程和平，孟云吉，鄭 立，謝國(guó)秋

（黃山學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 黃山245041）

1 引 言

“電流元”概念是物理學(xué)中基本的物理模型之一，畢奧和薩伐爾兩人通過(guò)對(duì)電流元周?chē)鸥袘?yīng)強(qiáng)度的定量描述，給出了傳導(dǎo)電流周?chē)艌?chǎng)的物理規(guī)律，這部分內(nèi)容是大學(xué)物理電磁學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一。其他電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布，比如無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)[1，[2]、圓環(huán)電流[3]、螺線(xiàn)管[4]等周?chē)拇艌?chǎng)分布，從理論上講，都可以利用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算獲得。多方向電流元的磁場(chǎng)分布問(wèn)題，由于其復(fù)雜性，大學(xué)物理教學(xué)當(dāng)中幾乎很少涉及。對(duì)于那些比較簡(jiǎn)單的、具有不同流向的多維電流元磁場(chǎng)問(wèn)題，利用畢奧-薩伐爾定律是可以討論并得出解析結(jié)果的。本文擬討論一種簡(jiǎn)單的三維正交電流元周?chē)艌?chǎng)分布問(wèn)題，并利用Mathematica 軟件給出磁感應(yīng)強(qiáng)度值分布的圖形。

2 物理模型

圖1 正交電流元和其所處的空間坐標(biāo)系

如圖1 所示，在空間存在3 個(gè)電流強(qiáng)度皆為I的電流元，成正交關(guān)系，分別沿著這3 個(gè)電流元的方向定義3 個(gè)直角坐標(biāo)軸，建立正交坐標(biāo)系O-xyz。根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，一個(gè)電流元在空間任意點(diǎn)（用P 點(diǎn)表示）產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

上式中，電流元的方向規(guī)定為電流的方向，電流元的線(xiàn)度dl→0。一般大學(xué)物理教科書(shū)中將電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度視為微元，用dB 表示，此處簡(jiǎn)單起見(jiàn)改用B 表示。對(duì)于本文中的三維正交電流元，不妨設(shè)其表達(dá)式為：

其中dx0→0，dy0→0，dz0→0。令空間任意點(diǎn)P 的坐標(biāo)為：，那么電流元在空間任意點(diǎn)P 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小—磁感應(yīng)強(qiáng)度值為：

3 結(jié)果和討論

為了獲得三維電流元的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度值的空間分布情況，采用計(jì)算軟件Mathematica[5]進(jìn)行圖形展現(xiàn)，可獲得可視化的結(jié)果。為了分析方便，各方向電流元的線(xiàn)度不妨取等值，即dx0=dy0=dz0=ξ→0，真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7T·m·A-1，適當(dāng)選取電流強(qiáng)度I和ξ 值，讓。這樣，(4)式寫(xiě)為：

由(5)式可知，由三維坐標(biāo)位置及其相應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度值構(gòu)成了四維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，一般情況下無(wú)法用圖形描繪出來(lái)，這也是電磁學(xué)圖形描述的主要困難所在。

圖2 磁感應(yīng)強(qiáng)度值的空間分布（-2≤x≤2，-2≤y≤2）

通過(guò)對(duì)四維空間切片的方法，將不同平面上的電流元磁感應(yīng)強(qiáng)度值獲得，從而間接得到磁感應(yīng)強(qiáng)度值分布情況。如圖2 所示，分別取z=1，0，-1 的3個(gè)平面，x 和y 的取值范圍都在-2 和2 之間，能觀察到正交電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度值的分布情況。圖2 中的A 圖為z=1，0，-1 三個(gè)位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度值B 的等高線(xiàn)分布，B、C、D 圖分別為與之對(duì)應(yīng)平面的三維強(qiáng)度分布，分布曲面設(shè)置為半透明，可以看到其下的等高線(xiàn)。從圖2 中看到，在每一個(gè)切平面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度值都有最大值（此時(shí)x=y=0），在x=y=z=0（也就是坐標(biāo)零點(diǎn)）處為奇點(diǎn)，該處的磁感應(yīng)強(qiáng)度值為無(wú)窮大，這和畢奧-薩伐爾定律的物理意義是一致的。

