梁 捷,陳 力,梁 頻,2

(1.福州大學機械工程及自動化學院，福州350108；2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，綿陽621000；3.電子科技大學航空航天學院，成都611731)

·基礎研究·

空間機械臂剛柔耦合動力學模擬及小波基模糊神經網(wǎng)絡控制

梁 捷1,2,3,陳 力1,梁 頻1,2

(1.福州大學機械工程及自動化學院，福州350108；2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，綿陽621000；3.電子科技大學航空航天學院，成都611731)

研究了關節(jié)和桿件雙重柔性影響下空間機械臂系統(tǒng)的動力學模擬，運動控制算法設計和臂桿、關節(jié)雙重柔性振動的主動抑制問題。利用線動量、角動量守恒關系，并基于拉格朗日方程、線性扭轉彈簧及假設模態(tài)法建立系統(tǒng)動力學模型。為解決傳統(tǒng)奇異攝動法應用受關節(jié)柔性限制問題，引入了一種關節(jié)柔性補償控制器，以適當提高系統(tǒng)關節(jié)的等效剛度；并基于奇異攝動理論，將系統(tǒng)分解成獨立時間尺度的柔性臂子系統(tǒng)和電機力矩動力子系統(tǒng)，借助小波基模糊神經網(wǎng)絡的優(yōu)良特性，將軌跡跟蹤的角度誤差及角速度誤差輸入到網(wǎng)絡中，通過一階梯度尋優(yōu)算法來優(yōu)化整個網(wǎng)絡，降低柔性振動的影響，以達到高精度控制的要求的。計算機數(shù)值仿真對比試驗證實了該方法的可靠性和有效性。

漂浮基空間機械臂系統(tǒng)；柔性關節(jié)；柔性臂；動力學模擬；關節(jié)柔性補償器；小波基模糊神經網(wǎng)絡；一階梯度尋優(yōu)算法

1 引言

作為航天活動的重要工具，空間機械臂被期望執(zhí)行遠比現(xiàn)在更復雜的任務，如協(xié)助或替代航天員完成大量危險艱巨的太空作業(yè)、太空實驗以及空間站的在軌燃料加注、裝配、維護等[1，2]。因此，空間機械臂系統(tǒng)的研究受到美國、歐洲及日本等發(fā)達國家航天機構的極大重視，相關理論及技術已成為當前航天高技術領域一個研究熱點[3-16]。伴隨著我國載人航天計劃的順利進行，我國近年來對空間機械臂技術也投入了大量的研發(fā)經費，并將其定位為載人航天任務中需要開展、解決的關鍵技術問題[2]。出于國家安全及防衛(wèi)的考慮，我國掌握并具有空間機械臂自主在軌服務技術是必然的，其相關理論研究成果有重要意義。

由于空間機械臂的空間站載體處于太空失重狀態(tài)，系統(tǒng)滿足動量守恒、動量矩守恒或兩者均守恒的動力學約束；并由于技術和發(fā)射費用等原因，其臂桿及關節(jié)的柔性及振動對機械臂的動態(tài)特性(如定位精度、平穩(wěn)性等)影響較大，甚至影響系統(tǒng)安全性[17]。因此考慮關節(jié)和桿件雙重柔性影響下的漂浮基空間機械臂的智能控制問題變得非常復雜，提出了許多有挑戰(zhàn)意義的新問題。帶有柔性關節(jié)的空間機械臂[15]最大控制難點是其機械臂各關節(jié)鉸的電機輸出轉角與該關節(jié)鉸實際轉角存在不同步性，這相當于在關節(jié)驅動器和被動連桿間設置了一個力矩濾波器，關節(jié)剛度越小，濾波器的帶寬也越窄。而空間機械臂的臂桿柔性[10，12，13，16]主要影響機械臂運動的精確控制，可將視為一個強耦合、強非線性的系統(tǒng)。為此，本文在控制策略上，將系統(tǒng)視為由表征系統(tǒng)剛性運動和臂桿振動的柔性臂子系統(tǒng)和表征關節(jié)柔性的電機力矩動力子系統(tǒng)構成。引入一種關節(jié)柔性補償器，以提高關節(jié)的等效剛度。并借助于小波基模糊神經網(wǎng)絡的優(yōu)良特性，將軌跡跟蹤的角度誤差及角速度誤差輸入到網(wǎng)絡中，通過一階梯度尋優(yōu)算法來優(yōu)化整個網(wǎng)絡，從而解決柔性振動的影響，以達到高精度控制的要求。

