于峰 溫祖標(biāo)

(江西師范大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院 江西南昌 330022)

學(xué)生園地

二種求算晶體平面間距d(hkl)的數(shù)學(xué)方法*

于峰 溫祖標(biāo)**

(江西師范大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院 江西南昌 330022)

用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)化學(xué)晶體學(xué)中晶面間距的一般通式，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其他晶系的晶面間距(d(hkl)) 的計(jì)算表達(dá)式。

結(jié)構(gòu)化學(xué) 數(shù)學(xué)方法 平面間距 晶胞參數(shù) 晶面指標(biāo)

在高等學(xué)校的結(jié)構(gòu)化學(xué)[1]教材中，對于晶體平面間距幾乎都是僅給出了最后的計(jì)算公式，而沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，這對于教師和學(xué)生而言，自然增加了相應(yīng)的教與學(xué)的難度。廣西師范學(xué)院范建春等[2]運(yùn)用解析幾何的思想來建立數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行分析、推導(dǎo)、演算，推導(dǎo)了晶體二面間距，本文除了運(yùn)用解析幾何的方法還結(jié)合了空間平面方程，以及兩向量的向量積和三階行列式的展開等計(jì)算方法，使得在解析的過程中避免了對一些情況的分類討論，同時(shí)也使得計(jì)算量大大減少，成功地推導(dǎo)出一般晶體的平面間距通式，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其他6種晶系的平面間距表達(dá)式。

不同種類的晶系，其空間構(gòu)型也不同，其中最具有一般代表性的晶系為三斜晶系；而同種晶系由于劃分點(diǎn)陣方法不同導(dǎo)致晶面間距也不同。因此，引入了晶面指標(biāo)(hkl)，當(dāng)平面指標(biāo)確立之后，則平面間距也隨之確定。

1 建立數(shù)學(xué)模型

圖1 晶體二面間距的示意圖

對于指標(biāo)為(hkl)的晶體，晶面兩個(gè)平面間距離即等于原點(diǎn)到最近晶面的距離d(hkl)。這時(shí)存在如下關(guān)系:

2 d(hkl)的求解

2.1 建立空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)設(shè)置自洽，符合數(shù)學(xué)模型。

圖2 晶體二面間距的空間直角坐標(biāo)系模型

2.2 求d(hkl)2.2.1 方法一

在ΔABD和ΔABC中，根據(jù)余弦定理,有:

(1)

(2)

由式(1)和式(2)兩式可得：

(3)

根據(jù)VD-ABC=VA-BCD,有：

① 求VD-ABC

(4)

② 求VA-BCD

其中d(hkl)為晶面間距。

(5)

其中

i，j，k分別為x，y，z軸方向的單位向量[3-4]，則有：

(6)

由式(1)、式(3)、式(6)可消去θ1、θ2，得：

(7)

聯(lián)立式(1)、式(3)、式(4)、式(5)、式(7)可得：

(8)

式(8)即晶面間距的計(jì)算公式。

2.2.2 方法二

化簡可得:

則有：

(9)

3 不同晶系晶面間距d(hkl)的計(jì)算公式

根據(jù)不同晶系晶胞的特征參數(shù)，結(jié)合晶面間距的計(jì)算通式，可推導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算表達(dá)式。不同晶系晶面間距d(hkl)的計(jì)算公式列于表1。

表1 不同晶系晶面間距d(hkl)的計(jì)算公式

[1] 周公度,段連運(yùn).結(jié)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ).第3版.北京:北京大學(xué)出版社,2002

[2] 范建春,李麗琳,陳超球.廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào),1999,16(1):92

[3] 錢逸泰.結(jié)晶化學(xué)導(dǎo)論.第3版.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2005

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).第6版.北京:高等教育出版社,2007

[5] 居余馬.線性代數(shù).第2版.北京:清華大學(xué)出版社,2002

TwoMathematicalSolutionstotheCrystalPlaneDistance*

Yu Feng Wen Zubiao* *

(CollegeofChemistryandChemicalEngineer,JiangxiNormalUniversity,Nanchang330022,Jiangxi,China)

A universal formula of crystal plane distance (d(hkl)) was obtained by using two different mathematical methods, and the formulaed(hkl)for other lattice systems were deduced based on the proposed method.

Structure chemistry; Mathematical method; Crystal plane distance; Space unit parameter; Indices of crystal face

10.3866/pku.DXHX20150486

博士啟動(dòng)基金(No.201061002)

**通訊聯(lián)系人,E-mail:zbwen@jxnu.edu.cn

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