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        隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下的冪期權(quán)定價(jià)

        2015-11-17 07:25:50鄧小華馮世強(qiáng)
        關(guān)鍵詞:標(biāo)的期權(quán)定價(jià)

        鄧小華,馮世強(qiáng)

        (1.四川廣播電視大學(xué),四川 成都 610073 ;2.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637009)

        1 引 言

        隨著數(shù)理金融的蓬勃發(fā)展,期權(quán)定價(jià)問題逐漸成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn).已經(jīng)從經(jīng)典的B-S 模型,發(fā)展到歐式期權(quán)、亞式期權(quán)、實(shí)物期權(quán)的研究.一方面,偏差因素的隨機(jī)性越來越高,無限地貼近交易市場的實(shí)際情形,如標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格、預(yù)期收益率、波動(dòng)率和利率從常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間t 的隨機(jī)函數(shù).另一方面,誕生了越來越多的新型期權(quán).冪期權(quán)就是其中一種典型的新型期權(quán).冪期權(quán)根據(jù)到期日的執(zhí)行條件不同分為兩類,每一類都有看漲和看跌兩種情形.它與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的主要區(qū)別在于:持有人在期權(quán)到期日不僅可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的價(jià)值損益,還能將這個(gè)價(jià)值損益提高到它的n 次冪. 如:在到期日,看漲冪期權(quán)的價(jià)值為-K(其中,K 是執(zhí)行價(jià)格,ST是到期日標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,n∈N*).由此,兩類冪期權(quán)在到期日的價(jià)格可以表示為如下形式[1]:

        1)第一類冪期權(quán):

        2)第二類冪期權(quán):

        冪期權(quán)的研究受到國內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注.Blenman,Clark[2]考慮了B1ack-schok 模型下冪式交換期權(quán)的價(jià)值;趙?。?]提出用測度變換方法解決隨機(jī)冪式期權(quán)的定價(jià)模型;蘇小囡等[4]假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過程,市場利率滿足Vasicek 模型,當(dāng)隨機(jī)利率與資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)時(shí),通過測度變換的方法,選取不同的概率測度,給出冪式期權(quán)的價(jià)格公式并得到幾種特殊情況時(shí)的結(jié)論;李超[5]假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)O-U過程,利率服從分?jǐn)?shù)Vasicek 利率模型,利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式及隨機(jī)分析理論等,給出兩類歐式冪型看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式;筆者[6]也曾在隨機(jī)利率環(huán)境下,研究了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)O-U 過程的冪期權(quán)定價(jià)問題,得到相應(yīng)的定價(jià)公式.上述模型中,標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格大都基于Brown 運(yùn)動(dòng).但在現(xiàn)實(shí)市場中,突發(fā)事件是不可避免的,如:自然災(zāi)害,政府政策變化等.它們會(huì)對(duì)金融市場產(chǎn)生巨大影響,導(dǎo)致股價(jià)、匯率等出現(xiàn)大幅度的跳躍.Merton 于1976年首次引入跳-擴(kuò)散模型[7],在幾何Brown 運(yùn)動(dòng)上加入刻畫市場突發(fā)事件引起標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的復(fù)合Poisson 過程.實(shí)證研究表明,跳-擴(kuò)散模型更切合實(shí)際.同時(shí),標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率服從一種“尖峰厚尾”的分布,存在長期相關(guān)的分形特征.

        本文假設(shè)期望收益率和波動(dòng)率均為關(guān)于時(shí)間t 的非隨機(jī)函數(shù),在擴(kuò)展的Vasicek 利率模型和分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下,導(dǎo)出了兩類冪期權(quán)的看漲(看跌)定價(jià)公式.

        2 模型介紹

        2.1 分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)下的積分定義

        分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)具有長期依耐性、自相似性等特征,是一個(gè)連續(xù)的Gauss 過程{BH(t),t∈R},BH(0)=0,E(BH(t))=0,CH(t,s)=(|t|2H+ |s|2H- |t-s|2H)/2 .其中,0 <H <1,H 稱為Hurst 指數(shù).當(dāng)H =0.5 時(shí),BH(t)即為幾何Brown 運(yùn)動(dòng)B(t);當(dāng)H≠0.5,{BH(t),t∈R}既不是馬氏過程,也不是半鞅,因此不能用通常的隨機(jī)積分理論來分析.文獻(xiàn)[8]用Wick 積和分?jǐn)?shù)噪聲理論定義了H >0.5 時(shí)的一種隨機(jī)積分:

        其中,◇為Wick 積.

