張善卿，孫冬梅，王佛榮，任小斌

(1.杭州電子科技大學(xué)圖形圖像研究所，浙江 杭州 310018;

2.河南中原高速公路股份有限公司，河南 鄭州 450002)

摘要：圖像的放大或者超分辨率復(fù)原是圖像處理中所致力解決的重要問題。以往的圖像放大算法往往具有比較嚴(yán)重的方片及邊緣鋸齒與模糊現(xiàn)象，為此，從基于變分的圖像復(fù)原LOT模型出發(fā)，把圖像放大中待填補(bǔ)的點(diǎn)看成是圖像復(fù)原中待修復(fù)的點(diǎn)，提出了一種基于圖像單位法向量方向角的放大模型，并運(yùn)用增廣拉格朗日法，給出其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算方案，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新模型的有效性。

關(guān)鍵詞：圖像復(fù)原；超分辨率；法向量；增廣拉格朗日

DOI: 10.13954/j.cnki.hdu.2015.02.014

基于圖像法向量方向角的放大模型

張善卿1，孫冬梅1，王佛榮1，任小斌2

(1.杭州電子科技大學(xué)圖形圖像研究所，浙江 杭州 310018;

2.河南中原高速公路股份有限公司，河南 鄭州 450002)

摘要：圖像的放大或者超分辨率復(fù)原是圖像處理中所致力解決的重要問題。以往的圖像放大算法往往具有比較嚴(yán)重的方片及邊緣鋸齒與模糊現(xiàn)象，為此，從基于變分的圖像復(fù)原LOT模型出發(fā)，把圖像放大中待填補(bǔ)的點(diǎn)看成是圖像復(fù)原中待修復(fù)的點(diǎn)，提出了一種基于圖像單位法向量方向角的放大模型，并運(yùn)用增廣拉格朗日法，給出其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算方案，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新模型的有效性。

關(guān)鍵詞：圖像復(fù)原；超分辨率；法向量；增廣拉格朗日

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.02.014

收稿日期：2014-08-27

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61370218)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY14F020043)

作者簡(jiǎn)介：張善卿(1971-)，男，河南濟(jì)源人，副教授，圖像處理.

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-9146(2015)02-0056-04

Abstract:Image magnification or super-resolution restoration is an important problem to be solved in image processing. The previous algorithms of image magnification always generate square slice and saw tooth edges and so on. In this paper， we propose a novel magnification model based on the LOT model. In this model， we use the direction angle of image instead of image normal vector in LOT model to fill the repaired pixels and reconstruct the image. We also give a numerical solution algorithm with the augmented Lagrangian method. The programming experiments verify the effectiveness of the new model．

0引言

如何提高圖像的空間分辨率，改善圖像質(zhì)量，一直以來都是圖像處理中所致力解決的重要問題。根據(jù)實(shí)現(xiàn)方法的不同，圖像的放大方法分為基于重建和基于學(xué)習(xí)的方法[1]。目前，基于重建的圖像放大常用算法，包括插值的方法、基于小波變換的方法[2]以及基于偏微分方程的超分辨率復(fù)原方法[3]等。偏微分方程在圖像復(fù)原中的應(yīng)用主要可分為兩類[4]。一類是基本的迭代格式，通過隨時(shí)間變化的更新，使圖像向所要得到的效果逼近。這類方法典型代表是P-M模型[5]。另一類是基于變分法的思想，通過使圖像的能量函數(shù)最小化，圖像達(dá)到平滑狀態(tài)。這類方法典型代表是ROF模型[6]。Lysaker-Osher-Tai在此基礎(chǔ)上提出一種較有效的改進(jìn)模型，即LOT模型[7]。

本文利用改進(jìn)的圖像復(fù)原的LOT模型，把圖像放大中待填補(bǔ)的點(diǎn)看成是圖像復(fù)原中待修復(fù)的點(diǎn)，提出了一種基于圖像法向量方向角的放大模型，并運(yùn)用增廣拉格朗日法，給出其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算方案，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的有效性。

1圖像復(fù)原LOT模型

在圖像降噪中，ROF模型是一個(gè)較成功的去噪模型，它在去除噪聲的同時(shí)，能有效地保持圖像中的不連續(xù)區(qū)域[8]。ROF模型描述為極小化能量問題，即：

(1)

模型式(1)用于圖像放大時(shí)出現(xiàn)“塊狀”效應(yīng)及可能產(chǎn)生虛假輪廓，而這正是圖像放大中要致力解決的問題。而LOT模型對(duì)ROF模型進(jìn)行了改進(jìn)。具體講，LOT模型分兩步來進(jìn)行。

1)通過ROF模型得到的平滑圖像單位法向量n0：

(2)

