●沈雪清(德清縣高級中學浙江德清313200)

探索焦點三角形

●沈雪清(德清縣高級中學浙江德清313200)

孔子說過:“知之者不如好之者，好知之者不如樂之者.”激發(fā)學生的求知欲、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，是數(shù)學教學的重要任務之一.探索性學習作為一種開放式學習方式，是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的重要手段.探索性問題在高考中經常出現(xiàn)，而且所占比例有繼續(xù)上升的趨勢.然而在平時的教學中，如何利用課本習題設計探索性問題、引導學生進行研究性學習呢?現(xiàn)行高中數(shù)學新教材第2冊第132頁的第6題就是一個典型例子，許多高考題、競賽題都可以從中找到生長點.

此題的解答對學生來說并不困難，正如著名數(shù)學教育家波利亞所說:“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但不太復雜的題目，去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”如何發(fā)揮本題的教學功能呢?筆者認為，可以通過以下3個方面來實現(xiàn).

1 一題多解，加強知識間的橫向聯(lián)系，激發(fā)學生的學習興趣

本題的解答方法很多，學生最容易想到的是如下方法:

解法1(斜率法)設所求的點為P(x，y)，焦點坐標為F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0).由PF1⊥PF2，知

在解法1完成后，若能不失時機地引導學生從不同的角度去考慮，還可得如下幾種不同的解法:

解法2(向量法)設所求的點為P(x，y)，焦點坐標為F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，則

解法4(幾何法)設所求的點為P(x，y)，由PF1⊥PF2，知點P在以F1F2為直徑的圓上，即x2+y2=25(以下同解法1).

解法5(面積法)設所求的點為P(x，y)，則

2 一題多變，縱向深入挖掘知識內涵，煥起學生探究的熱情

假設點P存在，則點P必是以2個焦點連線段為直徑的圓x2+y2=c2與橢圓的交點.由此解得

因為a2-2b2≥0不一定成立，所以這樣的點P不一定存在.當a2-2b2≥0(即)時存在，此時橢圓的離心率;當時，c=b，x= 0，此時該點在y軸上，方程組有2個解且圓內切于橢圓.

設|PF1|=r1，|PF2|=r2，則

當r1=r2時，等號成立，即當點P運動到橢圓與短軸的交點C，D時，cos∠F1PF2最小，∠F1PF2最大.

由結論2知，P是否存在由θ與∠F1CF2= 2arctan(C為短軸的一個端點)的大小關系決定:當θ＞2arctan時，點P不存在;當θ= 2arctan時，點P有2個;當0＜θ＜2arctan時，點P有4個.

設P(x0，y0)，可知當∠F1PF2=90°時，

根據前面的結論可得:

變式5設∠F1PF2=θ，則|PF1|·|PF2|及S△PF1F2與θ有何關系?

結論4橢圓上焦點三角形的面積S△PF1PF2= b2tan(其中∠F1PF2=θ).

3 一題多改，促進學生思維發(fā)散遷移，提升學生探究問題的潛能

把結論2的條件稍作改變，即可得推廣命題:

推廣1如圖1所示，已知A1，A2是橢圓(其中a＞b＞0)的2個端點，點P是橢圓上的動點，當點P沿著弧從點A2向點B2運動時，∠A1PA2逐漸增大，當且僅當點P與點B2重合時，∠A1PA2取得最大值.

圖1

證明設點P(x，y)，∠A1PA2=θ，則

又點P(x，y)在橢圓上，從而

若把結論2中的條件“P為橢圓上的動點”改為“P是橢圓準線上的動點”，又可得新命題.

證明不妨設F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)是橢圓的2個焦點，點P是右準線l上的點，則點P的坐標為.又因為

若把上述命題中的焦點變?yōu)殚L軸的端點，又可得如下命題:

證明設A1，A2是橢圓長軸的2個端點，點P是右準線上的一點，則A1(-a，0)，A2(a，0)，.又

以上是筆者對本習題教學的一些粗淺看法.運用這些結論還能解決很多實際問題，在此就不一一列舉了.

［1］楊祖斌.圓錐曲線的有趣性質［J］.中學數(shù)學教學參考，2005(5):28.

［2］仲濟齋.構造圓錐曲線解題［J］.中學數(shù)學，2005(12):22-23.

［3］肖秉林.過橢圓焦點的內接三解形的幾個結論［J］.中學數(shù)學教學參考，2005(10):23-25.