王愛麗

（寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞 721013）

介水傳染病即由存在于人類糞便、污水和垃圾中的病原體污染水源，人們接觸或飲用后所導(dǎo)致的傳染病，又稱水性傳染病.介水傳染病一旦發(fā)生，危害較大.因?yàn)轱嬘猛凰吹娜溯^多，發(fā)病人數(shù)往往很多.據(jù)報(bào)道大約有40多種傳染病可通過水而傳播，如霍亂、痢疾、傷寒、副傷寒等腸道傳染病，肝炎、脊髓灰質(zhì)炎、眼結(jié)膜炎等病毒性疾病和血吸蟲病、鉤端螺旋體病、阿米巴痢疾等寄生蟲病.

介水傳染病一般以腸道傳染病多見.隱孢子蟲就是一種腸道寄生蟲，隱孢子蟲感染人體導(dǎo)致腹瀉是目前世界上腹瀉病常見的原因.患隱孢子蟲病的人或動物的糞便如果污染了飲水或飲水水源，可導(dǎo)致該病的介水流行.1993年，美國威斯康辛州某地發(fā)生過一次涉及40.3萬人的經(jīng)自來水傳播的隱孢子蟲病大爆發(fā)，引起了全世界的關(guān)注［1］.我國從1982年以來，已有9次傳染性肝炎大流行，其中5次為水源污染引起，4次為食物引起.1986－1988年我國新疆南部地區(qū)曾持續(xù)23個月傳染性肝炎大流行，累及人口達(dá)12萬人［2］.

介水傳染病的病原體進(jìn)入人體從而致病，是介水傳染病暴發(fā)的主要途徑，所以有很多不同的傳播方式，包括引用污染了的水、食用由手污染了的個人準(zhǔn)備的食物以及住院治療期間的交叉?zhèn)魅镜?不同的疾病傳播方式可能不同，即使是同一種疾病不同次的暴發(fā)也可能傳播方式不同.例如，霍亂的傳播方式主要是飲用污染了的水，但是新加波一家精神病院的一次暴發(fā)卻是由人和人之間的直接接觸而導(dǎo)致的［3］.賈第鞭毛蟲病主要通過引用污染了的水傳染，但是與易感染者直接接觸也是一種已經(jīng)公認(rèn)的危險(xiǎn)因素［4］.甲型肝炎的傳播方式主要是人與人之間的直接傳播，不過飲用污染了的水也是一種不可忽視的傳播方式［5］.

根據(jù)世界衛(wèi)生組織的估計(jì)，每年由介水傳染病導(dǎo)致的死亡人數(shù)達(dá)350萬［6］，因此越來越多的學(xué)者開始關(guān)注介水傳染病.利用數(shù)學(xué)模型分析和預(yù)測傳染病的傳播和發(fā)展，進(jìn)而預(yù)防和控制傳染病的流行，已經(jīng)得到了許多有用的結(jié)果［7－10］.文［8］只考慮了人與人之間的傳播途徑，建立了一個SIR模型研究介水傳染病.為刻畫易感者飲用染病者釋放到水中的病原體而感染介水性傳染病的現(xiàn)象，文［9］建立了一個傳播方式為人－水－人的傳染病倉室模型.實(shí)踐中，當(dāng)一種介水傳染病暴發(fā)時，如甲型肝炎、霍亂等，通常都是通過直接傳播（人－人）和間接傳播（人－水－人）兩種方式傳播的.考慮直接傳播和間接傳播兩種傳播方式的工作迄今為止比較少［9］.當(dāng)甲型肝炎在一個地區(qū)爆發(fā)時，如果該地區(qū)的飲用水局部被病原體污染，則易感者除了接觸到染病者會感染上疾病外，一旦不幸飲用了被病原體污染了的飲用水也會感染疾病.論文將建立具有人—人和人—水—人兩種傳播方式的傳染病模型.

將人群分為3類：易感者（S）、染病者（I）以及恢復(fù)者（R），則模型如下

其中：C表示該地區(qū)已被病原體污染的飲用水占所需飲用水總量的比例；m表示已污染飲用水的凈化率；φ表示飲用水被病原體污染的速率；A表示人口的增長率；β，λ分別表示易感者接觸到染病者或飲用已被污染的飲用水后被傳染的比率；d，ν，α分別表示自然死亡率、恢復(fù)率以及因病死亡率.

注意到R不影響模型（1）的其他3個方程的動力學(xué)，故只需考慮以下的簡化模型

不難證明以下結(jié)論：

引理1 模型（2）的吸引域?yàn)?/p>

1 穩(wěn)定性分析

主要討論模型（2）的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性以及全局穩(wěn)定性.容易得到模型（2）的基本再生數(shù)為

其中：疾病傳播初期，人群中易感者的數(shù)量為，單位時間內(nèi)一個易感者通過直接接觸染病者被成功感染的概率為β，染病者的平均存活周期為，從而一個染病者在其存活周期內(nèi)通過人－人傳播方式傳染的人數(shù)為單位時間內(nèi)染病者成功感染環(huán)境的概率為φ，單位時間內(nèi)一個易感者通過接觸被污染了的環(huán)境被傳染的概率為λ，病毒在環(huán)境中的存活周期為，從而一個染病者在其存活周期內(nèi)通過人－水－人傳播方式傳染的人數(shù)平均為因此，一個染病者在其染病周期內(nèi)所傳染的總?cè)藬?shù)平均為

