厲文秀
(河海大學能源與電氣學院,江蘇南京 210098)
在自然界,系統狀態(tài)的未來發(fā)展趨勢往往既取決于當前運行狀態(tài),也與過去的狀態(tài)密切相關,這類現象稱為時滯現象。時滯現象在電力系統的控制回路中非常普遍,在過去分析電力系統時,往往忽略時滯的影響,這主要是因為控制器由本地量構成,此時的通信延時在10 ms以下[1-4]。但是,隨著互聯電力系統規(guī)模和復雜度的不斷增加,大量功率需要遠距離傳輸,區(qū)域間功率振蕩的可能性和危害性日益增加,僅靠局部反饋信號設計的控制器越來越難保證互聯電力系統的穩(wěn)定性,必須充分利用廣域量測系統所能提供的遠方設備信息,進行系統協同控制,方能確保系統的安全穩(wěn)定運行。而廣域量測信息存在明顯的延時,不能完全忽略,因此研究時滯環(huán)節(jié)對系統穩(wěn)定性的影響,具有十分重要的現實意義[5-8]。
現實生活中電力系統總是存在著各種各樣隨機干擾,這些干擾有的是由擾動引起的系統內部結構、參數變化,有的是由可再生能源、電動汽車等接入引起的外部隨機激勵。當前隨著可再生能源的大規(guī)模并網,其隨機性對電力系統的影響不容忽略,有必要研究隨機因素作用下電力系統的穩(wěn)定性問題[9-10]。
隨機電力系統中加入時滯,其研究的難度大大增加。近年來隨著隨機H∞控制問題的解決,隨機時滯系統的穩(wěn)定性和魯棒控制問題的研究取得了一定進展,出現了一些新的研究成果。文獻[11]研究了一類帶Markovian切換的非線性時滯隨機系統的穩(wěn)定性問題;文獻[12-13]通過使用模型轉換和線性矩陣不等式的方法,研究了一類時滯不確定隨機系統的平均時間延遲和指數穩(wěn)定性的魯棒控制;文獻[14-15]研究了不確定隨機系統的魯棒穩(wěn)定性條件。
目前在電力系統領域,隨機時滯系統的穩(wěn)定性研究還未見報道。本文以勵磁系統輸入信號延時作為時滯環(huán)節(jié),并通過引入負荷擾動項,建立單機無窮大隨機時滯系統的數學模型;仿真獲得隨機時滯電力系統的受擾軌跡,分析不同時滯、不同擾動強度下隨機時滯電力系統的穩(wěn)定性;負荷模型分別采用恒阻抗、恒功率、恒電流模型,分析比較采用不同負荷模型對系統穩(wěn)定性的影響。仿真表明,3種負荷模型所能承受的時滯上限能力從大到小依次為:恒阻抗模型、恒電流模型、恒功率模型。
用于描述負荷特性的數學模型稱之為負荷模型[16]。如果所采用的負荷模型不夠準確,在系統仿真過程中,會影響電力系統的動態(tài)響應以及系統安全穩(wěn)定問題,甚至仿真得到的結果與系統的真實情況存在很大的差異[17-20]。
一個靜態(tài)負荷模型表示任意瞬時的負荷特性是該瞬時的母線電壓幅值和頻率的代數函數。有功功率分量P和無功功率分量Q分別予以考慮。本文只考慮與電壓相關的負荷模型。
傳統上負荷對電壓的依賴特性用指數模型來表示
式(1)中,P和Q為當母線電壓幅值為V時的負荷有功和無功分量;下標“0”表示初始運行條件時相關變量的值。
這個模型的參數是指數a和b。當這些指數等于0、1或2,該模型分別表示恒功率、恒電流或恒阻抗特性。對于合成負荷,它們的值取決于負荷分量的綜合特性。指數a(或b)接近等于當U=U0時的斜率dP/dU(或dQ/dU)。對于合成的系統負荷,指數a通常在0.5~1.8的范圍內;指數b的典型值在1.5~6.0之間。指數b的一個突出特點是,它的變化是電壓的非線性函數。這是配電變壓器和電動機的磁飽和所引起的。電壓越高,Q也就明顯的越大。
廣泛用來表示負荷的電壓依賴性的另一種模型是多項式模型
