彭 亮， 陳 斌，2

（1.上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093；2.杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310018）

近幾十年來(lái)，一維的亞鐵磁鏈由于表現(xiàn)出很多奇特的物理現(xiàn)象，而引起了人們的極大興趣和廣泛關(guān)注.亞鐵磁鏈?zhǔn)怯蓛煞N自旋不同的磁性離子通過(guò)自旋－自旋相互作用（交換積分）而形成的一維晶格，最簡(jiǎn)單的亞鐵磁鏈由自旋為1和自旋為組成.利用自旋波理論（SWT）［1－2］，可以得到亞鐵磁鏈的長(zhǎng)波色散關(guān)系與波矢的平方成正比，這與鐵磁鏈的色散關(guān)系相同，而反鐵磁鏈的長(zhǎng)波色散關(guān)系與波矢成正比［3］.這說(shuō)明雖然亞鐵磁鏈近鄰格點(diǎn)上的自旋排列方式與反鐵磁鏈的相同，但是它的物理性質(zhì)更像是鐵磁鏈.隨著人們認(rèn)識(shí)的提高和對(duì)亞鐵磁鏈的進(jìn)一步研究，又產(chǎn)生了許多新的理論，其中包括修正的自 旋 波 理 論（MSWT）［4］、自 洽 平 均 場(chǎng) 理 論（SCMFT）［5］和 薛 溫 格 玻 色 子 平 均 場(chǎng) 理 論（SBMFT）［6－7］.近年 來(lái)，人 們 又 發(fā) 展 了 一 些 新 的 計(jì)算方法，例如密度矩陣重整化群（DMRG）［8］方法和量子蒙特卡羅（QMC）［9］方法.隨著新的理論和科學(xué)的計(jì)算方法的出現(xiàn)，人們對(duì)亞鐵磁鏈物理性質(zhì)的了解將會(huì)更加全面.

研究各向異性［10］的亞鐵磁鏈，可以提高人們對(duì)物質(zhì)磁性的認(rèn)識(shí)，同時(shí)可以為新型磁性材料的研發(fā)和應(yīng)用提供理論上的依據(jù)，因此具有理論和實(shí)踐上的重要意義.出于對(duì)上述原因的考慮，本文研究了各向異性亞鐵磁鏈的物理性質(zhì).經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，在各向異性的亞鐵磁鏈中，在一定數(shù)值范圍內(nèi)的各向異性因子會(huì)對(duì)系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā)起到抑制作用，它就像該系統(tǒng)的開關(guān).

1 各向異性亞鐵磁鏈的自旋波理論

對(duì)于各向異性的亞鐵磁鏈，其海森堡哈密頓量可表示為

式中，J 是亞鐵磁鏈中兩格點(diǎn)磁性離子上電子間的交換積分，且令J＝1；η 是近鄰格點(diǎn)間的位置矢差；D 是各向異性因子；是自旋Si在z 軸方向上的投影分量.將系統(tǒng)分為兩個(gè)子格，其中子格A 的自旋向上，子格B 的自旋向下；N 為每個(gè)子格的格點(diǎn)總數(shù)，且取晶格長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度；Si代表子格A中i格點(diǎn)上的自旋，其值為S＝1；si代表子格B中i 格點(diǎn)上的自旋，其值為

將式（1）改寫為

子格A：

子格B：

考慮低激發(fā)態(tài)（即低溫區(qū)）時(shí)，在亞鐵磁鏈中有

利用式（3）和式（4），將亞鐵磁鏈的哈密頓量式（2）展開，并略去算符a，b 的四次項(xiàng)，得到低溫近似下的哈密頓量

式中，Z 為晶格的配位數(shù)，對(duì)于亞鐵磁鏈有Z＝2.對(duì)式（5）作傅里葉變換，分別引入子格的自旋波算符ak，bk

利用式（6），各向異性亞鐵磁鏈的哈密頓量式（5）可表示為

為了消除交叉項(xiàng)，使式（7）對(duì)角化，引入玻戈留玻夫正則變換［12］

其中，變換系數(shù)uk，vk滿足關(guān)系式

利用式（8），得到對(duì)角化的哈密頓量

式中

由式（12）可以得出，由于各向異性因子D 的作用，使得一些波矢k 無(wú)法在系統(tǒng)中存在，即它會(huì)抑制一些準(zhǔn)粒子的激發(fā).圖1是此系統(tǒng)的兩個(gè)激發(fā)能譜，即聲學(xué)支（）和光學(xué)支.可以看出，隨著各向異性因子D 的增加，能譜下降.當(dāng)D 取0.09時(shí)，系統(tǒng)的激發(fā)能譜分成了兩段.而且D 越大，能譜分得越開，即這種抑制準(zhǔn)粒子激發(fā)的作用越強(qiáng).但是，如果D 的取值超過(guò)臨界值，這種抑制作用又會(huì)消失.通過(guò)研究，得到在此亞鐵磁鏈系統(tǒng)中存在兩個(gè)臨界值.一般地，此兩個(gè)臨界值可表示為

由以上兩式可得到系統(tǒng)中的臨界值分別為0.086和2.914.當(dāng)各向異性因子D 的取值在這兩個(gè)臨界值之外時(shí)，即D＜0.086或D＞2.914，它對(duì)系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā)沒(méi)有影響.當(dāng)D 的取值在這兩個(gè)臨界值之間的時(shí)候，即0.086＜D＜2.914，這個(gè)各向異性因子就會(huì)抑制系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā).在各向異性的亞鐵磁鏈系統(tǒng)中，各向異性因子D 起到開關(guān)的作用.

