鄧小華,馮世強
(1.四川廣播電視大學(xué),四川 成都 610073 ;2.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637009)
隨著數(shù)理金融的蓬勃發(fā)展,期權(quán)定價問題逐漸成為計量經(jīng)濟學(xué)和金融數(shù)學(xué)研究的熱點.已經(jīng)從經(jīng)典的B-S 模型,發(fā)展到歐式期權(quán)、亞式期權(quán)、實物期權(quán)的研究.一方面,偏差因素的隨機性越來越高,無限地貼近交易市場的實際情形,如標的資產(chǎn)的價格、預(yù)期收益率、波動率和利率從常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闀r間t 的隨機函數(shù).另一方面,誕生了越來越多的新型期權(quán).冪期權(quán)就是其中一種典型的新型期權(quán).冪期權(quán)根據(jù)到期日的執(zhí)行條件不同分為兩類,每一類都有看漲和看跌兩種情形.它與標準期權(quán)的主要區(qū)別在于:持有人在期權(quán)到期日不僅可以得到一個標準的價值損益,還能將這個價值損益提高到它的n 次冪. 如:在到期日,看漲冪期權(quán)的價值為-K(其中,K 是執(zhí)行價格,ST是到期日標的資產(chǎn)的價格,n∈N*).由此,兩類冪期權(quán)在到期日的價格可以表示為如下形式[1]:
1)第一類冪期權(quán):
2)第二類冪期權(quán):
冪期權(quán)的研究受到國內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注.Blenman,Clark[2]考慮了B1ack-schok 模型下冪式交換期權(quán)的價值;趙?。?]提出用測度變換方法解決隨機冪式期權(quán)的定價模型;蘇小囡等[4]假設(shè)標的資產(chǎn)價格服從跳-擴散過程,市場利率滿足Vasicek 模型,當隨機利率與資產(chǎn)價格相關(guān)時,通過測度變換的方法,選取不同的概率測度,給出冪式期權(quán)的價格公式并得到幾種特殊情況時的結(jié)論;李超[5]假定股票價格服從分數(shù)O-U過程,利率服從分數(shù)Vasicek 利率模型,利用風(fēng)險中性定價公式及隨機分析理論等,給出兩類歐式冪型看漲、看跌期權(quán)的定價公式;筆者[6]也曾在隨機利率環(huán)境下,研究了標的資產(chǎn)價格服從分數(shù)O-U 過程的冪期權(quán)定價問題,得到相應(yīng)的定價公式.上述模型中,標的資產(chǎn)的價格大都基于Brown 運動.但在現(xiàn)實市場中,突發(fā)事件是不可避免的,如:自然災(zāi)害,政府政策變化等.它們會對金融市場產(chǎn)生巨大影響,導(dǎo)致股價、匯率等出現(xiàn)大幅度的跳躍.Merton 于1976年首次引入跳-擴散模型[7],在幾何Brown 運動上加入刻畫市場突發(fā)事件引起標的資產(chǎn)價格波動的復(fù)合Poisson 過程.實證研究表明,跳-擴散模型更切合實際.同時,標的資產(chǎn)的對數(shù)收益率服從一種“尖峰厚尾”的分布,存在長期相關(guān)的分形特征.
本文假設(shè)期望收益率和波動率均為關(guān)于時間t 的非隨機函數(shù),在擴展的Vasicek 利率模型和分數(shù)跳-擴散模型下,導(dǎo)出了兩類冪期權(quán)的看漲(看跌)定價公式.
分數(shù)Brown 運動具有長期依耐性、自相似性等特征,是一個連續(xù)的Gauss 過程{BH(t),t∈R},BH(0)=0,E(BH(t))=0,CH(t,s)=(|t|2H+ |s|2H- |t-s|2H)/2 .其中,0 <H <1,H 稱為Hurst 指數(shù).當H =0.5 時,BH(t)即為幾何Brown 運動B(t);當H≠0.5,{BH(t),t∈R}既不是馬氏過程,也不是半鞅,因此不能用通常的隨機積分理論來分析.文獻[8]用Wick 積和分數(shù)噪聲理論定義了H >0.5 時的一種隨機積分:
其中,◇為Wick 積.
在分數(shù)風(fēng)險中性測度Q 下,假設(shè)利率r(t)滿足如下的隨機微分方程:
其中:a(t)描述利率的長期水平,b(t)是調(diào)整短期和長期關(guān)系的均值回復(fù)率;BQ(t)為風(fēng)險測度Q 下的幾何Brown 運動,記其與分數(shù)Brown 運動的相關(guān)系數(shù)為ρ,σr(t)是波動率.這就是擴展的Vasicek 模型[6].