2 系統(tǒng)動力學模擬

不失一般性，僅考慮作平面運動的綜合關節(jié)和桿件的空間機械臂系統(tǒng)，結構如圖1所示。

圖1 空間機械臂系統(tǒng)Fig.1 The space manipulator system

該系統(tǒng)由空間站載體B0，剛性臂B1和柔性臂B2及和兩個彈性關節(jié)Oi(i＝1，2)組成。

各符號定義如下:l0為關節(jié)O0到O1的距離；li(i＝1，2)為Bi的長度；a1為關節(jié)O1到桿B1質心OC1的距離；mi(i＝1，2)為Bi的質量；Ii為Bi相對質心OCi(i＝0，1)的轉動慣量；M為系統(tǒng)的總質量；C為系統(tǒng)的整體質心；O－XY為系統(tǒng)的慣性坐標系。Oi－xiyi為Bi(i＝0，1，2)連體坐標系，ei為沿xi(i＝0，1，2)上的單位矢量。ri為質心Bi(i＝0，1)相對慣性坐標系的位置矢量rc為系統(tǒng)總質心位置矢量；θ0為載體姿態(tài)角；θi為關節(jié)Oi(i＝1，2)處軸xi－1與xi的夾角；θmi為第i(i＝1，2)個電機轉角。EI為柔性桿的抗彎剛度；ρ為柔性桿單位長度的平均密度。

柔性關節(jié)采用Spong假設，將其等效為線性扭轉彈簧模型，忽略電機轉子的質量，只考慮電機轉子的轉動動能。設柔性桿滿足Euler-Bernoulli小變形假設，彈性變形為其中 φi(x2)為模態(tài)函數(shù)向量，ηi(t)為模態(tài)坐標向量，n為模態(tài)截斷項數(shù)。由于低階模態(tài)對柔性桿彈性振動起主導作用，故取前2階模態(tài)。柔性桿B2為懸臂梁，其模態(tài)函數(shù)選為式(1):

根據(jù)系統(tǒng)幾何位置關系，載體、剛性臂的質心及柔性臂任一點的位置矢量如式(2):

忽略微弱的重力并假設系統(tǒng)不受外力作用，整個系統(tǒng)的線動量、角動量守恒。而線動量是完整約束，對線動量方程積分便是總質心定律。不失一般性設系統(tǒng)初始動量為零，則線動量、角動量守恒方程可分別描述為式(3)、(4):

由式(2)和式(3)可得式(5):

式中，Tij僅與系統(tǒng)慣性參數(shù)有關。將式(5)及其時間導數(shù)代入式(4)中角動量守恒定關系式，并整理得式(6)；

其中，F(xiàn)i(i＝1，…，7)是系統(tǒng)慣性參數(shù)和廣義坐標(θ1，θ2，η1，η2)的函數(shù)。

分析可知系統(tǒng)總動能由載體動能、剛性桿動能、柔性桿動能及電機轉子動能組成，如式(7):

而系統(tǒng)的總勢能由柔性臂的彎曲應變能和柔性鉸的彈性勢能組成，如式(8):

由拉格朗日第二類方程及系統(tǒng)動能和勢能表達式，可推導出考慮關節(jié)和臂桿雙重柔性影響下的空間機械臂系統(tǒng)動力學方程如式(9)～(11):

考慮到節(jié)省控制燃料的實際需求，研究載體位置和姿態(tài)均不受控制的空間機械臂系統(tǒng)控制很有必要。對式(9)進行矩陣分解展開得式(12)、(13):

式中，下標r與廣義坐標θ0對應，f與廣義坐標θf、η對應。由式(12)解出并代入式(13)可得，綜合考慮關節(jié)和臂桿雙重柔性影響下載體位置和姿態(tài)均不控的空間機械臂動力學方程為式(14)～(16):

