)，間歇性混沌現(xiàn)象逐漸變得不明顯或者消失，因?yàn)橄到y(tǒng)完成狀態(tài)變化通常需要1個(gè)周期以上的時(shí)間，當(dāng)Δω過(guò)大時(shí)，由式（7）決定的F（τ）變化過(guò)快，激勵(lì)不足以持續(xù)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，使得系統(tǒng)無(wú)法在狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)響應(yīng)驅(qū)動(dòng)力值F（τ）快速的變化，導(dǎo)致間歇性混沌現(xiàn)象不再規(guī)律性地出現(xiàn)。另外，當(dāng)Δω過(guò)小時(shí)，F(xiàn)（τ）在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)變化很小，導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)變化所需要的時(shí)間很長(zhǎng)，即在一段長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)維持周期狀態(tài)或混沌狀態(tài)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，我們一般取Δω∈（0.02，0.06）才能產(chǎn)生明顯的間歇性混沌現(xiàn)象。

圖8 Δω=0.1的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 8 Intermittent chaos in Δω=0.1

2.1 測(cè)定信號(hào)的頻率

考慮到算法效率的問(wèn)題，這里用統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)變量過(guò)零時(shí)間點(diǎn)的間距方法來(lái)判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。因?yàn)橄到y(tǒng)處于周期狀態(tài)時(shí)，過(guò)零時(shí)間點(diǎn)必然呈等差數(shù)列排列即間距相等，而處于混沌狀態(tài)時(shí)，則不具有這樣的特征。

圖8的仿真和結(jié)論已經(jīng)說(shuō)明：當(dāng)待測(cè)信號(hào)與周期策動(dòng)力間的相對(duì)頻率差過(guò)大時(shí)，間歇性混沌現(xiàn)象消失。基于這一結(jié)論，要想測(cè)定某一已知頻率附近的擾動(dòng)信號(hào)頻率，可以把周期信號(hào)設(shè)為該已知頻率，再來(lái)搜索確定該頻率附近是否存在小的擾動(dòng)信號(hào)，即監(jiān)測(cè)間歇性混沌現(xiàn)象是否發(fā)生。需要注意的是搜索區(qū)間大小一定要適中，過(guò)大或者過(guò)小都會(huì)導(dǎo)致無(wú)法監(jiān)測(cè)到明顯的間歇性混沌現(xiàn)象。

例如要檢測(cè)頻率ω′∈（ω1，ω2）的待測(cè)信號(hào)，先選取合適的公比q=1+Δω，從ω1開始取ω′，ω′q，ω′q2等作為周期策動(dòng)力的頻率，若發(fā)生間歇性混沌現(xiàn)象，就用上述方法算出ω′，若沒(méi)有發(fā)生間歇性混沌現(xiàn)象，則說(shuō)明待測(cè)信號(hào)的頻率不屬于該預(yù)估區(qū)間內(nèi)。

2.2 測(cè)定信號(hào)的相位

設(shè)當(dāng)cos（ωΔωt+準(zhǔn)）=a（a∈0，1）時(shí)，F(xiàn)（τ）=Fd（Fd為系統(tǒng)狀態(tài)變化的臨界值），則當(dāng)cos（ωΔωt+準(zhǔn)）>a時(shí)，系統(tǒng)會(huì)處于大尺度周期狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于圖9中的T1時(shí)間段；而當(dāng)cos（ωΔωt+準(zhǔn)）

圖9 系統(tǒng)分別處于大尺度周期和混沌狀態(tài)的時(shí)間段Fig. 9 System in Large-scale periodic state and chaoticstate period

設(shè)式（5）中的周期策動(dòng)力為F0cos（ωt+準(zhǔn)1），待測(cè)信號(hào)Acos（ω（1+Δω）t+準(zhǔn)2），二者相位差Δ準(zhǔn)=準(zhǔn)2－準(zhǔn)1，F(xiàn)（τ）和θ（τ）均有變化：

不妨設(shè)相位差Δ準(zhǔn)=0，當(dāng)t=0時(shí)，cos（ωΔωt+Δ準(zhǔn)）=1，F(xiàn)（τ）=F0+A>Fd，系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)，隨著時(shí)間的變化，ωΔωt+Δ準(zhǔn)=T1時(shí)，cos（ωΔωt+Δ準(zhǔn)）減小到a，F(xiàn)（τ）從F0+A減小到Fc，系統(tǒng)處于從大尺度周期狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài)的臨界狀態(tài)。同樣的，如果cos（ωΔωt+準(zhǔn)）從a增加到1，相應(yīng)的F（τ）從Fc增加到F0+A，不難發(fā)現(xiàn)，該過(guò)程同樣需要時(shí)間T1。

圖10 Δφ不同時(shí)的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 10 Intermittent chaos in different phase Δφ

待測(cè)信號(hào)相位準(zhǔn)2=準(zhǔn)1+Δ準(zhǔn)。

2.3 測(cè)定信號(hào)幅值

觀察圖9可得：

上兩式中，T1為大尺度周期狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間；T2為混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間。

通過(guò)過(guò)零點(diǎn)間距方法找出大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間T1和T2，代入式（14）中解關(guān)于幅值A(chǔ)的一元二次方程，即可得到未知信號(hào)幅值的大小。

3 仿真結(jié)果

仿真試驗(yàn)中的振子實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖11 振子的系統(tǒng)仿真模型Fig. 11 Oscillator system simulation model

當(dāng)將待測(cè)信號(hào)加入原有周期信號(hào)之后，通過(guò)檢測(cè)間歇性混沌信號(hào)，并用上述方法得出待測(cè)信號(hào)的幅值。仿真時(shí)，設(shè)定k=0.3，取[x（0），x′（0）]=[0，0]，利用定步長(zhǎng)h=0.01四階龍格—庫(kù)塔方法進(jìn)行計(jì)算。以下表1～表3即是仿真后所測(cè)得的信號(hào)參數(shù)。

表1 待測(cè)信號(hào)幅值Tab. 1 Amplitude of tested signal

表2 待測(cè)信號(hào)相位Tab. 2 Phase of tested signal

由仿真結(jié)果可以看出，絕對(duì)誤差的總體趨勢(shì)是隨著測(cè)量值增加而線性上升的，而相對(duì)誤差則一直維持在一個(gè)較小的值，計(jì)算結(jié)果的誤差達(dá)到了測(cè)量的預(yù)期。理論上只要選擇合適的參數(shù)以及算法，測(cè)量的精度上限可以無(wú)窮逼近實(shí)際值。

表3 待測(cè)信號(hào)頻率Tab. 3 Frequency of tested signal

4 結(jié)論

通過(guò)以上仿真分析，利用混沌系統(tǒng)檢測(cè)電力諧波較之于傳統(tǒng)電力系統(tǒng)檢測(cè)方法精度更高，抗噪性更強(qiáng)，而當(dāng)多頻信號(hào)檢測(cè)時(shí)，只需要調(diào)整振子參數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)檢測(cè)。同時(shí)，修改方程后的振子系統(tǒng)比傳統(tǒng)的Duffing振子系統(tǒng)對(duì)周期性小信號(hào)更具有敏感性，能夠得到更大的幅值有效區(qū)間和更高的精度。若能夠有效地將該方法與其他方法相結(jié)合，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，將會(huì)使得利用混沌理論檢測(cè)電力系統(tǒng)諧波走向?qū)嶋H應(yīng)用。

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