圖1 各向異性亞鐵磁鏈的激發(fā)能譜Fig.1 Energy spectrum of the anisotropic ferrimagnetic chain

2 各向異性亞鐵磁鏈的物理性質(zhì)

下面來(lái)研究各向異性亞鐵磁鏈的物理性質(zhì).由哈密頓量式（10），可以得到該體系單格點(diǎn)的自由能

進(jìn)而，各向異性亞鐵磁鏈的低溫比熱容由式（16）求得

各向異性亞鐵磁鏈比熱容的低溫曲線如圖2所示（見(jiàn)下頁(yè)）.可以看到，當(dāng)溫度T＞0.1Κ 時(shí)，隨著各向異性因子的增加，系統(tǒng)的比熱容在增大.各向異性亞鐵磁鏈的比熱容與溫度成正比，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.

接下來(lái)研究外磁場(chǎng)對(duì)各向異性亞鐵磁鏈物理性質(zhì)的影響.處于外磁場(chǎng)H 作用下的各向異性亞鐵磁鏈的哈密頓量可表示為

圖2 各向異性亞鐵磁鏈的比熱容Fig.2 Specific heat of the anisotropic ferrimagnetic chain

式中，取朗德因子g＝1，玻爾磁子μB＝1.利用HP變換，傅里葉變換和玻戈留玻夫正則變換，得到系統(tǒng)對(duì)角化的哈密頓量為

式中

此時(shí)體系的自由能可表示為

求得此時(shí)系統(tǒng)原胞的磁化強(qiáng)度為

各向異性亞鐵磁鏈的磁化強(qiáng)度曲線如圖3 所示，磁化強(qiáng)度曲線在m ＝0.5 處呈現(xiàn)一個(gè)平臺(tái)，滿足條件［13］

式中，S 為原胞中所有格點(diǎn)自旋之和；m 為原胞的磁化強(qiáng)度；n 為整數(shù).隨著各向異性因子D 的增加，磁化強(qiáng)度平臺(tái)在縮短，且有消失的趨勢(shì)，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.但是，此時(shí)各向異性因子D 的取值很小.當(dāng)D 的取值相當(dāng)大的時(shí)候，所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)不符，需對(duì)自旋波理論進(jìn)行修正.

圖3 各向異性亞鐵磁鏈的磁化強(qiáng)度Fig.3 Magnetization of the anisotropic ferrimagnetic chain

3 結(jié) 論

利用自旋波理論，研究了各向異性的亞鐵磁鏈的物理性質(zhì).研究發(fā)現(xiàn)，各向異性亞鐵磁鏈中存在著兩個(gè)臨界值，當(dāng)各向異性因子的取值在這兩個(gè)臨界值之間的時(shí)候，它會(huì)對(duì)系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā)起到一定的抑制作用，而且這種抑制作用會(huì)隨著各向異性因子的增加而增強(qiáng)，這個(gè)各向異性因子就像是該系統(tǒng)的開關(guān).同時(shí)考慮了外磁場(chǎng)的作用，在外磁場(chǎng)作用下，系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度曲線呈現(xiàn)出一個(gè)平臺(tái)，它隨著各向異性因子的增加而縮短.

［1］Pati S K，Ramasesha S，Sen D.Low－lying excited states and low－temperature properties of an alternating spin－1／spin－1／2 chain：A density matrix renormalization group study［J］.Physical Review B，1997，55（14）：8894－8897.

［2］Pati S K，Ramasesha S，Sen D.A density matrix renormalization group study of low－energy excitations and low－temperature properties of alternating spin systems［J］.Journal of Physics：Condensed Matter，1997，9（41）：8707－8716.

［3］Auerbach A.Interacting electrons and quantum magnetism［M］.New York：Springer－Verlag，1994.

［4］Yamamoto S，Brehmer S，Mikeska H J.Elementary excitations of Heisenberg ferrimagnetic spin chains［J］.Physical Review B，1998，57（21）：13610－13613.

［5］Chen B，Zhang Z F，Han R S.Self－consistent meanfield theory for spin 1 and spin 1／2ferrimagnetic chain［J］.Physica B：Condensed Matter，2004，349（1）：1－9.

［6］Wu C J，Chen B，Dai X，et al.Schwinger boson mean field theory of the Heisenberg ferrimagnetic spin chain［J］.Physical Review B，1999，60（2）：1057－1060.

［7］Li Y X，Chen B.Schwinger－boson mean－field theory of an anisotropic ferrimagnetic spin chain［J］.Physics Letter A，2010，374（34）：3514－3519.

［8］Yamamoto S，F(xiàn)ukui T，Sakai T.Characterization of ferrimagnetic Heisenberg chains according to the constituent spins［J］.The European Physical Journal B，2000，15（2）：211－219.

［9］Brehmer S，Mikeska H J，Yamamoto S.Low－temperature properties of quantum antiferromagnetic chains with alternating spins s＝1 and s＝1／2［J］.Journal of Physical：Condensed Matter，1997，9（19）：3921－3924.

［10］謝桂兵，耿滔，王燕.鐵磁共振下磁各向異性材料的負(fù)折射特性研究［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，35（5）：439－442.

［11］Holstein T，Primakoff H.Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet［J］.Physical Review，1940，58（12）：1098－1113.

［12］李正中.固體理論［M］.2 版.北京：高等教育出版社，2002.

［13］Sakai T，Okamoto K.Quantum magnetization plateau of an anisotropic ferrimagnetic spin chain［J］.Physical Review B，2002，65（21）：4403－4406.