侯樂鑫， 耿 滔， 董祥美

（上海理工大學(xué) 光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

渦旋光束是具有連續(xù)螺旋狀相位分布的光束，其光場表達(dá)式中有一項形式為exp（i lφ）的相位因子，其中，l 稱為拓?fù)浜?，?為柱坐標(biāo)系中的角向坐標(biāo)。渦旋光束的每個光子攜帶l? 的確定光子軌道角動量，? 為約化普朗克常量。早期渦旋光束主要集中應(yīng)用于光學(xué)微操控，如對微粒和原子的光陷阱［1］、捕獲和 引 導(dǎo) 粒 子［2－3］、驅(qū) 動 微 粒 旋 轉(zhuǎn)［4－5］等。近年來，研究者發(fā)現(xiàn)其可以用于保密［6－7］、高密度通信［8－10］，因此，越來越多的研究開始集中到渦旋光束的傳輸特性方面［11－13］。

基模高斯光束在自由空間傳播時能保持其自身的表達(dá)形式不變，因為，其本身就是一個自傅立葉變換過程。然而對于高階渦旋光束在自由空間的傳播是否也能保持其自身表達(dá)形式的不變性，針對這一問題的研究較少。最近，文獻(xiàn)［13］利用菲涅耳衍射理論研究了拉蓋爾－高斯渦旋光束的傳輸特性，由于衍射積分的復(fù)雜性，文獻(xiàn)［13］中的入射面電場只考慮了n＝0的情況，即拉蓋爾多項式恒等于1。n為拉蓋爾多項式過零次數(shù).因此，得到的結(jié)果無法應(yīng)用到任意階（n≠0）的拉蓋爾－高斯渦旋光束。

本文從菲涅耳衍射理論出發(fā)，以自由空間為例，利用柯林斯公式推導(dǎo)出任意階拉蓋爾－高斯光束的傳播形式，證明了任意階拉蓋爾－高斯渦旋光束在自由空間傳播時都能保持自身表達(dá)形式的不變性。更為重要的是，本文的研究方法可以拓展到滿足傍軸條件的任意光學(xué)系統(tǒng)。

1 理論推導(dǎo)

在傍軸條件滿足的情況下，光學(xué)系統(tǒng)對光線的變換作用可由其變換矩陣表示，如圖1所示。

圖1 光學(xué)系統(tǒng)對光線的變換作用Fig.1 Transformation by the optical system

r 為光線離軸線z 的距離，θ 為光線傳播方向與z 軸的夾角，BP1和BP2分別為入射面和出射面。入射光線與出射光線的參數(shù)關(guān)系可表示為

式中，T 為光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)變換矩陣；A，B，C，D 是矩陣T 的元素，取值由光學(xué)系統(tǒng)決定。

由光學(xué)變換矩陣原理可知，無論一個光學(xué)系統(tǒng)有多復(fù)雜，只要知道其光學(xué)變換矩陣，即可求得出射光線的位置與方向。利用光學(xué)矩陣變換原理可以大大簡化光線在復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸問題。

將以上光學(xué)矩陣原理應(yīng)用于菲涅耳衍射公式

得到柯林斯公式［14］

式中，λ 為波長；k＝2π／λ；u 為光束的橫向復(fù)振幅分布；觀察平面坐標(biāo)由x，y，z 表示；入射平面坐標(biāo)由x1，y1，z1表示.

先考慮厄米－高斯波在自由空間的傳播行為，令入射面z1＝0在高斯光束束腰處，則有

式中，w0為束腰半徑；為模式指數(shù)（l，m ＝0，1，…）；Hl（·），Hm（·）為厄米多項式。

將式（4）代入式（3），整理可得觀察平面z 上的場分布

其中

在自由空間傳播時，有A＝D＝1，B＝z，代入式（5）并整理得

其中

式（8）即為厄米高斯光束的電場分布。

拉蓋爾多項式可以用厄米多項式展開，其展開式為［15］

其中

式中，Ll，±m(xù)（x，y）即拉蓋爾－高斯光束的橫模場分布；）為拉蓋爾多項式；為Jacobi多項式。

由式（11）可知，在入射面（z＝0）的任意階拉蓋爾－高斯渦旋光場可以寫成厄米高斯光的線性組合，由于積分后不改變線性疊加特性，將式（11）代入式（8），然后將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)，并進(jìn)行化簡整理，得到任意階拉蓋爾－高斯光束經(jīng)自由空間傳播后在任意z 平面上的場分布

