王 剛， 王朝立， 杜慶輝， 季云峰

（1.上海理工大學 管理學院，上海200093；2.上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

輪式移動機器人是典型的具有非完整約束的系統(tǒng)，近三十年來已經(jīng)引起越來越廣泛的關(guān)注［1－2］.由于非完整系統(tǒng)不滿足Brockett定理［3］的3個必要條件，因此不存在光滑時不變純狀態(tài)反饋律使其鎮(zhèn)定，故許多經(jīng)典的線性系統(tǒng)方法無法直接應(yīng)用于移動機器人的鎮(zhèn)定問題上.為了解決這個問題，大量的學者在這方面作了相關(guān)的研究，如使 用 滑 模 控 制［4－5］、轉(zhuǎn) 換 為 鏈 式 系 統(tǒng)［6－7］、使 用 不連續(xù)的反饋［8］以及光滑時變反饋［9］等.為了控制移動機器人，通常假設(shè)機器人的各個狀態(tài)是精確知道的，但在實際中，由于測量的精度和一些不確定的干擾，這個假設(shè)是很難成立的.利用視覺反饋獲得控制器所需要的位置信息是克服這些問題的一種有效辦法.

近年來，視覺反饋已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在機器人的控制上［10－11］.回顧以往文獻，缺乏深度信息是單目視覺伺服固有的缺點.Dixon等［12］利用放置在天花板上不校調(diào)的單目攝像機設(shè)計了自適應(yīng)跟蹤控制器，實現(xiàn)了機器人的跟蹤控制.最近，F(xiàn)ang等［13］和Chen等［14］通過分解單應(yīng)矩陣分別設(shè)計了自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制器和跟蹤控制器，用以補償未知的深度信息，實現(xiàn)了移動機器人的漸進鎮(zhèn)定和跟蹤.但是由于對目標機器人線速度和角速度等的限制，文獻［12］和［14］無法解決移動機器人的鎮(zhèn)定問題.同時，對于單應(yīng)矩陣的分解也是非常復雜的，常常需要人為干預.Mariottini等［15］提出了基于圖像的控制策略，通過控制極線幾何中的極點，實現(xiàn)了移動機器人的鎮(zhèn)定.但利用極線幾何的缺點是短基線時候的準確性降級以及對于平面場景呈現(xiàn)病態(tài).文獻［16］研究了移動機器人在運動過程中保證特征點不出視野的問題，同時不需要分解單應(yīng)矩陣.而Fang等［17］把云臺攝像機放置在移動機器人上，提出了新的主動視覺控制算法.該算法包含兩個控制器：一個控制云臺攝像機旋轉(zhuǎn)使得特征點始終保持在圖像中央；一個控制機器人使其鎮(zhèn)定.彭飛等［18］探討了針對車載單目攝像機的輪式移動機器人的目標跟蹤問題.

本文主要探討未知視覺參數(shù)下的移動機器人的鎮(zhèn)定問題.主要貢獻有兩點：一是對于單目攝像機模型下的移動機器人運動學模型，設(shè)計了期望的運動速度，實現(xiàn)了機器人的指數(shù)鎮(zhèn)定；二是對于帶有不確定擾動的非完整移動機器人的動力學，利用計算力矩法設(shè)計力矩控制器，實現(xiàn)了機器人的實際速度在有限時間內(nèi)收斂至期望速度.

1 問題的描述

1.1 系統(tǒng)配置

本文研究的視覺反饋下的非完整移動機器人模型如圖1所示.假設(shè)單目攝像機固定在天花板上，且攝像機圖像平面與機器人運動平面平行.構(gòu)造3個坐標系，分別是世界坐標系X－Y－Z、攝像機固連坐標系X1－Y1－Z1以及圖像坐標系u－o－v.假設(shè)圖像坐標平面u－v 和攝像機坐標系X1－Y1平面平行.點C 是攝像機光軸與X－Y 平面的交點，在X－Y 平面上的投影是（px，py），攝像機坐標系坐標原點在圖像平面的坐標為（Oc1，Oc2）.同時，坐標（x，y）是機器人質(zhì)心P 在X－Y 平面的坐標，（xm，ym）為（x，y）在圖像坐標系下的投影.θ 表示機器人前向與X 軸的夾角.則攝像機投影模型為［12］

式中，α1，α2為與深度信息、光軸長度以及沿x 軸和y 軸縮放因子有關(guān)的未知的正常數(shù).R 定義如下：

式中，θ0表示攝像機坐標系與世界坐標系沿逆時針方向的夾角.