式(14)反映系統(tǒng)的剛性運動和柔性桿振動，與一般柔性臂系統(tǒng)具有相似的動力學模型；式(15)表征因關節(jié)柔性而引起的電機力矩動態(tài)特性。文中控制目標為，針對系統(tǒng)動力學方程(14)、(15)和(16)，設計控制律τm，使空間機械臂的兩關節(jié)鉸運動軌跡θf穩(wěn)定地跟蹤給定的期望軌跡θd。

3 基于柔性關節(jié)補償?shù)男〔ɑ：窠浘W(wǎng)絡控制

空間機械臂與空間站載體之間存在著強烈的動力學耦合作用，又兼具臂桿柔性和關節(jié)柔性，這兩種柔性特征，給控制器的設計帶來了極大的挑戰(zhàn)。對帶有柔性關節(jié)的空間機械臂最大控制難點是其機械臂各關節(jié)鉸的電機輸出轉角與該關節(jié)鉸實際轉角存在不同步性，這相當于在關節(jié)驅動器和被動連桿間設置了一個力矩濾波器，關節(jié)剛度越小，濾波器的帶寬也越窄。而空間機械臂的臂桿柔性主要影響是機械臂運動的精確控制，可將視為一個強耦合、強非線性的系統(tǒng)。為此，本文在控制策略上，將系統(tǒng)視為由表征系統(tǒng)剛性運動和臂桿振動的柔性臂子系統(tǒng)和表征關節(jié)柔性的電機力矩動力子系統(tǒng)構成。對電機力矩動力子系統(tǒng)，引入一種關節(jié)柔性補償器，以提高關節(jié)的等效剛度。對柔性臂子系統(tǒng)，借助于模糊小波神經網(wǎng)絡的優(yōu)良特性，將軌跡跟蹤的角度誤差及角速度誤差輸入到網(wǎng)絡中，通過一階梯度尋優(yōu)算法來優(yōu)化整個網(wǎng)絡，以解決柔性振動的影響，提高精度控制。

為引入關節(jié)柔性補償器，將式(15)和(16)整理得電機力矩動態(tài)方程如式(17):

可見關節(jié)柔性扭轉剛度矩陣K－1m起到了類似力矩濾波器的作用，該值越小系統(tǒng)的控制帶寬會越寬。

初步選取系統(tǒng)的控制輸入規(guī)律如如式(18)、關節(jié)柔性補償器如式(19):

其中，τn為新定義的控制量，τf為關節(jié)柔性補償器，Kf∈ RR2×2為對角、正定的柔性補償系數(shù)矩陣，且Kn＝I＋Kf。將式(18)和式(19)代入式(17)得式(20):

比較式(20)和式(17)可知，通過適當?shù)倪x取Kf可以將關節(jié)的等效剛度調整到期望的數(shù)值，以提高力矩濾波器的帶寬。

根據(jù)奇異攝動理論可將新定義的控制量τn可如式(21)分解:

其中，τJ和τL分別對應柔性臂子系統(tǒng)和電機力矩動力子系統(tǒng)的控制律。定義一個非常小的數(shù)ε1，使KnKm＝K2/ε21，K2為對角正定參數(shù)矩陣。則方程(20)進一步整理為式(22):

為使電機力矩動力子系統(tǒng)(22)的穩(wěn)定，設定一力矩微分反饋控制器如式(23):

式中，KL為對角正定參數(shù)矩陣。在快變時間尺度下，式(22)的右邊可視為常數(shù)，因此通過恰當?shù)倪x取KL可保證子系統(tǒng)(22)穩(wěn)定。

若設ε1＝0，則代入式(14)可得柔性臂子系統(tǒng)如式(24):

式中，下標r與廣義坐標θf對應，下標f與廣義坐標η對應。因此，表征系統(tǒng)剛性運動的動力學方程如式(25):

分析式(25)可知，臂桿柔性與機械臂剛性運動存在動力學耦合作用，相當于系統(tǒng)內在干擾。因此通過提高控制律τL的魯棒性，可以克服柔性振動的影響，達到高精度運動控制的要求。為此，本小節(jié)針對柔性臂子系統(tǒng)設計小波基模糊神經網(wǎng)絡的控制方案，以使機械臂關節(jié)鉸能有效地跟蹤指定的期望軌跡。系統(tǒng)的控制框圖如圖2所示。