2)基于單位法向量n重新構(gòu)造一幅圖像，使其單位法向量和第一步得到的單位法向量匹配，即極小化如下表達(dá)式：

(3)

式中，σ為噪聲圖像u0中噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)式(2)和式(3)變分求解，就是LOT模型復(fù)原結(jié)果。

但是，LOT模型仍有可改進(jìn)的地方：1)單位法向量n有兩個(gè)分量，用方向角θ代替，變成一個(gè)變量起到降維的作用。2)目前，LOT模型基本采用Chambolle對(duì)偶算法實(shí)現(xiàn)[9]，它計(jì)算量相對(duì)比較大，迭代次數(shù)多，可以采用性能更好的增廣拉格朗日法[10]進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

2基于單位法向量方向角的圖像放大模型

本文在LOT模型基礎(chǔ)上提出一種新的圖像放大模型，其基本思想是對(duì)于一幅初始的小尺寸圖像I0，通過雙線性插值放大，得到目標(biāo)尺寸圖像的初始估計(jì)I1；對(duì)I1的方向角θ1用式(3)進(jìn)行處理，得到平滑后的方向角θ；最后，把I1看成是帶噪聲的圖像，用式(3)模型進(jìn)行復(fù)原處理，得到最終的放大結(jié)果。

若用ROF模型來平滑圖像I1的單位法向量，則有：

(4)

由于n=(nx,ny)是單位法向量，用極坐標(biāo)表示為n=(cosθ,sinθ)，θ為方向角。則有：

(5)

(6)

最小化式(6)得到平滑后的θ后，可以重新構(gòu)造其單位法向量n=(cosθ,sinθ)，用于重構(gòu)清晰的目標(biāo)圖像[8]。為此，求解如下的極小化問題：

(7)

3模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)

為快速求解式(6)與式(7)，本文采用增廣拉格朗日算法。以式(6)為例，求解步驟推導(dǎo)如下。

首先，在式(6)中，以φ來近似dθ，得：

(8)

式(8)對(duì)應(yīng)的增廣拉格朗日泛函為：

(9)

對(duì)式(9)求偏導(dǎo)，并在偏導(dǎo)數(shù)為0處以求得極值，故可得：

(10)

為了求得極值，對(duì)式(10)推導(dǎo)可得其迭代的算法。

初始化：θ0=0,φ0=0,λd=0,λ=1,γ=1,r=1

fork=1,2,3,…

forn=0,1,…,N

end

end

其中，F(xiàn),F-1分別為傅里葉變換和逆變換，Δ表示二階微分算子，div表示梯度算子。

4實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)環(huán)境選為Intel(R)i5-2400、CPU 3.10 GHz、內(nèi)存4 G的win7系統(tǒng)下的Matlab2008a版本。選取一組圖片，對(duì)其用不同的方法放大4倍，得到的不同效果的放大圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1、圖2所示。并求其與原圖像的信噪比(PSNR值)，PSNR值越大，則與原圖像越接近。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖片

圖1　lenna原圖與放大結(jié)果

圖2　人像原圖與放大結(jié)果

從表1的結(jié)果可以看出，基于方向角的圖像放大模型的方法相對(duì)于線性插值法在圖像的平均梯度和PSNR值方面都有所提高，圖像平均梯度越大表明圖像越清晰，圖像信噪比越大表明圖像質(zhì)量越好。同時(shí)，我們可以從圖1和圖2中直觀地看出，相比較于傳統(tǒng)的插值放大算法，本文采用的模型，視覺效果也明顯的改善，特別是在處理方向比較明顯的圖像時(shí)，如圖2所示。另外，采用速度更快的增廣拉格朗日算法[11],可使運(yùn)行時(shí)間達(dá)到數(shù)秒級(jí)。

5結(jié)束語

通過研究改進(jìn)的圖像復(fù)原LOT模型，提出了一種基于圖像單位法向量方向角的放大模型，并運(yùn)用增廣拉格朗日法，給出其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算方案。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文模型的有效性，放大圖像的視覺效果有明顯提高，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也表明了模型的優(yōu)越性。

參考文獻(xiàn)

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[9]Chambolle, A. An algorithm for total variation minimization and applications[J]. Journal of Mathematical imaging and vision,2004,20(1-2),89-97.

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[11]Mahdavi A, Shiri M E. An augmented Lagrangian ant colony based method for constrained optimization[J]. Computational Optimization and Applications,2014:1-14.

An Image Magnification Model with Image

Normal Vector Direction Angle

Zhang Shanqing1， Sun Dongmei1， Wang Forong1， Ren Xiaobin2

(1.InstituteofGraphicsandImage，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China;

2.HenanZhongyuanHighwayCo.，Ltd.ZhengzhouHenan450002，China)

Key words: image restoration; super-resolution; normal vector; the augmented Lagrangian