通過求解傍軸條件下的波動方程，獲得拉蓋爾－高斯光束的電場形式為［16］

式中，An，l為常系數(shù)。

比較式（15）和式（16）發(fā)現(xiàn)，它們的表達(dá)形式完全一樣，這就證明了任意階拉蓋爾－高斯渦旋光束在自由空間的傳播能保持自身表達(dá)形式的不變性。

2 仿真模擬和分析

圖2為渦旋光束在自由空間傳播1m 后的強度分布圖，由于相位奇點的存在，中心都為暗核，橫截面上徑向截線圓數(shù)由拉蓋爾多項式的過零次數(shù)決定，取決于n。光束的擴(kuò)散速度與階數(shù)有關(guān)，在同樣的衍射距離上，n 值相同時，l 值越大，則光束半徑越大；l值相同時，n 值越大，光束半徑越大。

在源平面上，光束相位因子為exp（±i lφ），其等相位線為由中心出發(fā)沿半徑方向的直線，同時n決定平面上相位分布在徑向上的截線數(shù)。經(jīng)過空間傳輸之后，光束相位分布發(fā)生了變化，其橫截面上的等相位線不再是直線。由式（15）可知，光束經(jīng)自由空間傳播之后光束橫截面上的相位因子變?yōu)?/p>

在z＝z1處，exp［－i（2 n＋l＋1）φ］exp（i kz1）為常相位項，不影響相位分布，此時相位分布由決定。由式（18）可知，當(dāng)光束離開源平面后（z＝0），任意點的相位分布不僅與φ 有關(guān)，還受到了r的影響，相位隨著r 的增大逐漸增加，造成了等相位線的彎曲，彎曲方向由拓?fù)浜蓴?shù)的正負(fù)決定。當(dāng)n≠0時，拉蓋爾多項式每次過零，相應(yīng)位置增加π的相位差，如圖3所示（見下頁）。在源平面上，等相位線為由坐標(biāo)中心出發(fā)的射線。等相位線周期數(shù)等于拓?fù)浜蒷的絕對值。經(jīng)過一段距離的傳播后，光束橫截面上等相位線發(fā)生彎曲，彎曲方向取決于l的正負(fù)取值。在z＝1m處的橫截面上，當(dāng)l 為正時，等相位線的彎曲方向為逆時針方向；當(dāng)l 為負(fù)時，等相位線彎曲方向為順時針方向。n＝3時，拉蓋爾多項式3次過零，橫截面上相位分布發(fā)生3次躍變。

圖2 z＝1m 處不同階數(shù)拉蓋爾－高斯光束的強度分布Fig.2 Intensity distribution of Laguerre－Gaussian beams of different orders at z＝1m

圖3 z＝0m 處和z＝1m 處不同階數(shù)拉蓋爾－高斯光束的相位分布Fig.3 Phase distribution of Lagueere－Gaussian beams of different orders at z＝0mand z＝1m

3 結(jié) 論

得到式（15）等價于式（16）的結(jié)論是合理的，因為，式（16）是通過直接求解柱坐標(biāo)系下傍軸波動方程獲得的，而菲涅耳衍射公式（式（2））也源自于傍軸條件下的波動方程，由于理論的自洽性，同一個問題通過這兩種方法得到的結(jié)果必然是等價的。因此，在探討拉蓋爾－高斯渦旋光束在自由空間的傳播特性時，并不需要再作復(fù)雜的衍射積分，而可以直接使用拉蓋爾－高斯光束的表達(dá)式。更為重要的是，本文雖然只推導(dǎo)了拉蓋爾－高斯光束在自由空間的傳播行為，但只要選取合適的A，B，C，D 系數(shù)，本文的研究方法適用于滿足傍軸條件的任意光學(xué)系統(tǒng)。例如，只需將A＝D＝1，B＝－1／f 代人式（5），經(jīng)過相同的推導(dǎo)過程即可獲得任意階拉蓋爾－高斯渦旋光束經(jīng)過理想薄透鏡的解析表達(dá)式。因此，本文的研究方法可應(yīng)用于渦旋光束經(jīng)過復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)時的研究。

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