圖2 空間機械臂控制框圖Fig.2 Schematic diagram of the space manipulator system

圖2中θ1d和θ2d是機械臂關節(jié)鉸的期望運動軌跡；和是相應的期望運動速度。跟蹤誤差的論域經輸入量化因子 Kc1、Kc2的作用，轉化為小波基模糊神經網(wǎng)絡(FWNN)的輸入論域；y1和y2是FWNN網(wǎng)絡的輸出；為輸出因子kui組成的矩陣，該因子將FWNN網(wǎng)絡的輸出論域轉化為實際輸出論域得到機械臂關節(jié)鉸的控制力矩如式(26):

式中，矩陣KW值之間相對大小亦反映了機械臂關節(jié)鉸間的控制耦合作用。

4 小波基模糊神經網(wǎng)絡

圖2的控制框圖中的小波模糊神經網(wǎng)絡，是采用小波基函數(shù)作為模糊隸屬度函數(shù)，并利用神經網(wǎng)絡去實現(xiàn)模糊化、模糊推理和去模糊化的過程。這里介紹該網(wǎng)絡結構和在線學習算法。

4.1 小波基模糊神經網(wǎng)絡的結構

FWNN的結構圖如圖3所示[18]，共有4層。第一層:為輸入層，該層的各個結點與輸入值連接，并傳遞到第二層。

圖3 小波基模糊神經網(wǎng)絡Fig.3 Wavelet based fuzzy neural network

第二層:每個結點表示一個模糊語言詞集值，計算各輸入分量的語言詞集的隸屬度函數(shù)μAij(xi)。隸屬度函數(shù)采用為小波基函數(shù)，其母小波函數(shù)如式(27):

各語言詞集上定義的隸屬度函數(shù)就是通過平移和伸縮母小波函數(shù)來得到。即，對于第i個輸入第j個詞集Aij，其小波隸屬度函數(shù)可定義為式(28):

式中，cij和ωij分別為伸縮和平移系數(shù)。為簡化網(wǎng)絡結構，每個輸入xi，在本文僅定義三個模糊語言詞集{P，Z，N}＝{正，零，}。

第三層:該層用于計算條規(guī)則的適用度，一個節(jié)點代表一條模糊規(guī)則。這里采用式(29)所示乘法計算本層輸出

第四層:實現(xiàn)的是去模糊化過程，根據(jù)式(30)計算FWNN的輸出。

式中，Wij為網(wǎng)絡權值，表示各模糊規(guī)則輸出對應的語言詞集的中心值。

4.2 在線學習算法

對于載體位置、姿態(tài)均不控的柔性臂子系統(tǒng)共需2個關節(jié)伺服控制器。為此，采用兩個FWNN子網(wǎng)。子網(wǎng)1的網(wǎng)絡權值、伸縮系數(shù)及平移系數(shù)分別標記為W1，ω1，c1；子網(wǎng)2的網(wǎng)絡權值、伸縮系數(shù)及平移系數(shù)分別標記為W2，ω2，c2。由上節(jié)知的柔性臂子系統(tǒng)的控制力矩τL為跟蹤誤差ei、誤差率、輸出因子矩陣KW、子網(wǎng)1與 2的網(wǎng)絡權值、伸縮系數(shù)及平移系數(shù)的函數(shù)。為此，首先利用反向傳播算法(BP算法)對一階梯度進行求解，再通過一階梯度尋優(yōu)算法在線學習參數(shù)在線學習的目標函數(shù)可定義為式(31):

其中，ei為第i個關節(jié)角的軌跡跟蹤誤差。學習算法如式(32)～(35):

其中，下標k＝1，2；i＝1，2；j＝1，2，3；η1、η2、η3和η4為參數(shù)學習率。

5 仿真案例研究

以圖1所示考慮關節(jié)和臂桿雙重柔性影響下的空間機械臂為例，設系統(tǒng)真實參數(shù)如下:載體的參數(shù)m0＝40 kg，l0＝1．5 m，J0＝35 kg·m2；剛性桿的參數(shù):m1＝4 kg，l1＝2 m，a1＝1 m，J1＝2 kg·m；柔性桿的參數(shù):l2＝2 m，ρ＝1 kg/m，EI＝200 N·m2，J1m＝J2m＝0.08 kg·m2，K1m＝K2m＝15 N·m/rad。

