(杭州電子科技大學通信工程學院，浙江 杭州310018)

0 引 言

文獻[1]提出了酉預編碼的正交空時分組碼(Orthogonal Space-Time Block Coding，OSTBC)有限反饋系統(tǒng)?；诖讼到y(tǒng)，文獻[2]根據(jù)預編碼設計準則[3]提出了新的預編碼設計方案，具有更低誤碼率和快速選碼特點。但上述碼本的設計都是在信道為獨立同分布情況下進行的。在實際多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)通信環(huán)境中，天線收發(fā)兩端往往會有很大的相關性，針對空間相關MIMO信道，利用發(fā)送相關矩陣對獨立同分布信道下的碼本進行修正，所得碼本具有不錯的性能[4-5]。本文考慮酉預編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)，首先推導了接收端信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)平均失真的上界，得到了預編碼矩陣的結構，然后利用發(fā)送相關矩陣的平方根對碼本進行旋轉，設計了適用于空間相關MIMO信道下的新碼本，同時設計一種快速選碼方案。新碼本不僅進一步提高了誤碼率性能，而且在快速選碼方案下，選碼復雜度有了很大的降低。

1 系統(tǒng)模型

酉預編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)框圖如圖1所示。假設MIMO系統(tǒng)有Nr根接收天線，Nt根發(fā)射天線。H是有發(fā)送相關和接收相關的平坦衰落信道。相關模型采用Kronecker模型[6]，表示為:

式中，Rt為發(fā)送相關矩陣，Rr為接收相關矩陣，G為獨立同分布的復高斯隨機變量矩陣。

預編碼矩陣Pi是由接收端依據(jù)當前的信道實現(xiàn)而選出的最佳碼字，并將碼字序號i 反饋回發(fā)送端。假定波束矢量上等功率分配，那么與一個OSTBC 符號矩陣對應的接收信號可表示為:

式中，ρ為信噪比;X=[x1，x2，…，xT]是一個M×T 維的空時碼矩陣，向量xt表示t時刻OSTBC編碼器輸出;W是Nr×T 維的噪聲矩陣，其每一個元素均是零均值、單位方差的復高斯白噪聲。

為了表述方便，本文將后面的數(shù)學符號進行說明。(·)H表示矩陣的共軛轉置，表示絕對值，表示向量的Euclidean 范數(shù)，表示矩陣的Frobenius 范數(shù)。EH[·]表示對H的期望值，arg max(arg min)表示使表達式取得最大值(最小值)的任意變量，Ⅰk表示k×k的單位矩陣。

圖1 酉預編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)框圖

2 空間相關信道下預編碼的碼本設計

2.1 多層碼字的結構

文獻[2]中的碼本是為了最小化系統(tǒng)錯誤概率而設計的。它是把反饋比特分解成M個比特數(shù)，預編碼矩陣是按列向量逐列地進行構造，形成具有M層結構的碼字空間。假設系統(tǒng)接收端反饋r 比特，使得r=r1+r2+…+rM，令Jm=2rm(1≤m≤M)，系統(tǒng)碼本碼字個數(shù)為J =2r。根據(jù)預編碼設計準則，得到的J1個Nt維的復列向量v1，1，v1，2，…，v1，J1，將其作為第一層選碼空間VJ1={v1，1，v1，2，…，v1，J1}。第二層選碼空間為VJ2={v2，j1，1，v2，j1，2，…，v2，j1，J2}(1≤j1≤J1)，其中每J2個向量都對應著上一層選碼空間中的一個向量。應用預編碼設計準則，直到得出第M層的選碼空間VJM={vM，j1，j2，…，1，vM，j1，j2，…，2，…，vM，j1，j2，…，JM}(1≤j1≤J1，1≤j2≤J2，…)。通過最優(yōu)選碼或快速選碼準則，在每一層選碼空間中選出最優(yōu)向量，然后組合成最優(yōu)的預編碼碼字矩陣Fi(1≤i≤J)。

2.2 碼本設計

文獻[4]證明了當信道只有接收相關性，系統(tǒng)仍可用Grassmannian 碼本進行預編碼，但當信道還具有發(fā)送相關性，仍是本文需要解決的問題，下面考慮既有發(fā)送相關性又有接收相關性的情況。

通過最小符號錯誤概率準則得到的最佳預編碼碼字矩陣如下:

令m×n維矩陣A的奇異值分解[7]為:

式中，UA、QA、∑A分別是A的左奇異向量矩陣、右奇異向量矩陣、奇異值矩陣;k個非零奇異值以降序排列為σ1≥…≥σk，k為矩陣A的秩。文獻[1]通過對H和P 實行奇異值分解，得到的上界為的前M列構成的矩陣，此時最優(yōu)預編碼矩陣為是QH前M列所構成的矩陣。

針對空間相關的MIMO信道，對于一個給定碼本，定義一個平均失真函數(shù):

為了最小化式(5)，可以最小化式(5)的上界值。其上界值可由下式確定:

1)產(chǎn)生各層碼字空間。如上節(jié)所述，生成適用于獨立同分布瑞利衰落信道下各層碼字空間，設在各層碼字空間選擇出來的列向量所組合成的碼本F={F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)J}，碼本包含J個碼字;

