◆劉歌 劉鳳祥 杜春雁 楊琪 田振清

運(yùn)用馬爾科夫鏈進(jìn)行學(xué)習(xí)狀態(tài)變化趨勢(shì)分析的一種方法*

◆劉歌 劉鳳祥 杜春雁 楊琪 田振清

探討基于馬爾科夫鏈對(duì)學(xué)生群體學(xué)習(xí)成績(jī)狀態(tài)變化過(guò)程及其趨勢(shì)進(jìn)行分析的一種方法，給出具體應(yīng)用實(shí)例。不難推斷，通過(guò)對(duì)研究對(duì)象變化過(guò)程的細(xì)致刻劃，可給出群體狀態(tài)向量間接近或偏離的速度，據(jù)此判斷教學(xué)方法改革的迫切性與適應(yīng)性。

馬爾科夫鏈；學(xué)生群體；學(xué)習(xí)狀態(tài)

1 引言

馬爾科夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)建立在隨機(jī)過(guò)程上的數(shù)學(xué)模型。其本質(zhì)是一種概率估計(jì)，它將狀態(tài)序列看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，通過(guò)對(duì)事物不同狀態(tài)的初始概率及狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的研究，預(yù)測(cè)事物的未來(lái)狀態(tài)[1]。在教學(xué)過(guò)程中，諸多研究對(duì)象的形成過(guò)程可以看成或近似為隨機(jī)過(guò)程，出于研究者對(duì)研究對(duì)象發(fā)展變化狀況分析的需要，使得馬爾科夫鏈在教學(xué)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[2]。

運(yùn)用馬爾科夫鏈方法時(shí)，對(duì)于學(xué)生群體學(xué)習(xí)狀態(tài)變化趨勢(shì)的過(guò)程分析建立在兩次相鄰測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，若采用同一標(biāo)準(zhǔn)將不同班級(jí)前后兩次測(cè)驗(yàn)成績(jī)分成不同等級(jí)，給出狀態(tài)向量，依據(jù)等級(jí)的變化情況，可以構(gòu)建出每一班級(jí)的轉(zhuǎn)移矩陣。將第一次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的等級(jí)分布作為初始向量，在假設(shè)教學(xué)水平穩(wěn)定的情況下，由初始狀態(tài)向量經(jīng)轉(zhuǎn)移矩陣估算出每次轉(zhuǎn)移后每個(gè)班級(jí)的狀態(tài)向量，從而對(duì)學(xué)生群體學(xué)習(xí)狀態(tài)變化趨勢(shì)進(jìn)行過(guò)程分析、比較判斷[3]。

已有的論文研究主要關(guān)注變化的最終狀態(tài)，進(jìn)行的教師教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)是終結(jié)性評(píng)價(jià)。由于缺乏對(duì)狀態(tài)變化過(guò)程的描述，其應(yīng)用價(jià)值有限。運(yùn)用馬爾科夫鏈分析方法，通過(guò)對(duì)研究對(duì)象變化過(guò)程的細(xì)致刻劃，可給出研究對(duì)象的接近或偏離的速度，據(jù)此判斷教學(xué)方法改革的迫切性與適切性。

2 二維狀態(tài)向量分析方法

為簡(jiǎn)化考慮，本文以二維狀態(tài)向量為例，通過(guò)兩個(gè)群體的比較實(shí)例，闡釋相應(yīng)分析方法。不難想象，該方法可方便地推廣到三維、四維乃至更高維的狀態(tài)向量變化趨勢(shì)分析上。

設(shè)M、N分別表示兩學(xué)生群體的狀態(tài)向量，每一向量可用其模長(zhǎng)和方位角加以描述，比較兩向量應(yīng)同時(shí)考慮模長(zhǎng)及其夾角。圖1給出兩狀態(tài)向量M、N間位置關(guān)系。