機械臂各關節(jié)的期望軌跡為(單位:rad)

仿真時間8 s，仿真結果如圖4～13所示。

圖4 關節(jié)角θ1和θ2的軌跡跟蹤圖Fig.4 Trajectories tracking of θ1and θ2

圖5 軌跡跟蹤誤差圖Fig.5 Trajectory tracking error

圖6 柔性模態(tài)坐標變量η1的變化曲線圖Fig.6 Curve of the modal coordinate variable η1

本文進行了三組仿真試驗。第一組直接采用文中設計的聯(lián)合控制方案式(21)對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真試驗。仿真結果如圖4～9所示。由圖4和圖5可以看出，該控制方案能使空間機械臂的關節(jié)鉸θ1和θ2有效地跟蹤期望軌跡；由圖6～9可以看出，文中設計的基于柔性關節(jié)補償器的小波基模糊神經網(wǎng)絡控制方案能夠克服機械臂各關節(jié)鉸的電機輸出轉角與該關節(jié)鉸實際轉角存在不同步性所帶來問題，有效地抑制了彈性關節(jié)的柔性振動；同時柔性臂B2的柔性振動也得到抑制，這是由于FWNN強大的魯棒性克服了臂桿柔性振動對空間機械臂剛性運動的干擾，所設計的控制方案的優(yōu)點在于:不需要反饋、測量柔性振動模態(tài)，大大簡化了控制器結構，便于工程實際應用。

圖7 柔性模態(tài)坐標變量η2的變化曲線圖Fig.7 Curve of the modal coordinate variable η2

圖8 關節(jié)O1的柔性振動圖Fig.8 The flexible vibration of joint O1

圖9 關節(jié)O2的柔性振動圖Fig.9 The flexible vibration of joint O2

圖10 關節(jié)角θ1和θ2的軌跡跟蹤圖（降低關節(jié)等效剛度）Fig.10 Trajectories tracking of θ1and θ2（Reduce the joint equivalent stiffness）

圖11 柔性模態(tài)坐標變量η1的變化曲線圖（降低關節(jié)等效剛度）Fig.11 Curve of the modal coordinate variable η1（Reduce the joint equivalent stiffness）

圖12 柔性模態(tài)坐標變量η2的變化曲線圖（降低關節(jié)等效剛度）Fig.12 Curve of the modal coordinate variable η2（Reduce the joint equivalent stiffness）

第二組為考慮空間機械臂關節(jié)柔性和臂桿柔性相互之間的影響而進行的仿真試驗。仿真結果如圖10～14所示。將文中關節(jié)柔性補償器式(19)中的控制參數(shù)Kf的取值由6改為2(即Kf＝2，這相當于降低了關節(jié)等效剛度，Kf＝0相當于關閉關節(jié)柔性補償器)。

由圖10可以看出，空間機械臂系統(tǒng)的運動控制精度變差；圖11～14可以看出，柔性臂B2、關節(jié)O1和關節(jié)O2均出現(xiàn)了大幅度震蕩，原因是此時關節(jié)柔性補償力度不夠(Kf＝2)，導致關節(jié)柔性振動增強進而激發(fā)了臂桿柔性振動，而臂桿柔性振動又與剛性運動存在耦合干擾作用，因此最終致使整個控制系統(tǒng)失效。

圖13 關節(jié)O1的柔性振動圖（降低關節(jié)等效剛度）Fig.13 The flexible vibration of joint O1（Reduce the joint equivalent stiffness）

圖14 關節(jié)O2的柔性振動圖（降低關節(jié)等效剛度）Fig.14 The flexible vibration of joint O2（Reduce the joint equivalent stiffness）

圖15 柔性模態(tài)坐標變量η1的變化曲線圖（基于PID的控制方案）Fig.15 Curve of the modal coordinate variable η1（based on control scheme of PID）

圖16 柔性模態(tài)坐標變量η2的變化曲線圖（基于PID的控制方案）Fig.16 Curve of the modal coordinate variable η2（based on control scheme of PID）

