梁美花 王鳳娟 吳開迅 盧家寬

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541004）

半線性映射的性質(zhì)

梁美花 王鳳娟 吳開迅 盧家寬

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541004）

文章給出半線性映射的一些基本性質(zhì)，研究半線性變換與線性變換之間的聯(lián)系，特別地給出了它們等價的一個充分必要條件。

線性空間；半線性映射；線性映射

高等代數(shù)是高等院校里數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，也是目前大多數(shù)高校數(shù)學(xué)專業(yè)考研的必考科目之一。線性空間與線性變換是高等代數(shù)的重要研究對象，事實上，關(guān)于線性空間和線性變換的理論已經(jīng)很成熟，內(nèi)容也很豐富，可參考文獻[1]。因此，研究與線性空間與線性變換相關(guān)的課題顯得很重要，也具有理論基礎(chǔ)。例如，文獻[2]研究了p-半線性映射的若干性質(zhì)。

文獻[1]第301頁第36道練習(xí)題中提到線性變換的如下推廣：

定義1 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上線性空間，f是V到W的映射，稱f是V到W的半線性映射，如果對任意的α,,有

V到W的所有半線性映射的集合記為QF(V,W).

特別地，V到自身的半線性映射稱為V的半線性變換.這時，QF(V,V)簡記為QK(V) .

從上面的例子已經(jīng)可以看出，半線性映射的概念比線性映射的概念具有更廣泛的普遍性，因而，它的應(yīng)用范圍也更廣。首先，關(guān)于半線性映射有如下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上線性空間，f是V到W的半線性映射，則有

（1）(0)0f=.

證明

類似線性映射的加法、乘法, 可以定義半線性映射的加法、乘法。

定義2 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上線性空間， f, g是V到W的半線性映射，k∈F, 對任意的α∈V, 規(guī)定

分別稱為f與g的和，以及k與f的數(shù)乘。

筆者有如下兩個命題：

證明 對,Vα β?∈，有

命題2 設(shè)F是一數(shù)域，QF(V,W)是F上線性空間，QF(V,W)關(guān)于上面定義1中的加法、數(shù)乘運算成為F上的線性空間。

證明 由于QF(V,W)對上面定義的加法及數(shù)乘運算封閉，要證Q (V,U)是線性空間，還需驗證線性空間定義中的8條公理，即：

由例子 1知，在一般情況下，半線性映射不一定是線性映射。但下面的定理給出了半線性映射與線性映射等價的一個充分必要條件。

定理1 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上有限維線性空間，則F=Q當(dāng)且僅當(dāng)

[1] 藍以中.高等代數(shù)簡明教程(第二版)上冊[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.

[2] 王喜林,劉麗紅,王波.p-半線性映射的性質(zhì)[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,42(4):21-25.

The properties of semilinear mappings

In this paper, some elementary properties of semilinear mappings, in particular, a necessary and sufficient condition for a semilinear mapping to be linear mapping are given.

Vector spaces; semilinear mapping; linear mapping

O151.2

A

1008-1151(2015)10-0096-02

2015-09-10

廣西高等教育教學(xué)改革工程項目(2014JGA116), 2015年自治區(qū)級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃立項項目（201510602037）。

梁美花（1985－），女（壯族），廣西師范大學(xué)學(xué)生；盧家寬（1980－），男（壯族），廣西貴港人，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，研究方向為群及其表示。