劉雪梅,賈麗華
(中國民航大學(xué)理學(xué)院,天津300300)
一個(gè)參數(shù)為(N,K)的碼本C 是由N個(gè)單位向量{c1,c2,…,cN}構(gòu)成的集合,ci長度為K,其中,1≤i≤N。碼本作為信息的載體可用于傳輸不同的信息,且有著低重復(fù)率、強(qiáng)保密性的優(yōu)點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中,對(duì)于一定的長度K,希望碼本的向量個(gè)數(shù)N盡可能大,而最大相關(guān)幅度盡可能小,這樣可以降低信號(hào)之間的相互干擾。然而,碼本的參數(shù)受到理論界限的制約,其最大相關(guān)幅度和參數(shù)N和K之間滿足一定的界,即Welch 界[1]。當(dāng)N≥K時(shí),如果碼本C 的最大相關(guān)幅度能達(dá)到Welch界,則稱碼本C 為MWBE(maximal Welch bound equality codebook)碼本或最優(yōu)碼本[2]。MWBE 碼本僅存在于非常有限的碼字個(gè)數(shù)和碼字長度的條件下。對(duì)MWBE 碼本的研究,主要有以下幾方面:①任意N>1,由m序列構(gòu)造參數(shù)為(N,N-1)的MWBE 碼本;②任意N>1,基于離散傅里葉變換構(gòu)造(N,N- 1)的MWBE 碼本,基于ZN中的(N,K,λ)差集構(gòu)造參數(shù)為(N,K)的MWBE 碼本[3];③設(shè)d是一個(gè)給定的正整數(shù),當(dāng)N=2K=2d+1或N=2K=pd+1,且p是素?cái)?shù)時(shí),用協(xié)商矩陣構(gòu)造參數(shù)為(N,K)的MWBE 碼本[4-5];④采用有限域Fq中的(N,K,λ)循環(huán)差集[2]和阿貝爾差集[6]構(gòu)造參數(shù)為(N,K)的MWBE 碼本;⑤用(2,k,υ)施泰納坦納系構(gòu)造參數(shù)為(N,K)的MWBE 碼本[7];⑥采用圖論和有限幾何構(gòu)造參數(shù)為(N,K)的MWBE 碼本[8-10]。
最優(yōu)碼本的約束條件較嚴(yán)格、限制因素較多,因此,構(gòu)造最優(yōu)碼本的方法較少且難以構(gòu)造達(dá)到Welch界的最優(yōu)碼本。碼本的最大相關(guān)幅度漸近達(dá)到Welch界時(shí),稱為漸近最優(yōu)碼本,即放寬了碼本的約束條件,使得參數(shù)選取更加靈活。同時(shí),當(dāng)碼本中的碼字足夠長時(shí),漸近最優(yōu)碼本與最優(yōu)碼本性質(zhì)相似,因此,構(gòu)造漸近最優(yōu)碼本是一個(gè)折中的方法。Ding 等[11]提出了利用幾乎差集構(gòu)造近似最優(yōu)碼本的方法,但滿足條件的幾乎差集較少;Yu[12]從二元序列出發(fā)構(gòu)造了幾乎最優(yōu)碼本,但對(duì)初始矩陣的條件限制嚴(yán)格;Heng[13]利用廣義雅可比和構(gòu)造了幾類漸近最優(yōu)碼本;Zhang 等[14]基于分圓類的幾乎差集構(gòu)造了限制條件更寬松的漸近最優(yōu)碼本,又利用高斯和構(gòu)造了近似達(dá)到Welch 界的漸近最優(yōu)碼本,解決了文獻(xiàn)[11]中遺留的問題。
目前,構(gòu)造漸近最優(yōu)碼本的方法較少,且難以找到滿足條件的參數(shù)。針對(duì)以上問題,提出了一個(gè)構(gòu)造碼本的新方法,且新碼本漸近達(dá)到Welch 界的條件較為寬松。
定義1一個(gè)參數(shù)為(N,K)的碼本C是由N 個(gè)1×K 個(gè)單位向量構(gòu)成的集合{c1,c2,…,cN},其中,向量ci稱為碼本的碼字,0≤i≤N。
定義2碼本C的最大相關(guān)幅度定義為
式中cjH表示復(fù)數(shù)向量cj的共軛轉(zhuǎn)置。
引理1(Welch 界)對(duì)任意參數(shù)為(N,K)的碼本C,且N≥K,有
