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        單位圓盤的擬對稱映射不具有Landau定理

        2015-11-17 07:25:50馮小高
        關鍵詞:任意性正數(shù)圓盤

        馮小高

        (西華師范大學數(shù)學與信息學院,四川 南充 637009)

        1 引 言

        20 世紀早期,Landau 證明了:存在一正數(shù),若f(z)為單位圓盤D={z:|z| <1}上任意的解析函數(shù),且滿足正規(guī)化條件:f'(0)=1,則像集f(D)包含一個至少以此正數(shù)為半徑的圓盤. 最優(yōu)的這個正常數(shù)為Landau常數(shù).在1925年,Andre Bloch 進一步證明了:存在一正數(shù),若f(z)為單位圓盤D ={z:|z| <1}上任意的正規(guī)化解析函數(shù),則f(z)將單位圓盤D={z:|z| <1}內(nèi)一開子集一一的映到至少以此正數(shù)為半徑的圓盤.最優(yōu)的這個正常數(shù)為著名的Bloch 常數(shù).

        近來,Gauthier 和Pouryayevali 在[1]中證明了在平面內(nèi)對多項式擬共形映射不具有Landau 定理.借助Gauthier 和Pouryayevali 的方法,構(gòu)造了一個擬對稱映射的例子,通過Vaisala 的一個結(jié)論,證明了構(gòu)造的映射為擬對稱映射,根據(jù)此映射中參數(shù)ε >0 的任意性,說明了在平面上擬對稱映射不具有Landau 定理.下面先回憶一下一些基本概念.

        則稱f(z)為K-擬共形映射.

        定義2 假設η:[0,∞)→[0,∞)為單調(diào)增,A?C,C 代表復平面,若對任意不同的三點z1,z2,z3∈A,有

        則稱f(z)為η 擬對稱映射.

        在[2]中討論了擬共形映射與擬對稱映射的關系:在局部情況下,擬對稱映射和擬共形映射是等價的.從此角度,根據(jù)Gauthier 和Pouryayevali[1]的結(jié)果和擬對稱映射與擬共形映射的局部等價性,自然有擬對稱映射不具有Landau 定理.但我們通過Vaisala[3]的一個結(jié)論,說明構(gòu)造的映射為擬對稱映射,從而證明了在平面上擬對稱映射不具有Landau 定理.

        2 主要結(jié)論和證明

        先介紹一個引理

        引理2.1[3]假設Ω 和Ω'為復平面C 的子區(qū)域,f:ˉΩ→ˉΩ'為同胚,且滿足:f|Ω為K-擬共形映射,f|?Ω為η-擬對稱映射.則f 為η1-擬對稱映射,η1只與K 和η 相關.

        定理 對任意的K >1,和任意的ε >0,存在擬對稱映射f(z),使其滿足:fz(0)=0,且f(D)包含在以ε >0為半徑的圓盤內(nèi).

        證明:對K >1 和t >1,令

        h(s)=(1 -K)lnt+Ks,

        構(gòu)造映射

        首先證明上面定義的f(z)為單位圓盤上的K-擬共形映射.由f(z)的定義得其兩個偏導數(shù)為

        根據(jù)(1)和(2)知Jacobi 行列式

        且最大伸縮商

        所以f(z)為單位圓盤上的K-擬共形映射.

        下面說明上面定義的為擬對稱映射.

        對任意不同的三點z1,z2,z3∈?D={z:|z| =1},因為對函數(shù)η(t)=ct(c≥1),有

        則f(z)在?D={z:|z| =1}上為η-擬對稱映射,又由于f(z)在單位圓盤內(nèi)為K-擬共形映射,根據(jù)引理2.1知f(z)為η' -擬對稱映射,且f(D)包含在以ε=t1-K>0 為半徑的圓盤內(nèi).

        由定理中ε=t1-K>0(注意t >1)的任意性,易知下面推論.

        推論1 在平面上單位圓盤的擬對稱映射不具有Landau 定理.

        推論2 在平面上單位圓盤的擬對稱映射不具有Bloch 定理.

        [1] GAUTHIER P M,POURYAYEVALI M R,F(xiàn)ailure of Landau'theorem for quasiconformal mapping of the disk[J].Contermporary Mathematics,2004,355:265 -268.

        [2] ASTALA K,LWANIEC T,and MARTIN G,Elliptic partial differential equations and Quasiconformal mappings in the plane[M]. Princeton University press.2009.

        [3] VAISALA J,Quasisymmetry and unions[J]. Manuscripta Mathematica,1990,68:101 -11.

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