◆劉歌 劉鳳祥 杜春雁 楊琪 田振清

運(yùn)用馬爾科夫鏈進(jìn)行學(xué)習(xí)狀態(tài)變化趨勢分析的一種方法*

◆劉歌 劉鳳祥 杜春雁 楊琪 田振清

探討基于馬爾科夫鏈對學(xué)生群體學(xué)習(xí)成績狀態(tài)變化過程及其趨勢進(jìn)行分析的一種方法，給出具體應(yīng)用實(shí)例。不難推斷，通過對研究對象變化過程的細(xì)致刻劃，可給出群體狀態(tài)向量間接近或偏離的速度，據(jù)此判斷教學(xué)方法改革的迫切性與適應(yīng)性。

馬爾科夫鏈；學(xué)生群體；學(xué)習(xí)狀態(tài)

1 引言

馬爾科夫鏈?zhǔn)且粋€建立在隨機(jī)過程上的數(shù)學(xué)模型。其本質(zhì)是一種概率估計(jì)，它將狀態(tài)序列看作一個隨機(jī)過程，通過對事物不同狀態(tài)的初始概率及狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的研究，預(yù)測事物的未來狀態(tài)[1]。在教學(xué)過程中，諸多研究對象的形成過程可以看成或近似為隨機(jī)過程，出于研究者對研究對象發(fā)展變化狀況分析的需要，使得馬爾科夫鏈在教學(xué)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[2]。

運(yùn)用馬爾科夫鏈方法時，對于學(xué)生群體學(xué)習(xí)狀態(tài)變化趨勢的過程分析建立在兩次相鄰測驗(yàn)的基礎(chǔ)上，若采用同一標(biāo)準(zhǔn)將不同班級前后兩次測驗(yàn)成績分成不同等級，給出狀態(tài)向量，依據(jù)等級的變化情況，可以構(gòu)建出每一班級的轉(zhuǎn)移矩陣。將第一次測驗(yàn)成績的等級分布作為初始向量，在假設(shè)教學(xué)水平穩(wěn)定的情況下，由初始狀態(tài)向量經(jīng)轉(zhuǎn)移矩陣估算出每次轉(zhuǎn)移后每個班級的狀態(tài)向量，從而對學(xué)生群體學(xué)習(xí)狀態(tài)變化趨勢進(jìn)行過程分析、比較判斷[3]。

已有的論文研究主要關(guān)注變化的最終狀態(tài)，進(jìn)行的教師教學(xué)質(zhì)量評價是終結(jié)性評價。由于缺乏對狀態(tài)變化過程的描述，其應(yīng)用價值有限。運(yùn)用馬爾科夫鏈分析方法，通過對研究對象變化過程的細(xì)致刻劃，可給出研究對象的接近或偏離的速度，據(jù)此判斷教學(xué)方法改革的迫切性與適切性。

2 二維狀態(tài)向量分析方法

為簡化考慮，本文以二維狀態(tài)向量為例，通過兩個群體的比較實(shí)例，闡釋相應(yīng)分析方法。不難想象，該方法可方便地推廣到三維、四維乃至更高維的狀態(tài)向量變化趨勢分析上。

設(shè)M、N分別表示兩學(xué)生群體的狀態(tài)向量，每一向量可用其模長和方位角加以描述，比較兩向量應(yīng)同時考慮模長及其夾角。圖1給出兩狀態(tài)向量M、N間位置關(guān)系。

圖1 狀態(tài)向量M、N模長及夾角位置關(guān)系示意圖

作者：劉歌、劉鳳祥、杜春雁、楊琪，內(nèi)蒙古師范大學(xué)在讀研究生，研究方向?yàn)檫h(yuǎn)程教育；田振清，通信作者，內(nèi)蒙古師范大學(xué)教授，主要從事遠(yuǎn)程教育研究（010022）。

若|M|=|N|，并∠MON≈0，則意味兩個學(xué)生群體此時學(xué)習(xí)狀態(tài)向量最為接近；

若|M|≠|(zhì)N|，并∠MON≠0，則意指兩個學(xué)生群體此時學(xué)習(xí)處于不同狀態(tài)，夾角越大，表明這兩個群體差距越大。

設(shè)有甲乙兩個班級，學(xué)習(xí)狀態(tài)向量變化趨勢大致存在三種情況：

甲班初始成績很好，但學(xué)習(xí)成績變化處于下降狀態(tài)，而乙班初始成績低于甲班，但乙班的成績變化處于上升狀態(tài)，經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移，狀態(tài)逐漸接近；

甲班學(xué)生不僅初試成績好于乙班，并且成績一直處于上升狀態(tài)，而乙班一直處于下降狀態(tài)（或保持基本不變），

經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移，兩班狀態(tài)偏離程度愈加增大；

甲、乙兩班成績無論是上升或是下降變化小、幅度隨機(jī)波動，雖經(jīng)多次轉(zhuǎn)移變化，狀態(tài)仍相對保持不變。

1）設(shè)甲乙兩班現(xiàn)都有20名學(xué)生，對他們的學(xué)業(yè)成績進(jìn)行測驗(yàn)，簡單地將測得的成績分為兩個等級（60分以上為及格，60分以下為不及格）。甲班前測18名學(xué)生及格，2名學(xué)生同學(xué)不及格；后測有16名學(xué)生及格，4名學(xué)生不及格（有2名學(xué)生由及格到不及格）。以M表示甲班學(xué)業(yè)成績的狀態(tài)向量，則M0=(0.9,0.1)，M1=(0.8,0.2)，由此可構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣：