圖1 單目攝像機－機器人系統(tǒng)Fig.1 Camera－robot system configuration

1.2 移動機器人的動力學以及運動學

利用Euler－Lagrangian公式可以將帶有非完整約束的機械系統(tǒng)描述成［4，19］

式中，q∈?n是廣義坐標；τ∈?r表示控制輸入；κ∈?m表示約束力向量；M（q）∈?n×n表示正定對稱慣性矩陣表示向心力和哥氏力；G（q）∈?n是重力向量；B（q）∈?n×r是輸入變換矩陣；A（q）∈?m×n是和約束條件有關(guān)的矩陣.為了簡化接下來的分析，假設(shè)r＝n－m.同時由于機器人作平面運動，因此G（q）＝0.

移動機器人的非完整約束可以表述成

同時取

式中，S（q）∈?n×（n－m）＝?n×r是由A（q）解空間中一組基組成，z＝［z1，…，zn－m］T與內(nèi)部的狀態(tài)變量相對應(yīng).對式（5）兩邊微分并利用式（3），移動機器人的動力學可以被重寫成

式（6）兩邊左乘ST（q），利用ST（q）AT（q）＝0，可以得到

左乘［ST（q）B（q）］－1，式（7）可以簡化為

式中，

對于（2，0）型移動機器人來說，式（5）中q 和z分別為q＝［x，y，θ］T，z＝［ν，ω］T.其中x，y，θ 前面已經(jīng)指出其物理意義，而ν，ω 分別表示移動機器人的線速度和角速度.接下來對帶有不確定擾動的機器人動力學作如下假設(shè)［4］.

假設(shè)1 帶有不確定擾動的移動機器人的動力學可以表述成

式中，τd＝H（q）f 為機器人所受的不確定擾動；f＝是機器人左右輪的輸入力矩.

對于圖1所示的（2，0）型移動機器人，假設(shè)其質(zhì)心和幾何中心重合，并且其固定輪在平面上做純滾動無側(cè)滑運動.具有這樣約束條件的移動機器人的運動學模型在世界坐標系下可表示為

通過式（1）和式（10），可以得到機器人在圖像坐標系下運動學模型

2 控制器設(shè)計

為了簡化接下來的分析，做如下假設(shè).

假設(shè)2 θ0是已知的，α1＝α2＝α 是未知的，且存在一個已知的正常數(shù)，使得

把（θ－θ0）用θ 替換，式（11）可以被重寫成

對式（12）作如下全局可逆變換可得

根據(jù)式（12）和式（13），得到

通過觀察，利用線性系統(tǒng)理論易證θ 可以通過ω 全局指數(shù)收斂到零，但是這樣會造成狀態(tài)量η1，η2不可控.為了避免這個問題，引入狀態(tài)縮放

根據(jù)非完整鏈式系統(tǒng)設(shè)計方法［9，20］和前面的分析，設(shè)計期望的運動速度如下：

式中，ki（i＝0，1，2）是待設(shè)計的參數(shù).

定義如下速度誤差信號

由于式（9）中H（q），F(xiàn)（q，z）中的系數(shù)只與θ 有關(guān)而與x，y 無關(guān)［21－22］.這樣只要θ 從攝像機中獲得，那么H（q），F(xiàn)（q，z）就是已知的.利用計算力矩法［23］，力矩控制器可以選擇為

式中，zd＝［νd，ωd］T，u（t）＝［u1，u2］T是相應(yīng)的控制輸入.基于接下來穩(wěn)定性分析，定義控制輸入u（t）如下：

式中，0＜p1，p2＜1，且

下面來證明要用到的幾個引理.