圖1 狀態(tài)向量M、N模長(zhǎng)及夾角位置關(guān)系示意圖

作者：劉歌、劉鳳祥、杜春雁、楊琪，內(nèi)蒙古師范大學(xué)在讀研究生，研究方向?yàn)檫h(yuǎn)程教育；田振清，通信作者，內(nèi)蒙古師范大學(xué)教授，主要從事遠(yuǎn)程教育研究（010022）。

若|M|=|N|，并∠MON≈0，則意味兩個(gè)學(xué)生群體此時(shí)學(xué)習(xí)狀態(tài)向量最為接近；

若|M|≠|(zhì)N|，并∠MON≠0，則意指兩個(gè)學(xué)生群體此時(shí)學(xué)習(xí)處于不同狀態(tài)，夾角越大，表明這兩個(gè)群體差距越大。

設(shè)有甲乙兩個(gè)班級(jí)，學(xué)習(xí)狀態(tài)向量變化趨勢(shì)大致存在三種情況：

甲班初始成績(jī)很好，但學(xué)習(xí)成績(jī)變化處于下降狀態(tài)，而乙班初始成績(jī)低于甲班，但乙班的成績(jī)變化處于上升狀態(tài)，經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移，狀態(tài)逐漸接近；

甲班學(xué)生不僅初試成績(jī)好于乙班，并且成績(jī)一直處于上升狀態(tài)，而乙班一直處于下降狀態(tài)（或保持基本不變），

經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移，兩班狀態(tài)偏離程度愈加增大；

甲、乙兩班成績(jī)無(wú)論是上升或是下降變化小、幅度隨機(jī)波動(dòng)，雖經(jīng)多次轉(zhuǎn)移變化，狀態(tài)仍相對(duì)保持不變。

1）設(shè)甲乙兩班現(xiàn)都有20名學(xué)生，對(duì)他們的學(xué)業(yè)成績(jī)進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，簡(jiǎn)單地將測(cè)得的成績(jī)分為兩個(gè)等級(jí)（60分以上為及格，60分以下為不及格）。甲班前測(cè)18名學(xué)生及格，2名學(xué)生同學(xué)不及格；后測(cè)有16名學(xué)生及格，4名學(xué)生不及格（有2名學(xué)生由及格到不及格）。以M表示甲班學(xué)業(yè)成績(jī)的狀態(tài)向量，則M0=(0.9,0.1)，M1=(0.8,0.2)，由此可構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣：

利用轉(zhuǎn)移矩陣G1，可推算出甲班學(xué)生后續(xù)的成績(jī)狀態(tài)向量（見(jiàn)表1）。

乙班前測(cè)及格3人，不及格17人；后測(cè)及格5人，不及格15人。以N表示乙班學(xué)業(yè)成績(jī)的狀態(tài)向量，則N0=(0.15,0.85) ，N1=(0.25,0.75)，則乙班的轉(zhuǎn)移矩陣：

同理，利用轉(zhuǎn)移矩陣G2，可推算出乙班學(xué)生后續(xù)的成績(jī)狀態(tài)向量（見(jiàn)表1）。

計(jì)算狀態(tài)向量M、N的模長(zhǎng)、夾角、模差||M|-|N||等數(shù)據(jù)，如表1所示。

依表1，繪制向量模長(zhǎng)及夾角變化過(guò)程示意圖，得圖2（a）～（d）。

表1 兩狀態(tài)向量間接近—相等—偏離數(shù)據(jù)表

由圖2（a）表示起始時(shí)兩向量間夾角較大；（b）顯示轉(zhuǎn)移中甲乙兩班狀態(tài)向量夾角逐漸變小，模差的絕對(duì)值也逐漸減小；（c）表明經(jīng)過(guò)5次轉(zhuǎn)移后，兩班狀態(tài)向量夾角、模差的絕對(duì)值最為接近，說(shuō)明兩班此時(shí)學(xué)習(xí)狀態(tài)基本相同；（d）意味依此繼續(xù)轉(zhuǎn)移下去，甲乙兩班狀態(tài)向量夾角又逐漸變大，此時(shí)乙班成績(jī)超過(guò)甲班成績(jī)。