        2.2 Vasicek 利率模型

        在分?jǐn)?shù)風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q 下,假設(shè)利率r(t)滿足如下的隨機(jī)微分方程:

        其中:a(t)描述利率的長期水平,b(t)是調(diào)整短期和長期關(guān)系的均值回復(fù)率;BQ(t)為風(fēng)險(xiǎn)測度Q 下的幾何Brown 運(yùn)動(dòng),記其與分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)的相關(guān)系數(shù)為ρ,σr(t)是波動(dòng)率.這就是擴(kuò)展的Vasicek 模型[6].

        2.3 分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型

        若把跳-擴(kuò)散模型中的幾何Brown 運(yùn)動(dòng)B(t)擴(kuò)展為分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)BH(t),就得到分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型.即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程{S(t):t≥0}滿足隨機(jī)微分方程:

        其中,{BH(T),0≤t≤T}為概率空間(Ω,F(xiàn),P)上的分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng),r(t)是t 時(shí)刻的短期利率,它等于期望收益率,σ(t)是t 時(shí)刻的波動(dòng)率;Qt為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間段[0,t]內(nèi)發(fā)生隨機(jī)跳躍的次數(shù),它是服從參數(shù)為λ 的Poisson 過程,J(t)表示跳躍的相對(duì)高度,θ=E[J(t)]且ln(1 +J(t))~N(ln(1 +θ)-δ2/2,δ2),

        由式(2)兩邊同除以S(t),有

        由分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)下的積分定義(1),得到(詳見文獻(xiàn)[8]):

        2.4 引理[6]:

        3 期權(quán)定價(jià)公式及其證明

        3.1 第一類冪期權(quán)的定價(jià)

        定理1:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2),標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價(jià)格為K,到期日為T,則第一類看漲冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

        N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率.

        證明:根據(jù)無套利定價(jià)理論,第一類看漲冪期權(quán)在時(shí)刻t 的價(jià)格

        記EQ[·]為分?jǐn)?shù)風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q 下的擬條件數(shù)學(xué)期望算子,,則有

        式(7)中第一項(xiàng)的計(jì)算:由式(4)和引理,有

        同理,可以計(jì)算式(7)中的第二項(xiàng),如下:

        將以上兩式的結(jié)果帶入式(7),從而得到式(6)的結(jié)果.證明完成.

        由看漲-看跌平價(jià)關(guān)系,很容易得到第一類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的定價(jià)公式.

        定理2:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2),標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價(jià)格為K,到期日為T,則第一類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

        其中:N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率,

        注:1)當(dāng)J(t)=0,H=0.5 時(shí),定理1 和定理2 就是隨機(jī)利率下第一類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式.2)當(dāng)σr(t)=0,H=0.5 時(shí),定理1 和定理2 就是跳擴(kuò)散模型下第一類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式.3)當(dāng)J(t)=0 時(shí),定理1 和定理2 的定價(jià)公式與文獻(xiàn)[5]中隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下冪期權(quán)的定價(jià)公式對(duì)應(yīng)等價(jià).

        3.2 第二類冪期權(quán)的定價(jià)

        定理3:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2),標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價(jià)格為K,到期日為T,則第二類看漲冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

        證明:根據(jù)無套利定價(jià)理論,有

        由引理,將式(4)代入,得到

        將式(13)和式(14)代入式(12),得到定理3 的結(jié)論.證明完成.

        由看漲-看跌平價(jià)關(guān)系,很容易得到第二類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的定價(jià)公式.

        定理4:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2),標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價(jià)格為K,到期日為T,則第二類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

        注:1)當(dāng)J(t)=0,H=0.5 時(shí),定理3 和定理4 就是隨機(jī)利率下第二類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式.2)當(dāng)σr(t)=0,H=0.5 時(shí),定理3 和定理4 就是跳擴(kuò)散模型下第二類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式.3)當(dāng)J(t)=0 時(shí),定理3 和定理4 的定價(jià)公式與文獻(xiàn)[5]中隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下冪期權(quán)的定價(jià)公式是對(duì)應(yīng)等價(jià)的.

        4 結(jié) 論

        本文考慮利率的隨機(jī)性和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的跳躍性,在隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下研究了兩類冪期權(quán)的無套利定價(jià).運(yùn)用無套利定價(jià)原理和隨機(jī)微分理論,導(dǎo)出并證明了兩類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式,使文獻(xiàn)[5]的結(jié)果得到了相應(yīng)的擴(kuò)展.

        [1] 趙佃立.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式冪期權(quán)的定價(jià)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2007,24(1):22 -26.

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        [3] 趙 巍,何建敏.基于測度變換方法的隨機(jī)型創(chuàng)新冪式期權(quán)定價(jià)[J].中國管理科學(xué),2009 ,17 (2):21 - 23.

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