引理1［24］假設(shè)存在連續(xù)函數(shù)V（t），滿足以下條件：

a.V 是正定的；

b.存在正常數(shù)c 和β∈（0，1），使得

那么存在一個時間點T0，使得當t ≥T0時，V （t） ≡0，其中

引理2［25］矩陣A∈?2×2，矩陣A 的特征多項式為那 么 矩 陣A 是Hurwitz矩陣的充要條件是a1，a2＞0.

引理3［26］考慮線性時變系統(tǒng)

如果矩陣A1∈?n×n是Hurwitz矩陣，且A2（t）滿足以下條件：

那么系統(tǒng)（23）是指數(shù)穩(wěn)定的.

定理1 對于系統(tǒng)（12），選擇控制器（19）并且當參數(shù)ki（i＝0，1，2）滿足以下條件時：

證明 式（19）減去式（9），得到

把式（18）代入式（25），利用式（20）

構(gòu)造非負標量函數(shù)Vν

利用式（26），對式（27）求微分

顯然Vν（0）和Vω（0）有界，則當t≥max｛T1，T2｝時，由于νe≡0，ωe≡0.利用式（17）和式（18）

式（30）代入到式（16）的第三個方程，有

對式（31）解微分方程

式中，θ（0）是θ 的初始值.式（30）和式（32）表明θ，ω 將會指數(shù)收斂至零.

將式（30）和式（32）代入到式（16）的第一和第二個方程中，可以得到

基于接下來的分析，把式（33）寫成如下矩陣形式

矩陣A1的特征多項式

由于k1，k2滿足式（24），這樣a1＞0，a2＞0.因此，由引理2 可知A1是Hurwitz矩陣.由于ρ，ω 都將指數(shù)收斂到零，同時，由式（24）的第一個不等式條件可以看出矩陣A2（t）的每個元素γij（i，j＝1，2）都將指數(shù)收斂到零.當時，由引理3可知，系統(tǒng)（16）是指數(shù)穩(wěn)定的.此外，由于ρ（t）是指數(shù)收斂的，所以η1，η2 也會指數(shù)收斂到零.綜上所述，利用力矩控制器（19），當t≥max｛T1，T2｝時，系統(tǒng)（12）將會指數(shù)收斂至其期望位姿.至此，完成了定理1的證明.

3 仿 真

對于系統(tǒng)（12）選擇初始值

設(shè)置參數(shù)λ0＝1，ρ0＝1，α—＝1，α＝1.5，fm1＝1，fm2＝1，不確定擾動是［－1，1］范圍內(nèi)的隨機數(shù).根據(jù)控制條件（20）和（24），選擇p1＝0.5，p2＝0.5，k0＝1.5，k1＝－2，k2＝2.那么機器人的狀態(tài)量如圖2—5所示.仿真結(jié)果驗證所提控制器的有效性.此外，如果選擇k1，k2，k3是矩陣A1的特征值在復平面中左半平面遠離虛軸，選擇p1，p2使得T1，T2盡可能的短，則系統(tǒng)（12）收斂的速度更快.

圖2 機器人在圖像坐標系下的運動軌跡Fig.2 Trajectory of the robot in the image frame

圖3機器人狀態(tài)變化曲線Fig.3 States of the robot with respect to time

圖4 機器人實際的速度變化軌跡Fig.4 Actual velocity with respect to time

圖5 速度誤差變化曲線Fig.5 Velocity errors with respect to time

4 結(jié)論與展望

針對單目攝像機下的移動機器人，在攝像機參數(shù)未知以及帶有不確定擾動的動力學的情況下，研究了其鎮(zhèn)定問題.主要分為兩步設(shè)計力矩控制器完成機器人的鎮(zhèn)定.仿真結(jié)果有效地證實了理論的正確性.本文僅對θ0已知，而α1＝a2未知的情況進行研究，未來將會放松這一假設(shè)條件.同時，滑模變結(jié)構(gòu)控制的明顯缺點就是抖振現(xiàn)象，如何有效地消除抖振也是未來努力的方向.

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