定理1 當(dāng)R0＜1時，模型（2）的無病平衡點(diǎn)E0（S0，0，0）是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時，E0是不穩(wěn)定的，其中

證明 模型（2）的雅克比矩陣為

由此知J（A／d，0，0）有一個特征根為－d，另外兩個特征根由下式確定

容易驗(yàn)證

這說明R0＜1時，有下列結(jié)果

（6）式意味著當(dāng)R0＜1時，方程（4）有兩個具有負(fù)實(shí)部的根，從而模型（2）的無病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定.此時，疾病可以滅絕，即染病者的數(shù)量趨于0，而易感者的數(shù)量將穩(wěn)定在水平S0，如圖1所示.圖1中的參數(shù)值為A＝0.13，β＝0.5，λ＝0.3，d＝0.5，ν＝0.95，α＝0.4，φ＝0.6，m＝0.03；初始值為（S0，I0，C0）＝（0.4，0.1，0.65）.

由（5）知，當(dāng)R0＞1時，有

從而（4）有一個具有正實(shí)部的根，這說明無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.定理證畢.

定理2 當(dāng)R0＞1時，模型（2）存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E＊（S＊，I＊，C＊）.

證明 模型（2）的地方病平衡點(diǎn)滿足如下方程

其中

由（5）知，當(dāng)R0＞1時，a2＜0，從而模型（2）有唯一的地方病平衡點(diǎn)E＊（S＊，I＊，C＊），其中

定理證畢.

近年來，復(fù)合矩陣的理論在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，尤其是加法復(fù)合矩陣和乘法復(fù)合矩陣在微分方程定性理論中的應(yīng)用.因此，眾多應(yīng)用數(shù)學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的科研工作者對復(fù)合矩陣產(chǎn)生了濃厚的興趣.迄今為止，復(fù)合矩陣為解決動力系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性、周期軌道的存在性等問題開辟了新的途徑［11－14］.

以下討論模型（2）的地方病平衡點(diǎn)E＊的穩(wěn)定性.

引理2［2］對方程

而言，若D是單連通區(qū)域，且條件

（H1）方程（8）在D內(nèi)存在一個緊的吸引集E?D，

（H2）方程（8）在D內(nèi)有唯一平衡點(diǎn)x＊∈D，則當(dāng)q＜0時，x＊在D內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，其中

定理3 如果以下條件

成立，則模型（2）的地方病平衡點(diǎn)E＊是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 由定理1可知，當(dāng)R0＞1時，無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的，從而由文［15］可知，模型（2）是一致持久的.因此，模型（2）在區(qū)域Ω內(nèi)存在一個緊的吸引子集E，從而引理2的條件（H1）和（H2）滿足.為證地方病平衡點(diǎn)E＊的全局穩(wěn)定性，以下只需證明q＜0.

由（3）知J的二階加法復(fù)合矩陣為［2］

取P（S，I，C）＝diag（1，I／C，I／C），則

其中：Pf是將矩陣P的每個元素pij用其沿f的導(dǎo)數(shù)pijf替代而得的矩陣.記

其中

令（u，v，w）表示中的向量，定義其范數(shù)為

由文［11］可知，相應(yīng)于范數(shù)‖·‖的B的測度為

其中

｜B12｜，｜B21｜是相應(yīng)于l1范數(shù)的矩陣范數(shù)，μ是相應(yīng)于l1范數(shù)的Lozinski＾l測度.從而有

由μ的定義可知，為計(jì)算μ（B22），取B22每一列的對角元素加非對角元素的絕對值，得

由模型（2）可得

于是

由（9）可得

即有

利用引理2，模型（2）的地方病平衡點(diǎn)E＊全局漸近穩(wěn)定.此時，疾病將演變?yōu)榈胤讲。静≌叩臄?shù)量和易感者的數(shù)量分別穩(wěn)定在水平I＊和S＊，如圖2所示.圖2中的參數(shù)值為A＝0.3，β＝1.1，λ＝0.8，d＝0.5，ν＝0.95，α＝0.4，φ＝0.6，m＝0.03；初始值為（S0，I0，C0）＝（0.4，0.1，0.65）.定理證畢.

2 結(jié)束語

論文建立了一類具有直接傳播和間接傳播兩種傳播方式的介水傳染病模型，得到了各類平衡點(diǎn)存在的條件閾值R0.當(dāng)R0＜1，即一個病人在平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù)小于1時，疾病最終會消失；而當(dāng)R0＞1，即一個病人在平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù)大于1時，疾病不會消除，而是會始終存在，最終演變?yōu)橐环N地方病，此時得到了地方平衡點(diǎn)存在和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件.論文所得結(jié)論表明，要防止疾病流行，必須減少閾值R0，使其小于1，這樣疾病就會逐漸消亡；否則，若閾值大于1，疾病將始終存在而形成地方病.由文中所得R0的表達(dá)式可知，當(dāng)直接傳播的感染率和間接傳播的感染率均比較小時，閾值R0仍然可能大于1，此時疾病最終還是不能消除.因此，考慮人－水－人的間接傳播對疾病控制的影響對研究傳染病具有重要的意義.

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