圖3 在x=y 平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

圖4 在x+y=1 平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度值分布

圖5 在x-y=1 平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度值分布

從(5)式中可以判斷出，磁感應(yīng)強(qiáng)度值的空間分布具有對(duì)稱(chēng)性，在x=y=z（除去坐標(biāo)原點(diǎn)）直線(xiàn)上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0，可以從圖2 中看到此分布的一些大致表現(xiàn)。要更加清楚地看到這種零磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布，需要再進(jìn)一步觀察x=y 平面。如圖3 所示，x，y的取值范圍都在-2 和2 之間，z 和x（和y）相等的直線(xiàn)上確實(shí)存在零磁感應(yīng)強(qiáng)度值。從x+y=1 平面（或與之平行的平面）上看，應(yīng)有一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度值的零點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)，如圖4 所示的x+y=1 平面上，確實(shí)在x=y=z=0.5 處為零磁感應(yīng)強(qiáng)度值，在x=y=0.5，z=-0.25 處，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度值的最大值2.51。與x+y=1 平面相垂直的平面上看，只能看到磁感應(yīng)強(qiáng)度值的極大值而看不到磁感應(yīng)強(qiáng)度值的零點(diǎn)，如圖5 所示的x-y=1 平面（或與之平行的平面）上，確實(shí)只觀察到在x=0.5（y=-0.5），z=0 點(diǎn)上存在最大值3.46。

圖6 不同位置的z 軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度值

圖6 列出了6 根不同位置上平行于z 軸的直線(xiàn)上磁感應(yīng)強(qiáng)度值隨z 坐標(biāo)變化的情況。依據(jù)坐標(biāo)和距離z 軸不同，共分為2 組，其中{x=y=1、x=y=-1、x=-y=-1} 組距離z 軸為，{x=y=0.5、x=y=-0.5、x=-y=-0.5}組距離z 軸為。兩組中，x=y 都存在最小值 （零磁感應(yīng)強(qiáng)度值） 和最大值兩個(gè)極值，x=-y 只具有一個(gè)最大值。由于第一組距離z 軸較遠(yuǎn)，比同類(lèi)型的第二組中的z 直線(xiàn)的最大值都要小。

4 結(jié) 論

依據(jù)比奧-薩伐爾定律，推導(dǎo)出三維正交電流元空間磁場(chǎng)分布的基本表達(dá)式?；贛athematica軟件，采用切片方式將四維磁感應(yīng)強(qiáng)度值空間分布展現(xiàn)出來(lái)，并討論了不同平面和直線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。該結(jié)果有利于我們對(duì)抽象的磁場(chǎng)空間分布的理解，對(duì)大學(xué)物理教學(xué)中復(fù)雜電磁學(xué)現(xiàn)象的可視化也有啟發(fā)作用。

[1]謝國(guó)秋.大學(xué)物理（下冊(cè)）[M].北京:科學(xué)出版社，2013:54-59.

[2]黃時(shí)中，袁廣宇，朱永忠，等.大學(xué)物理學(xué)（下冊(cè)）[M].合肥:中國(guó)科技大學(xué)出版社，2006:80-85.

[3]王玉梅，孫慶龍.利用Matlab 分析圓環(huán)電流的磁場(chǎng)分布[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，29(1):20-23.

[4]廖斌，鄧春鳳，吳先映，等.利用Matlab 計(jì)算螺線(xiàn)管內(nèi)磁場(chǎng)分布研究[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，46(6):688-690.

[5]Sal Mangano.Mathematuca Cookbook [M].O’Reilly Media，Inc.，2010:275-324.