若把跳-擴散模型中的幾何Brown 運動B(t)擴展為分數(shù)Brown 運動BH(t),就得到分數(shù)跳-擴散模型.即標的資產(chǎn)價格過程{S(t):t≥0}滿足隨機微分方程:
其中,{BH(T),0≤t≤T}為概率空間(Ω,F(xiàn),P)上的分數(shù)Brown 運動,r(t)是t 時刻的短期利率,它等于期望收益率,σ(t)是t 時刻的波動率;Qt為標的資產(chǎn)價格在時間段[0,t]內(nèi)發(fā)生隨機跳躍的次數(shù),它是服從參數(shù)為λ 的Poisson 過程,J(t)表示跳躍的相對高度,θ=E[J(t)]且ln(1 +J(t))~N(ln(1 +θ)-δ2/2,δ2),
由式(2)兩邊同除以S(t),有
由分數(shù)Brown 運動下的積分定義(1),得到(詳見文獻[8]):
定理1:假設(shè)利率滿足擴展的Vasicek 模型(2),標的資產(chǎn)價格滿足分數(shù)跳-擴散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價格為K,到期日為T,則第一類看漲冪期權(quán)在到期前任意時刻t 的價格為:
N(·)表示標準正態(tài)分布的累積概率.
證明:根據(jù)無套利定價理論,第一類看漲冪期權(quán)在時刻t 的價格
記EQ[·]為分數(shù)風(fēng)險中性測度Q 下的擬條件數(shù)學(xué)期望算子,,則有
式(7)中第一項的計算:由式(4)和引理,有
同理,可以計算式(7)中的第二項,如下:
將以上兩式的結(jié)果帶入式(7),從而得到式(6)的結(jié)果.證明完成.
由看漲-看跌平價關(guān)系,很容易得到第一類看跌冪期權(quán)在到期前任意時刻t 的定價公式.
定理2:假設(shè)利率滿足擴展的Vasicek 模型(2),標的資產(chǎn)價格滿足分數(shù)跳-擴散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價格為K,到期日為T,則第一類看跌冪期權(quán)在到期前任意時刻t 的價格為:
其中:N(·)表示標準正態(tài)分布的累積概率,
注:1)當J(t)=0,H=0.5 時,定理1 和定理2 就是隨機利率下第一類看漲(跌)冪期權(quán)的定價公式.2)當σr(t)=0,H=0.5 時,定理1 和定理2 就是跳擴散模型下第一類看漲(跌)冪期權(quán)的定價公式.3)當J(t)=0 時,定理1 和定理2 的定價公式與文獻[5]中隨機利率和分數(shù)布朗運動下冪期權(quán)的定價公式對應(yīng)等價.
定理3:假設(shè)利率滿足擴展的Vasicek 模型(2),標的資產(chǎn)價格滿足分數(shù)跳-擴散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價格為K,到期日為T,則第二類看漲冪期權(quán)在到期前任意時刻t 的價格為:
證明:根據(jù)無套利定價理論,有
由引理,將式(4)代入,得到
將式(13)和式(14)代入式(12),得到定理3 的結(jié)論.證明完成.
由看漲-看跌平價關(guān)系,很容易得到第二類看跌冪期權(quán)在到期前任意時刻t 的定價公式.
定理4:假設(shè)利率滿足擴展的Vasicek 模型(2),標的資產(chǎn)價格滿足分數(shù)跳-擴散模型(3),且在[0,t]內(nèi)發(fā)生n 次跳躍,若執(zhí)行價格為K,到期日為T,則第二類看跌冪期權(quán)在到期前任意時刻t 的價格為:
注:1)當J(t)=0,H=0.5 時,定理3 和定理4 就是隨機利率下第二類看漲(跌)冪期權(quán)的定價公式.2)當σr(t)=0,H=0.5 時,定理3 和定理4 就是跳擴散模型下第二類看漲(跌)冪期權(quán)的定價公式.3)當J(t)=0 時,定理3 和定理4 的定價公式與文獻[5]中隨機利率和分數(shù)布朗運動下冪期權(quán)的定價公式是對應(yīng)等價的.
本文考慮利率的隨機性和標的資產(chǎn)價格的跳躍性,在隨機利率和分數(shù)跳-擴散過程下研究了兩類冪期權(quán)的無套利定價.運用無套利定價原理和隨機微分理論,導(dǎo)出并證明了兩類看漲(跌)冪期權(quán)的定價公式,使文獻[5]的結(jié)果得到了相應(yīng)的擴展.
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