這個模型通常稱為ZIP模型,因為它是由恒阻抗(Z)、恒電流(I)和恒功率(P)分量組成的。該模型的參數是系數p1~p3和q1~q3,它們定義了每個分量的比率。
以圖1所示3節(jié)點電力系統,其中發(fā)電機采用三階實用模型,計及勵磁系統動態(tài)。
圖1 典型3節(jié)點系統Fig. 1 A classical three-bus power system
系統中負荷模型采用的是集結負荷模型,包括商業(yè)居民負荷和工業(yè)負荷。商業(yè)負荷和居民負荷均采用恒功率靜態(tài)模型;工業(yè)負荷包括靜態(tài)工業(yè)負荷和動態(tài)工業(yè)負荷兩部分,其中靜態(tài)工業(yè)負荷采用(ZIP)模型(即恒阻抗、恒電流和恒功率負荷模型),以恒功率模型為例,動態(tài)工業(yè)負荷則可以表示為如下形式[21-22]:
式(3)中,P0,Q0分別為商業(yè)居民負荷的有功、無功負荷;P1,Q1分別為工業(yè)負荷中靜態(tài)部分的恒功率有功、無功負荷;U、θ為負荷母線處電壓及相角。Kpω,Kqω,Kpv,Kqv,Kqv2和T為負荷特性常數。
在式(3)的基礎上,建立數學模型
式(4)中,Xd和Xq分別為dq軸同步電抗;E′q為q軸暫態(tài)電勢;X′d為d軸暫態(tài)電抗;δ和ω分別為發(fā)電機轉子的功角和角速度;ω0為角速度的初始穩(wěn)態(tài)值;Tj為發(fā)電機的慣性時間常數;Pm為機械功率;Pe為電磁功率;D為阻尼系數;T′d0為d軸的暫態(tài)時間常數;Ef為勵磁電勢。PL和QL是負荷母線從網絡中吸收的有功功率和無功功率,是U,θ,δ的函數。其表達式為
式(5)中,E′0、Y′0和θ′0是根據戴維南等效定理,將負荷點上并聯的電容C并入無窮大母線后系統的等值參數
其中Y=1/X0,X0=Xl/2+XT2,XT2為降壓變壓器T2的電抗。
式(4)中的Pe、Id、Vg可以根據發(fā)電機的電壓向量圖,得到關系式
式(7)中,EQ為假想電動勢;Eq為空載電動勢;V為無窮大母線電壓;Vg為勵磁系統端電壓。
一般認為功角穩(wěn)定性問題與有功負荷的變化有關,而電壓穩(wěn)定性與無功負荷有關,所以本文只考慮無功負荷發(fā)生隨機變動。在系統已知負荷模型中加入隨機擾動項,這樣模型系統中無功負荷形式為
對于隨機微分方程來說,只有滿足一些特殊表達的簡單系統才能夠解析求解,更多的情況需通過數值計算方法獲得解過程的軌跡。EM數值方法是隨機微分方程最簡單的數值求解的方法[23-24]。設隨機過程X(t)是隨機微分方程(6)的解過程,對于某個正整數N,記Δt=(T-t0)/N,τj=jΔt,Xj=X(τj),j=0,1,2,…,N,則EM數值方法的差分迭代公式為:
系統參數設置如下:
Tj=10.0 s,Xd=0.982 pu,Xq=0.982 pu,X′d=0.344 pu,Xe=0.604 pu,D=0.5,T′d0=5.0 s,Vg0=1.05 pu,Pm=0.45 pu,ω0=314.15 rad/s,Ka=5,Ta=0.5 s,C=12,Kpω=-0.4,Kqω=-0.03,Kpv=0.3,Kqv,=-2.8,Kqv2=2.1,T=8.5,P0=0.6,Q0=1.3,P1=0,Q0=10.946。
采用EM數值方法仿真獲得系統電壓變化曲線,仿真1 000次并平均,根據平均響應曲線分析時滯對穩(wěn)定性的影響。
1)σ0=0.01
從圖2中,我們可以看出,當激勵強度σ0=0.01時,電壓振蕩幅度比較小,當時滯比較小時,負荷母線電壓變化比較平衡,系統穩(wěn)定。而當隨著時滯τ逐漸增大到τ=0.139 s時,母線電壓大幅度降低,系統失穩(wěn)。
2)σ0=0.5