設(shè)Fq是一個(gè)q 元有限域,其中q 為素?cái)?shù)的冪。對(duì)于一個(gè)非負(fù)整數(shù)n,表示Fq上的n 維行向量空間。qn )中的任意非零向量和零向量都稱為點(diǎn),任意1 維向量子空間的陪集稱為線,任意2 維向量子空間的陪集稱為面。中的任意r(0≤r≤n)維向量子空間的陪集稱為仿射r-flat,或簡稱為r-flat。
設(shè)U+u是一個(gè)r-flat,V+v是一個(gè)s-flat,其中,U是一個(gè)r 維向量子空間,V是一個(gè)s 維向量子空間,u,v∈。如果u∈V+v且U?V,則稱r-flat?s-flat。若r-flat?s-flat 或s-flat?r-flat,則稱其是相關(guān)聯(lián)的。點(diǎn)集與r-flat(0≤r≤n)及其之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系稱為Fq上的n 維仿射空間,記作AG(n,F(xiàn)q)。
參考文獻(xiàn)[15]中有以下定理及定義。
定理1設(shè)0≤m≤n,則AG(n,F(xiàn)q)中的m-flat的個(gè)數(shù)為。
定理2設(shè)0≤k≤m≤n,則AG(n,F(xiàn)q)中包含于某一給定的m-flat中的k-flat的數(shù)量為。
定理3設(shè)0≤k≤m≤n,則AG(n,F(xiàn)q)中包含一個(gè)給定的k-flat的m-flat的數(shù)量為。
定義3設(shè)a=(a1,a2,…,an)是中的向量,則向量a的Hamming 權(quán)定義為非零分量ai的個(gè)數(shù),表示為ω(a),即
ω(a)=|{i|1≤i≤n,ai≠0}|
在構(gòu)造新的碼本之前,先利用有限域上仿射空間的關(guān)聯(lián)關(guān)系構(gòu)造一類二元碼。
定義4給定整數(shù)0≤k≤m≤n,令M(k,m,n)是一個(gè)二元矩陣,其中,行是由所有的k-flat標(biāo)定,列是由所有的m-flat標(biāo)定,M(k,m,n)的第i 行第j 列為1當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趇 行的k-flat包含在第j 列的m-flat中。
由定理1 可知M(k,m,n)是一個(gè)K×N 的矩陣,且其列權(quán)重都是ω,其中,,。
由此,以每列為一個(gè)碼字,就得到了一個(gè)二元等重碼C,參數(shù)為(K,N)。對(duì)任意一個(gè)二元碼C,可定義碼本為
引理2對(duì)任一(K,N)二元碼C,在式(1)中定義的集合SK,Q(C)是一個(gè)(K,N)碼本,且最大相關(guān)幅度為。
證明所構(gòu)造碼本的大小和碼字的長度可由二元碼C 的定義及參數(shù)得出。
對(duì)任意兩個(gè)不同的向量si,sj∈SK,Q(C),有
設(shè)第i 個(gè)m-flat 為U+u,第j 個(gè)m-flat 為V+v,其中,U,V 表示m 維向量空間,u,v∈。ω(si∩sj)取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)(U+u)∩(V+v)=W+w,其中,W 是一個(gè)m-1 維向量空間,w∈,則W+w 是一個(gè)(m-1)-flat。那么ω(si∩sj)的最大值為
定理4若SK,Q(C)是一個(gè)最優(yōu)碼本,當(dāng)且僅當(dāng)k=n。
證明若SK,Q(C)是一個(gè)最優(yōu)碼本,當(dāng)且僅當(dāng),即K=1,則k=n。
定理5當(dāng)(n-m-1)m >(n-k-1)k 時(shí),SK,Q(C)是一個(gè)漸近最優(yōu)碼本。
證明(N,K)碼本SK,Q(C)的參數(shù)為
由于(n-m-1)m >(n-k-1)k,則
則可得到
因此,SK,Q(C)是一個(gè)漸近最優(yōu)碼本。
基于有限域上仿射空間提供了一個(gè)構(gòu)造碼本的一般方法。首先利用仿射空間之間的包含關(guān)系構(gòu)造一類二元等重碼,然后用二元等重碼構(gòu)造了最大相關(guān)幅度為的碼本。碼本SK,(QC)是最優(yōu)碼本的充要條件是k=n。當(dāng)(n-m-1)m >(n-k-1)k 時(shí),碼本SK,Q(C)漸近達(dá)到Welch 界,是一個(gè)漸近最優(yōu)碼本。