利用轉(zhuǎn)移矩陣G1，可推算出甲班學(xué)生后續(xù)的成績狀態(tài)向量（見表1）。

乙班前測及格3人，不及格17人；后測及格5人，不及格15人。以N表示乙班學(xué)業(yè)成績的狀態(tài)向量，則N0=(0.15,0.85) ，N1=(0.25,0.75)，則乙班的轉(zhuǎn)移矩陣：

同理，利用轉(zhuǎn)移矩陣G2，可推算出乙班學(xué)生后續(xù)的成績狀態(tài)向量（見表1）。

計(jì)算狀態(tài)向量M、N的模長、夾角、模差||M|-|N||等數(shù)據(jù)，如表1所示。

依表1，繪制向量模長及夾角變化過程示意圖，得圖2（a）～（d）。

表1 兩狀態(tài)向量間接近—相等—偏離數(shù)據(jù)表

由圖2（a）表示起始時兩向量間夾角較大；（b）顯示轉(zhuǎn)移中甲乙兩班狀態(tài)向量夾角逐漸變小，模差的絕對值也逐漸減?。唬╟）表明經(jīng)過5次轉(zhuǎn)移后，兩班狀態(tài)向量夾角、模差的絕對值最為接近，說明兩班此時學(xué)習(xí)狀態(tài)基本相同；（d）意味依此繼續(xù)轉(zhuǎn)移下去，甲乙兩班狀態(tài)向量夾角又逐漸變大，此時乙班成績超過甲班成績。

2）設(shè)甲班前測及格11人，不及格9人，進(jìn)行后測，及格人數(shù)為13人，不及格7人；乙班前測及格10人，不及格10人，后測及格人數(shù)為8人，不及格為12人，則甲乙兩班轉(zhuǎn)移矩陣分別為：

狀態(tài)向量變化趨勢如表2所示。

表2 兩狀態(tài)向量間偏離增大數(shù)據(jù)表

依表2，繪制向量模長及夾角變化過程示意圖，得圖3（a）～（c）。

圖3（a）～（c）顯示，甲乙兩班起始狀態(tài)向量不同，且甲班的成績不僅初始成績好于乙班，每次轉(zhuǎn)移后的成績都呈更好的趨勢，而乙班每次轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)變得越來越差，隨轉(zhuǎn)移次數(shù)的增加，兩向量夾角愈加增大。

3）若依轉(zhuǎn)移矩陣估計(jì)甲乙兩班的狀態(tài)向量，每次轉(zhuǎn)移后兩班狀態(tài)等級變化幅度都不是很大，會出現(xiàn)甲乙兩班的狀態(tài)向量之間的夾角、模差的絕對值變化很?。ɑ蚧颈３植蛔儯┑那闆r，意指兩班學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)相對保持不變，不出現(xiàn)接近或偏離的態(tài)勢（圖略）。

圖2 兩狀態(tài)向量間趨向相等后差距變大的過程

3 結(jié)語

上述討論簡單地將兩班學(xué)生的成績劃分為兩個等級，給出二維狀態(tài)向量，藉此說明分析的方法。顯然，這種分析過程同樣可以應(yīng)用于將狀態(tài)劃分為三等級（三維向量）、

四等級（四維向量）乃至更多的等級（更高維向量）的情況，且分析的班級亦不必局限為兩個群體。

圖3 兩狀態(tài)向量間偏離加大

運(yùn)用馬爾科夫鏈分析方法，通過對不同群體變化過程趨勢的細(xì)致刻劃，可估計(jì)狀態(tài)向量間接近或偏離的速度[4]。當(dāng)速度較大時，提示教學(xué)方法改革的迫切性；至于相對緩慢的速度，則說明教學(xué)方法的效應(yīng)并不顯著，需要相當(dāng)長的時間才會出現(xiàn)一定程度的積累性后效。

[1]夏秀芳,房圓圓.馬爾可夫預(yù)測模型在人力資源預(yù)測方面的應(yīng)用[J].青島建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào),2001,22(2):75-77.

[2]惠淑榮,董建國.馬爾科夫鏈在教學(xué)評價中的應(yīng)用[J].高等農(nóng)業(yè)教育,2009(10):60-63.

[3]鄭勇輝,鄭石英,孫駿.基于馬爾科夫鏈的研究型教學(xué)模式教學(xué)成效評價分析[J].高等教育研究學(xué)報(bào),2012(6): 61-63.

[4]田振清,邊琦.關(guān)于學(xué)生復(fù)雜連鎖反應(yīng)時間分布模型參數(shù)估計(jì)的一種方法[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)漢文版,2014,43(4):448-453.

Method of Learning Process State Change Trend Analysis based on Markov Chain/

/LIU Ge, LIU Fengxiang, DU Chunyan, YANG Qi, TIAN Zhenqing

This article discusses a method for the analysis based on Markov chain to the students learning state change process and its trend, and gives a concrete example.

Markov chain; student groups; learning state

G642.0

B

1671-489X(2015)18-0096-03

內(nèi)蒙古師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目“形成性評價工具軟件的設(shè)計(jì)開發(fā)與應(yīng)用研究”（137153）。

10.3969 /j.issn.1671-489X.2015.18.096