3)σ0=1
從圖3中可以看出,當激勵強度σ0=0.5時,電壓振蕩幅度比較小,當時滯比較小時,負荷母線電壓變化比較平衡,系統穩(wěn)定。而當隨著時滯τ逐漸增大到τ=0.121 s時,母線電壓大幅度降低,系統失穩(wěn)。圖4中,當激勵強度σ0=1時,無論有沒有時滯,或者時滯數值為多大,系統都失穩(wěn)。比較圖2、圖3可以發(fā)現,隨著激勵強度的增加,負荷母線電壓呈現明顯的隨機振蕩,這主要是由于隨機擾動添加到了Q1中,負荷點的電壓則對無功波動反應迅速,而且隨機激勵強度越大,系統振蕩頻率越快。
圖4 σ0=1時電壓響應曲線Fig. 4 The voltage curve under σ0=1
表1列出了不同隨機擾動強度,不同時滯作用下系統的穩(wěn)定域與不穩(wěn)定域。
表1 恒功率模型時不同時滯、不同激勵強度下的電壓穩(wěn)定性Tab. 1 Stability under different excitation intensities and time delays with constant power load
從表1中,可分析出:隨機時滯電力系統的穩(wěn)定性不僅取決于激勵的強度,還與時滯的大小密切有關。且隨著激勵強度的增加,系統可承受的時滯上限逐漸降低,穩(wěn)定域縮小。
當負荷采用恒阻抗模型時,即
分析在這種模型條件下,不同時滯、不同激勵強度下系統的穩(wěn)定性。仿真結果如表2所示。
表2 恒阻抗模型時不同時滯、不同激勵強度下的電壓穩(wěn)定性Tab. 2 Stability under different excitation intensities and time delays with constant impedance load
當負荷采用恒阻抗模型時,即
分析在這種模型條件下,不同時滯、不同激勵強度下系統的穩(wěn)定性。仿真結果如表3所示。
表3 恒電流模型時不同時滯、不同激勵強度下的電壓穩(wěn)定性Tab. 3 Stability under different excitation intensities and time delays with constant current load
綜合表1—表3可知,采用不同的負荷模型,對時滯隨機電力系統的穩(wěn)定性會有不同的影響。在相同的隨機激勵強度下,不同的負荷模型所能承受的時滯上限有所差異。3種負荷模型所能承受的時滯上限的能力由大到小的順序為:恒阻抗模型>恒電流模型>恒功率模型。其原因在于:系統中負荷母線處安裝的電容,其作用是為了支撐負荷點的電壓,但負荷模型中隨機擾動的存在會導致系統電壓產生隨機波動并略有下降。由于恒阻抗模型所需無功功率與電壓平方值成正比,恒電流模型所需無功功率與電壓值成正比,因此這兩種模型所需要的無功功率都會隨著系統電壓的降低而減少,且恒阻抗模型減少的程度多于恒電流模型。而恒功率模型所需的無功功率并不隨系統電壓變化而變化,導致系統電壓進一步下降,因此會更加不利于系統的電壓穩(wěn)定。
本文基于一個經典3節(jié)點電力系統模型,以勵磁系統輸入信號延時作為時滯環(huán)節(jié),并通過引入負荷擾動項,建立隨機時滯系統的數學模型,并運用隨機歐拉法對該微分方程組進行數值求解,仿真分析不同時滯、不同擾動強度下隨機時滯電力系統的穩(wěn)定性;同時負荷模型分別采用恒阻抗、恒功率、恒電流模型,分析比較不同負荷模型對系統穩(wěn)定性的影響。仿真表明,3種負荷模型所能承受的時滯上限能力從大到小依次為:恒阻抗模型、恒電流模型、恒功率模型。
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