2）設(shè)甲班前測(cè)及格11人，不及格9人，進(jìn)行后測(cè)，及格人數(shù)為13人，不及格7人；乙班前測(cè)及格10人，不及格10人，后測(cè)及格人數(shù)為8人，不及格為12人，則甲乙兩班轉(zhuǎn)移矩陣分別為：

狀態(tài)向量變化趨勢(shì)如表2所示。

表2 兩狀態(tài)向量間偏離增大數(shù)據(jù)表

依表2，繪制向量模長(zhǎng)及夾角變化過(guò)程示意圖，得圖3（a）～（c）。

圖3（a）～（c）顯示，甲乙兩班起始狀態(tài)向量不同，且甲班的成績(jī)不僅初始成績(jī)好于乙班，每次轉(zhuǎn)移后的成績(jī)都呈更好的趨勢(shì)，而乙班每次轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)變得越來(lái)越差，隨轉(zhuǎn)移次數(shù)的增加，兩向量夾角愈加增大。

3）若依轉(zhuǎn)移矩陣估計(jì)甲乙兩班的狀態(tài)向量，每次轉(zhuǎn)移后兩班狀態(tài)等級(jí)變化幅度都不是很大，會(huì)出現(xiàn)甲乙兩班的狀態(tài)向量之間的夾角、模差的絕對(duì)值變化很小（或基本保持不變）的情況，意指兩班學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)相對(duì)保持不變，不出現(xiàn)接近或偏離的態(tài)勢(shì)（圖略）。

圖2 兩狀態(tài)向量間趨向相等后差距變大的過(guò)程

3 結(jié)語(yǔ)

上述討論簡(jiǎn)單地將兩班學(xué)生的成績(jī)劃分為兩個(gè)等級(jí)，給出二維狀態(tài)向量，藉此說(shuō)明分析的方法。顯然，這種分析過(guò)程同樣可以應(yīng)用于將狀態(tài)劃分為三等級(jí)（三維向量）、

四等級(jí)（四維向量）乃至更多的等級(jí)（更高維向量）的情況，且分析的班級(jí)亦不必局限為兩個(gè)群體。

圖3 兩狀態(tài)向量間偏離加大

運(yùn)用馬爾科夫鏈分析方法，通過(guò)對(duì)不同群體變化過(guò)程趨勢(shì)的細(xì)致刻劃，可估計(jì)狀態(tài)向量間接近或偏離的速度[4]。當(dāng)速度較大時(shí)，提示教學(xué)方法改革的迫切性；至于相對(duì)緩慢的速度，則說(shuō)明教學(xué)方法的效應(yīng)并不顯著，需要相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間才會(huì)出現(xiàn)一定程度的積累性后效。

[1]夏秀芳,房圓圓.馬爾可夫預(yù)測(cè)模型在人力資源預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用[J].青島建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào),2001,22(2):75-77.

[2]惠淑榮,董建國(guó).馬爾科夫鏈在教學(xué)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用[J].高等農(nóng)業(yè)教育,2009(10):60-63.

[3]鄭勇輝,鄭石英,孫駿.基于馬爾科夫鏈的研究型教學(xué)模式教學(xué)成效評(píng)價(jià)分析[J].高等教育研究學(xué)報(bào),2012(6): 61-63.

[4]田振清,邊琦.關(guān)于學(xué)生復(fù)雜連鎖反應(yīng)時(shí)間分布模型參數(shù)估計(jì)的一種方法[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)漢文版,2014,43(4):448-453.

Method of Learning Process State Change Trend Analysis based on Markov Chain/

/LIU Ge, LIU Fengxiang, DU Chunyan, YANG Qi, TIAN Zhenqing

This article discusses a method for the analysis based on Markov chain to the students learning state change process and its trend, and gives a concrete example.

Markov chain; student groups; learning state

G642.0

B

1671-489X(2015)18-0096-03

內(nèi)蒙古師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目“形成性評(píng)價(jià)工具軟件的設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)與應(yīng)用研究”（137153）。

10.3969 /j.issn.1671-489X.2015.18.096