第三組為采用第一組仿真中相同的相同柔性補償參數(shù)，而柔性臂子系統(tǒng)的控制力矩τL采用慣常的PID控制所進行的仿真實驗。仿真結果如圖15～16所示。從仿真圖6～7和圖15～16對比可以看出，文中提出的柔性關節(jié)補償器的小波基模糊神經網(wǎng)絡控制方案能夠有效抑制柔性臂B2的柔性振動，而在基于相同柔性關節(jié)補償器的PID控制方案不能主動抑制柔性臂B2的振動，這也是柔性關節(jié)補償器的小波基模糊神經網(wǎng)絡控制方案與慣常PID控制方案的比較優(yōu)勢之所在。

6 結論

1)文中對考慮關節(jié)和臂桿雙重柔性影響下的空間機械臂剛柔耦合系統(tǒng)進行了動力學模擬。由于在系統(tǒng)動力學模型的推導過程中結合系統(tǒng)動量守恒關系消去了載體位置項，這使得文中設計的聯(lián)合控制方案具有不需要測量反饋載體位置、速度和加速度的顯著優(yōu)點。

2)利用關節(jié)柔性補償器，解除了傳統(tǒng)奇異攝動法受關節(jié)柔性的約束，導出了空間機器人經關節(jié)柔性補償后的電機力矩動力子系統(tǒng)和柔性臂子系統(tǒng)。

3)針對電機力矩動力子系統(tǒng)，引入一種關節(jié)柔性補償器，以提高關節(jié)的等效剛度，同時設計了力矩微分反饋控制器來保證子系統(tǒng)的穩(wěn)定；針對柔性臂子系統(tǒng)式，借助于小波基模糊神經網(wǎng)絡的優(yōu)良的魯棒性克服了臂桿柔性振動對空間機械臂剛性運動的干擾，所設計的控制方案的優(yōu)點在于:不需要反饋、測量柔性振動模態(tài)，大大簡化了控制器結構，提高了控制精度，便于工程實際應用。

4)通過三組仿真對比試驗可以看出，文中所設計的基于關節(jié)柔性補償器的小波基模糊神經網(wǎng)絡控制方案能夠彌補系統(tǒng)慣性參數(shù)不確定及柔性關節(jié)引起的轉動誤差，保證空間機械臂完成期望運動軌跡的漸近跟蹤；并能夠有效抑制柔性關節(jié)和柔性臂引起的系統(tǒng)柔性振動，保證系統(tǒng)控制精度和穩(wěn)定性。

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The Rigid-Flexible Coupling Dynamics Simulation and Wavelet Based Fuzzy Neural Network Control for Space Manipulator

LIANG Jie1，2，3，CHEN Li1，LIANG Pin2
(1.Department of Mechanical Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350108，China；2.China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China；3.School of Astronautics＆Aeronautic，University of Electronic Science and Technology of China，Chendu 611731，China)

The dynamics simulation of flexible joints and flexible arm space robot system，motion control algorithm design and hierarchical points order active inhibition problem of arm and joints double flexible vibration that all under the situation of parameter uncertain were discussed in this paper.With the conservation relationship of linear and angular momentum，a system dynamics model was established by Lagrange equations，linear torsion spring and hypothesis modal method.To solve the problem that the application of traditional singular perturbation approach was limited by joint flexibility，a joint flexibility compensation controller was introduced，which could properly enhance the equivalent stiffness of joints.Then，based on singular perturbation theory，the whole system was resolved into flexible arm subsystem and motor moment power subsystem on the basis of joint flexible compensation controller and singular perturbation technology.Taking advantage of the excellent characters of the wavelet fuzzy neural network，the authors input the trajectory tracking angle error and angular velocity error to the network，to optimize the whole network by a gradient optimization algorithm，so as to solve the influence of flexiblevibration，thus achieve high precision control requirements.Computer numerical simulation comparison experiment testified the reliability and availability of this scheme.

free-floating space manipulator system；flexible-joint；flexible-arm；dynamics simulation；joint flexible compensation controller；fuzzy wavelet neural network；a gradient optimization algorithm

TP241

A

1674-5825(2015)03-0286-09

2015-01-14；

2015-04-17

國家自然科學基金(11372073，11072061)

梁捷(1971－)，男，博士，博士后，研究方向為空間機械臂動力學與控制。E-mail:myamoy81＠sina.com