3)碼本量化。因為每個碼字為酉矩陣，所以需要對每個碼字進行酉矩陣化，使每個碼字滿足= ⅠM，最終得到新碼本為P，P={P1，P2，…，PJ}，其中

2.3 快速選碼準則

接收端可根據(jù)式(3)確定出適合于當前信道實現(xiàn)的最佳預編碼碼字矩陣的序號，并將碼字序號i 反饋回發(fā)送端。但這種選碼準則計算量未免很大。因為碼字是逐列地進行構造，所以預編碼碼字矩陣也可以逐列地進行選擇，因此可以設計一種快速選碼方案。

最佳碼字矩陣中第二列向量下標i2為:

依此類推，直到得出最佳碼字矩陣中的第M列向量的下標iM，經(jīng)過上述M次下標確定后，可以直接得到最佳預編碼碼字矩陣。

3 仿真結果與分析

系統(tǒng)仿真參數(shù)為:H是3×4 維的空間相關的衰落信道，相關模型采用Kronecker模型，天線陣列為歸一化線性陣列，發(fā)射天線間距離為dt=3λ，接收端天線間距離為dr=0.5λ，λ是載波波長。天線接收端到達角為0°，發(fā)送端和接收端的角度擴展分別為2°和60°。角度功率譜服從拉普拉斯分布。輸入數(shù)據(jù)采用QPSK調(diào)制，OSTBC編碼采用全速率的2×2 維Alamouti 編碼。在不同反饋比特下，新碼本和文獻[2]碼本在空間相關MIMO信道中的誤碼率性能曲線如圖2、圖3所示。

圖2 反饋6 bit時不同碼本誤碼率性能對比

圖3 反饋8 bit時不同碼本誤碼率性能對比

在圖2中，反饋比特r=6 且r=r1+r2=3+3。由圖2可知，新碼本在最優(yōu)選碼方案和快速選碼方案下所表現(xiàn)出的性能都優(yōu)于文獻[2]中碼本性能。在圖3中，反饋比特r=8 且r=r1+r2=5+3，新碼本在最優(yōu)選碼方案下的系統(tǒng)性能得到進一步的提升。

在圖2中，針對一個具體信道實現(xiàn)H，為了選出最佳預編碼碼字矩陣，最優(yōu)選碼方案要對比26=64次，而快速選碼方案只需要進行2次選擇，每次需要對比23=8次，則一共只需進行16次選擇，兩者相差3倍。在圖3中，最優(yōu)選碼方案要對比28=256次，而快速選碼方案只需要進行2次選擇，需要對比25=32和23=8次，則一共只需進行40次選擇，兩者相差5.4倍。很顯然，最優(yōu)選碼方案需要計算J=J1×J2×·…×JM次矩陣HPi的Frobenius 范數(shù)，而快速選碼方案只需要計算J1+J2+…+JM次兩個向量的內(nèi)積，因此系統(tǒng)在快速選碼方案下，選碼復雜度有了很大的降低。

圖4描述了反饋6 bit時新碼本在僅接收相關、僅發(fā)送相關、發(fā)送和接收同時相關信道下的誤碼率性能對比。在信道僅接收相關時，系統(tǒng)誤碼率性能優(yōu)于僅發(fā)送相關、發(fā)送和接收同時相關這兩種情況，而在信道僅發(fā)送相關時，系統(tǒng)誤碼率性能曲線與發(fā)送和接收同時相關情況下的基本重合，這也說明了前文所說的當信道只有接收相關性時系統(tǒng)仍可用原有碼本進行預編碼。

圖4 信道在不同相關情況下新碼本的性能對比

4 結束語

針對酉預編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)，本文通過理論推導，得到了信道具有空間相關性時預編碼矩陣的結構，利用發(fā)送相關矩陣對獨立同分布信道下的酉預編碼碼本進行旋轉操作，設計出適用于空間相關信道下的新碼本。同時設計一種快速選碼方案。此新碼本不僅進一步提高了誤碼率性能，而且在快速選碼方案下，選碼復雜度有了很大的降低。

[1]Love D J，Heath R W.Limited feedback unitary precoding for orthogonal space-time block codes[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53(1):64-73.

[2]劉順蘭，劉艷艷，王海泉.基于OSTBC的有限反饋預編碼設計[J].電路與系統(tǒng)學報，2013，18(1):443-448.

[3]Wang H Q，Zhao Z J.A MIMO system with finite-bit feedback based on fixed constellations [J].Science China Information Sciences，2013，56(6):1-14.

[4]Love D J，Heath R W.Grassmannian beamforming on correlated MIMO channels[J].Global Telecommunications Conference，2004.IEEE，2004:106-110.

[5]Xia P，Giannakis G B.Design and analysis of transmit-beamforming based on limited-rate feedback[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54(5):1 853-1 863.

[6]Pourahmadi V，Kohandani F，Mobasher A.On the accuracy of channel modeling based on the Kronecker product[J].

Vehicular Technology Conference Fall (VTC 2010-Fall)，2010 IEEE 72nd，2010:1-5.

[7]張賢達.矩陣分析與應用[M].北京:清華大學出版社，2004∶344-354.